Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
2.2 Projections des grandeurs vectorielles
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
76 notes
À partir de la leçon
Cinématique du point matériel. Calcul vectoriel.
Pour maîtriser la mécanique il faut savoir décrire le mouvement d'un objet, c'est ce qu'on appelle la cinématique. Vous allez prendre conscience du modèle du point matériel physique. La projection d'un vecteur sur un axe est une notion incontournable pour la suite du cours, tout comme les produits scalaire et vectoriel.
Rencontrer les enseignants
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour.
Bienvenue au cours de physique générale de l'ÉPFL.
Dans cette leçon, je pose les bases de la cinématique du
point matériel et dans ce module, je dois
entrer en matière et introduire quelques technicalités.
Je vais d'abord introduire la notion de repère qui est un objet mathématique,
vous allez le voir.
Ensuite, je vais introduire la notion de produit scalaire entre deux vecteurs.
J'en aurai besoin pour définir la projection d'un vecteur sur un axe.
Quelque chose qu'on utilise partout en mécanique newtonienne et puisque
je traite d'algèbre vectorielle dans ce module, je vais y inclure la définition
rapide du produit vectoriel. Je commence
en définissant ce que je vais appeler un vecteur unité.
C'est un vecteur libre de norme 1. Imaginez la situation
suivante : vous avez un axe orienté que je vais utiliser comme
axe de coordonnée, un point O sur l'axe qui définira
l'origine de mes coordonnées et je veux définir un vecteur unité porté par l'axe.
Vous remarquerez une convention de notation.
J'ai une lettre grasse pour signifier que c'est un vecteur et j'y mets un
chapeau pour signifier qu'il s'agit d'un vecteur de norme 1, donc un
vecteur unité. Si maintenant j'ai un point
P ici et que cette distance
vaut x et xa est positif, si on se déplace dans
le sens de l'axe x négatif si on est, on va dans
le sens opposé et bien le vecteur OP vaut
x fois u. Je définis maintenant un repère.
Pour moi, un repère est un ensemble comprenant un point et trois vecteurs
unités orthogonaux et formant ce qu'on appelle un repère direct.
Je ne traiterai que de repères directs. Je vais définir le terme dans un moment.
Alors,
imaginez un système d'axes cartésiens
A, x1, x2, x3 et les vecteurs unités portés
par les axes. x1 avec le chapeau pour indiquer que c'est
un vecteur unité, x2 et x3. Quand je dis que
ce repère est direct, je veux dire la chose suivante
: il y a plusieurs façons d'expliquer le
repère direct, je vais passer à travers chacune d'elles.
Je commence par celle que je préfère, la règle dite du tire-bouchon.
Pour savoir si x1, x2 et x3 forment un repère direct je
mets x1 le long de la poignée. J'accroche x2
au bout du x1 et j'imagine que x2,
le vecteur unité x2, tire sur x1.
Et bien si j'applique cette rotation à la poignée, le tire-bouchon
doit se déplacer dans ce sens-là et ce sens-là doit être la direction de x3.
Voilà, ça c'est
une façon de définir un repère direct. Une autre manière
de définir un repère direct est d'utiliser la règle
des trois doigts. Cette règle va comme ceci : on
prend le vecteur x1 le long du pouce, x2
l'index, x1 et x2 définissent un plan, le plan formé par les
deux doigts et le majeur doit être normal
au plan défini par x1 et x2 et le
majeur doit pointer dans la direction du x3 comme ceci.
Une troisième manière de définir un repère
direct c'est la règle du tournevis. Dans ce cas-là vous imaginez que
le vecteur x1 est le long de la paume, x2 le long
des doigts et le x3 doit être dans le sens du pouce
en utilisant toujours la main droite. Donc un
repère est constitué d'un point et de
trois vecteurs unités orthogonaux formant un repère direct.
Vous noterez que mon dessin ressemble à un dessin.
Ce dessin-là, avec ses axes de coordonnées, suggère
quelque chose qui fait penser à un référentiel.
Alors par commodité on a représenté souvent un référentiel par
des axes de coordonnées, mais il ne faut pas confondre.
Ici, je parle de vecteurs unités.
Je vais les utiliser comme outils mathématiques mais je n'ai pas dit que
cet objet-là était ce par rapport à quoi nous allons mesurer les vitesses.
C'est tellement vrai que plus tard, dans le cours, on va
définir un tel repère associé à des coordonnées cylindriques et sphériques.
Ce repère sera lié au point. Il est exclu de mesurer la vitesse
d'un point par rapport à quelque chose qui va avec le point.
On aurait une vitesse qui est toujours nulle, ça ne nous servirait à rien.
Donc il faut bien faire la différence
entre le référentiel, l'objet par rapport auquel on
mesure les vitesses et les accélérations et le
repère qui est formé de trois vecteurs unités.
Je passe maintenant à la définition du produit scalaire.
Vous imaginez qu'on ait un système d'axes de coordonnées et deux
vecteurs ici notés a et b et vous avez
les coordonnées du vecteur que j'ai inscrites
ici : x1, x2, x 3 et y1, y2, y3. Pour nous,
il suffit de dire que la définition du produit scalaire
des vecteurs a et b c'est ceci. Le produit scalaire
de a et b, noté a, un point au milieu de la ligne,
b, c'est le produit des coordonnées une à une
sommées : x1y1, x2y2, x3y3 sommées.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire comme on dit
en physique, c'est un nombre. Examinons quelques propriétés du produit
scalaire : alors j'imagine ici deux vecteurs a et b et un angle thêta
entre les deux vecteurs. Je décompose le
vecteur a en une somme de deux vecteurs, un parallèle à b,
l'autre perpendiculaire à b et maintenant je
construis un système de coordonnées. Je provoque un petit peu ici, peut-être.
Vous n'avez pas l'habitude de voir les choses comme ça.
J'ai des vecteurs qui me sont donnés et c'est moi qui construis un système
de coordonnées autour de ces vecteurs. J'ai mis x, l'axe cartésien x,
le long de a perpendiculaire et y le long de b.
Maintenant, je calcule les composantes de chaque vecteur.
Alors la composante x de a c'est cette distance-là qui
vaut le module de a fois le sinus de l'angle thêta.
C'est ce que j'ai écrit ici. Ça c'est la composante x du vecteur a.
La composante y du vecteur a, ça c'est la direction y, c'est
donc cette distance-là qui vaut le module de a
fois le cosinus de l'angle thêta ce que j'ai noté ici.
Le vecteur b, trivialement b dans la direction b, où j'ai respecté le
sens de b le y avait été mis dans le sens de b,
donc là on a plus b et lorsqu'on applique la définition du
produit scalaire à ces composantes-là, on voit que le produit
scalaire de a et b vaut le module de a fois
le module de b fois le cosinus de l'angle entre les deux.
J'ai écrit cette formule en rouge pour
vous signaler qu'il faut l'apprendre par cœur.
Ça vous en aurez
tout le temps besoin.
Alors maintenant qu'on a le produit scalaire, on
peut exprimer l'orthogonalité des vecteurs d'un repère avec le produit scalaire.
Voilà mon repère et je veux dire maintenant que ces deux vecteurs sont
orthogonaux donc leur produit scalaire est nul parce que le produit scalaire
vaut le module de l'un, un, fois le module de l'autre, un, fois
le cosinus de l'angle entre les deux, nonante degrés, le cosinus de nonante
degrés c'est zéro. Donc quand deux vecteurs sont orthogonaux
leur produit scalaire est nul. Alors le produit scalaire de x1 et x2, est
nul, x1 x3 est nul, x2 x3 est nul. J'écris ça de la manière suivante:
pour tout i et j, avec i et j qui valent un, deux ou trois
j'ai xi, produit scalaire avec xj, qui vaut ce que l'on
appelle symbole de Kronecker delta ij
qui vaut un si i égale j et zéro si non. C'est juste une notation.
Quand i égale j, on a produit scalaire d'un vecteur avec lui-même.
Alors, vous savez déjà que c'est la norme au carré et
comme ce sont des vecteurs unités cela vaut un ou bien vous
appliquez la formule du produit scalaire qui vous dit que le
produit scalaire vaut le module des vecteurs un fois un fois le
cosinus de l'angle entre les deux.
Alors comme on a le même vecteur, thêta dans ce cas-là
vaut zéro, cosinus de zéro vaut un, le résultat c'est un.
C'est ce qu'on a écrit ici delta ij, quand i égale j on a un.
Maintenant je peux définir la projection d'un vecteur sur un axe.
C'est très important dans le cours de mécanique.
On va projeter des vitesses,
des accélérations et des forces, tout le temps, tout le temps, tout le temps.
Imaginez que vous avez un axe orienté comme ceci.
Vous avez un vecteur AP comme cela.
Notez AP écrit en gras pour dire que ici on a le vecteur AP.
En géométrie on définirait la projection de P sur
l'axe en dessinant la perpendiculaire à l'axe et
en marquant ce point P prime comme ceci.
On va appeler un p prime la
projection de ap sur l'axe, en respectant le...
l'orientation de l'axe.
Donc si maintenant je donne un vecteur u dans la direction
de l'axe, tout à l'heure on va utiliser le vecteur v pour la direction
perpendiculaire, mais pour le moment on s'occupe du vecteur u le long de l'axe.
Vous remarquez, j'appelle têta l'angle entre AP et
l'axe, vous remarquez que AP, pardon, AP
prime, vaut le module de AP fois le cosinus
de l'angle.
Et ça, ça doit valoir le produit scalaire de AP et du vecteur
unité u par définition, enfin, à cause de la propriété du produit scalaire, le
produit scalaire de AP fois u vaut la norme de AP fois la
norme de u, qui vaut un, fois le cosinus de l'angle entre les deux.
Maintenant, on peut s'amuser
à écrire le vecteur AP, comme sa projection, AP prime,
fois le vecteur u plus la projection P prime
P du vecteur AP dans la direction perpendiculaire, fois le vecteur v.
Ça veut dire ceci.
Vous voyez la structure de cette équation, vous avez ici AP
u qui donne la projection de AP
sur l'axe. AP v, l'autre terme, le terme
perpendiculaire. J'ai pris AP u et j'ai
multiplié par u, donc ici j'ai un scalaire, et c'est la projection
de AP sur l'axe, fois le vecteur u porté par l'axe,
ça nous donne un vecteur, ça nous donnerait ce vecteur là.
Ça, c'est le vecteur AP (alors moi je ne peux pas faire des gras, je suis obligé de
mettre une flèche) fois u produit scalaire avec u, encore une fois avec u.
Je répète, ici vous avez
un produit scalaire, c'est un nombre, et maintenant le nombre multiplie le vecteur
u pour nous donner ce vecteur AP prime. Je peux l'écrire:
égale le vecteur AP prime. Et
tout ça, je vais peut être
effacer, tout ça, ça donne le vecteur
AP prime, AP prime, et maintenant,
ici, j'ai le vecteur P
prime P, le vecteur P prime
P. La notation peut paraître
lourde, mais elle ne dit rien de nouveau. Si on avait un système
d'axe cartésien, avec un axe dans cette
direction ici, un axe dans la direction perpendiculaire,
des vecteurs unité qu'on aurait appelé x un
chapeau et x deux chapeau, on aurait que
le vecteur AP, on aurait pu l'écrire comme x un, sa composante dans la direction
un, fois le vecteur x un, plus la composante de AP dans la direction x deux,
fois le vecteur x deux chapeau.
Maintenant je passe à la définition du produit vectoriel.
Alors pour nous il suffira de définir un produit vectoriel de la manière suivante.
J'imagine que j'ai deux vecteurs dont les composantes sont
a un, a deux, a trois, et pour l'autre vecteur b un, b deux,
b trois. J'appelle produit vectoriel de a et b et
je vais souvent appeler cette expression là, a crosse b.
On appelle a crosse b le déterminant qu'on obtient quand on met
les vecteurs unité de notre repère dans la première colonne,
les composantes du premier vecteur dans la deuxième colonne,
les composantes du deuxième vecteur dans la deuxième colonne.
Et on calcule le produit, le déterminant, en disant
que ce déterminant vaut x un fois ce mineur
ici, qui vaut a deux b trois moins a trois b
deux, a deux b trois moins a trois b deux. Si maintenant
je veux regarder la composante x deux, je dois calculer
a trois b un moins a un b trois, c'est ici.
Et la troisième composante a un b deux, moins a deux
b un, a un b deux moins a deux b un.
Cette notation là, avec des parenthèses est souvent
malheureuse en physique parce que on ne voit pas
le fait que on a des termes qui sont en fait projetés sur un
repère et ce repère peut évoluer dans le temps, comme nous allons l'apprendre.
Alors on peut préférer cette notation là, a
crosse b vaut une composante dans la direction
x un, une composante dans la direction x
deux, et la troisième dans la direction x trois.
Pratiquement, on n'apprend pas cette formule
par cœur, on calcule ce déterminant. Je passe maintenant à
quelques propriétés du produit vectoriel. La
première c'est, la voici, si je fais le produit
vectoriel de a et de b, a crosse b, a crosse b est un vecteur.
Et maintenant je me propose de calculer le produit scalaire entre le vecteur a crosse
b et un vecteur c.
Et bien, si vous réfléchissez un moment, vous
allez voir que vous pouvez très bien faire ce
calcul en remplaçant ici x un, x deux, x
trois que j'avais, par les composantes du vecteur c.
Cette petite...
ce petit truc de calcul va nous rendre service pour une propriété essentielle
du produit vectoriel. Si je fais le produit scalaire
de a crosse b avec a, je vais avoir a ici, b ici, et a à nouveau.
Et vous avez un déterminant avec deux colonnes identiques.
Et on peut montrer dans ce cas là, le déterminant est toujours nul.
Donc, ici on a zéro.
Ceci veut dire que a crosse b est perpendiculaire
à a.
Bien entendu, si maintenant je fais a crosse
b produit scalaire avec b, j'aurai aussi zéro.
Donc le produit vectoriel a crosse b est un
vecteur qui est perpendiculaire à a et à b.
Faisons un dessin. Je reprends mes
vecteurs a et b, avec l'angle têta entre les deux et je décompose
a en un a parallèle, a perpendiculaire. Maintenant je sais que a crosse
b est un vecteur qui est normal au plan qui contient a et b.
Alors je peux définir des axes cartésiens,
construits sur mes vecteurs, comme tout à l'heure, le vecteur x et le y, et le z,
perpendiculaire au plan qui contient x et y, et qui contient aussi
a et b. Je calcule maintenant les projections des
vecteurs. Et je calcule le produit vectoriel.
Donc maintenant si j'ai mes vecteurs unité x, y, z,
notés ici, je dois mettre ici les projections du vecteur a.
Alors la projection de a dans la direction x ça vaut le module de a fois
le sinus de l'angle têta, ce que j'ai noté ici.
Ici on a a cosinus têta, et là zéro, les plans,
les vecteurs a et b sont dans le plan z égale zéro.
Donc on a zéro ici.
Pour b c'est tout simple, b est le long de y parce qu'on
a défini y le long de b, donc j'ai juste un b ici.
Quand je fais le produit
vectoriel, ça veut dire quand je calcule ce déterminant, il y a un seul terme
qui est non nul, c'est celui-ci, c'est le terme en z, qui vaut a b sinus têta.
Alors j'arrive à ce résultat essentiel, qu'on utilisera tout
le temps, qui est que la norme, la norme du vecteur a crosse b,
vaut la norme de a fois la norme de b fois la valeur
absolue du sinus de l'angle entre les deux vecteurs.
Pour le produit scalaire on avait, que le produit scalaire
valait la norme de a fois la norme de b fois le cosinus de l'angle.
Ici, on a le sinus de l'angle. Il y a une
propriété du produit vectoriel qui est un peu bizarre, mais que
je vais utiliser de temps en temps parce qu'elle est bien commode.
Regardez.
Ici, je considère le produit vectoriel de a, avec le produit vectoriel b crosse
c. Et bien, on peut montrer que le vecteur
résultant peut s'écrire a c b, donc vous faites le produit
scalaire a c fois le vecteur b, moins a b c.
Pour se souvenir de la formule avec le signe correct, il faut savoir que d'abord
on fait a c b, et après a b c, dans le bon ordre, vient avec le signe moins.
Enfin, c'est comme ça que moi je
me souviens de la formule.
Comment démontrer cette formule, je vous invite à le faire.
Vous prenez la définition, le produit vectoriel ici.
Vous le calculez explicitement en mettant les composantes de a et ici, les
composantes de b crosse c. J'ai appliqué la définition de b crosse
c ici.
Vous calculez ce déterminant là, vous avez des expressions très longues et vous allez
obtenir un résultat équivalant à cette formule.
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