Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
2.2 Projections des grandeurs vectorielles
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
84 notes
À partir de la leçon
Cinématique du point matériel. Calcul vectoriel.
Pour maîtriser la mécanique il faut savoir décrire le mouvement d'un objet, c'est ce qu'on appelle la cinématique. Vous allez prendre conscience du modèle du point matériel physique. La projection d'un vecteur sur un axe est une notion incontournable pour la suite du cours, tout comme les produits scalaire et vectoriel.
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Guten Tag.
Willkommen zur Vorlesung der allgemeinen Physik an der EPFL.
In dieser Lektion werde ich die Grundlage der Kinematik des
Massepunktes einführen und in diesem Modul muss ich diesbezüglich
ein paar technische Details erklären.
Ich werde zuerst den Begriff eines Koordinatensystems einführen. Ein
Koordinatensystem ist ein mathematisches Objekt wie ihr
sehen werdet. Danach werde ich den Begriff eines Skalarproduktes zwischen
zwei Vektoren einführen. Dies ist nötig um die Projektion eines Vektors auf eine
Achse zu definieren. Dies braucht man überall in der Newton'schen Mechanik
und da ich in diesem Modul die Vektor- Algebra erkläre werde ich eine
Definition des Vektorproduktes mit einschliessen. Ich beginne
mit der Definition des Einheitsvektors.
Das ist ein unabhängiger Vektor mit Norm 1. Stellt euch folgende
Situation vor: Ihr habt eine orientierte Achse welche ich als
Koordinatenachse benutzen werden, einen Punkt O auf der Achse, welcher den
Ursprung meiner Koordinaten definieren wird und ich will einen Einheitsvektor
auf diese Achse definieren. Hier eine Konvention zur Beschriftung.
Ich habe einen fett-gedruckten Buchstaben für den Vektor auf welchen ich einen
Hut mache um zu zeigen, dass es sich um eine Vektor mit Norm 1 handelt,
einen Einheitsvektor. Wenn ich jetzt einen Punkt P hier
auf der Achse habe und diese Distanz hier
gleich x ist und x positiv ist wenn wir in der Richtung
der Achse gehen und negativ wenn wir in umgekehrter
Richtung gehen. In dem Fall ist der Vektor OP gleich
x mal u. Ich definiere nun ein Koordinatensystem.
Für mich besteht ein Koordinatensystem aus einem Punkt und drei senkrechten
Einheitsvektoren welche ein so genanntes rechtshändiges Koordinatensystem ergeben.
Ich werde nur rechtshändige Koordinatensysteme brauchen. Ich werde
diesen Ausdruck in einen Augenblick erklären. Stellt euch
nun ein kartesisches Achsensystem
A, x1, x2, x3 und die Einheitsvektoren auf den
Achsen vor. x1 mit Hut um zu zeigen, dass es
ein Einheitsvektor ist, x2 und x3. Wenn ich sage, dass dieses
Koordinatensystem rechtshändig ist, heisst das folgendes:
es gibt mehrere Arten ein rechts- händiges Koordinatensystem
zu erklären, ich werde alle davon kurz erklären.
Ich beginne mit meine Lieblingsmethode, die Regel des Korkenziehers.
Um festzustellen ob x1, x2 und x3 ein rechtshändiges Koordinatensystem sind
lege ich x1 entlang des Griffes. Ich hänge x2
am ende von x1 an und ich stelle mir vor, dass x2, der Einheitsvektor
x2, an x1 zieht.
Jetzt übertrage ich diese Rotation auf den Griff, der Korkenzieher muss sich
nun in diese Richtung hier bewegen und diese Richtung muss in Richtung x3 sein.
So, dies ist eine Möglicheit
ein rechtshändiges Koordinatensystem zu definieren. Eine andere Art ein
rechtshändiges Koordinatensystem zu definieren ist die
Drei-Finger-Regel. Diese Regel geht wie folgt:
Man nehme den Vektor x1 entlang des Daumens, x2
der Zeigefinger, x1 und x2 definieren eine Ebene, die Ebene zwischen den
zwei Fingern. Und der Mittelfinger muss senkrecht
zur Ebene zwischen x1 und x2 sein
und der Mittelfinger muss in die Richtung von x3 Zeigen, so hier.
Eine dritte Möglichkeit ein rechtshändiges Koordinatensystem zu definieren
ist die Schraubendreher-Regel. Stellt euch dazu vor, dass
der Vektor x1 entlang der Handfläche ist, x2 entlang
der Finger und x3 muss in Richtung des Daumens liegen
wenn man immer die rechte Hand braucht. Ein Koordinatensystem
besteht also aus einem Punkt und
drei rechtwinkligen Einheitsvektoren welche ein rechtshändiges
Koordinatensystem bilden. Wie ihr sieht ähnelt meine Zeichnung einer Zeichnung.
Diese Zeichnung hier, mit ihren Koodinatenachsen, lässt an etwas
wie ein Bezugssystem denken.
Wir werden, aus praktischen Gründen, ein Bezugssystem häufig durch
Koordinatenachsen darstellen, aber man sollte die nicht verwechseln.
Hier spreche ich von Einheitsvektoren.
Ich werde sie als mathematisches Hilfsmittel brauchen aber ich habe
nicht gesagt, dass dieses Objekt hier jenes ist im Bezug zu welchem wir die
Geschwindigkeiten messen werden. Dies is sehr wichtig und später in dem Kurs
werden wir ein solches Koordinatensystem in Zylinder- und Kugel-Koordinaten
definieren. Dieses Koordinatensystem wird an den Punkt geheftet sein. Es ist
Ausgeschlossen die Geschwindigkeit eines Punktes im Bezug zu etwas zu messen
welches sich mit dem Punkt bewegt. Man hätte immer eine Null-Geschwindigkeit,
was uns nicht viel bringt. Man muss also gut zwischen dem Bezugssystem,
das Objekt im Bezug zu welchem die
Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen gemessen werden,
und dem Koordinatensystem welches aus drei Einheitsvektoren Besteht,
unterscheiden. Nun zur Definition des Skalarproduktes:
Stellt euch vor, dass wir ein Koordinatensystem und zwei
Vektoren habe. Hier nenne ich sie a und b und ihr seht
die Koordinaten des Vektors, welche ich hier beschriftet habe:
x1, x2, x3 und y1, y2, y3. Für uns
genügt es zu sagen, dass die Definition des Skalarprodukts
der Vektoren a und b folgendes ist: Das Skalarprodukt
von a und b, geschrieben a, ein Punkt in der Mitte der Linie,
b, ist die Summe des Produkts der einzelnen Koordinaten:
x1y1, x2y2, x3y3 addiert.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar wie man in
der Physik sagt, also eine Zahl. Schauen wir uns die Eigenschaften
des Skalarpordukts an: Ich stelle mir zwei Vektoren a und b mit einem
Winkel Theta dazwischen vor. Ich zerlege den Vektor
a in eine Summe zweier Vektoren, der eine davon parallel zu b,
der andre senkrecht zu b und jetzt bilde
ich ein Koordinatensystem. Vielleicht provoziere ich ein Bisschen hier.
Ihr seid euch diese Sachen nicht gewohnt.
Ich habe gegebene Vektoren und ich kann ein Koordinatensystem um
diese Vektoren bilden. Ich habe x, die kartesische Achse x,
entlang von a senkrecht und y entlang von b gemacht.
Jetzt berechne ich die Komponenten von jedem Vektor.
Die x-Komponente von a ist genau diese Distanz hier, welche
gleich dem Betrag von a mal dem Sinus von Theta ist.
Dies habe ich hier aufgeschrieben. Dies ist die x-Komponente des Vektors a.
Die y-Komponente von a, dies hier ist die y-Richtung, ist in dem Fall
diese Distanz hier und ist gleich dem Betrag von a
mal den Cosinus des Winkels Theta, was ich hier aufgeschrieben habe.
Der Vektor b ist ganz einfach der Betrag von b in Richtung b, wo
ich die Richtung von b der Richtung von y gleichgestellt habe.
Hier haben wir also plus b und wenn man nun die Definition des
Skalarprodukts hier anwendet sieht man, dass das Skalarprodukt
von a und b gleich dem Betrag von a mal
dem Betrag von b mal dem Cosinus des Winkel zwischen den beiden ist.
Ich habe diese Formel in rot geschrieben
um zu Zeigen dass man diese auswendig lernen muss.
Ihr werdet alle Zeit
dazu haben.
Jetzt, da wir das Skalarprodukt, kennen, können wir
die Orthogonalität der Vektoren eines Koordinatensystems mit dem Skalarprodukt
ausdrücken. Hier ist mein Koordinaten- system und ich will nun sagen, dass diese
zwei Vektoren orthogonal sind, ihr Skalar- produkt muss also Null sein, da das
Skalarprodukt gleich dem Betrag des Einen mal dem Betrag des Anderen mal
dem Cosinus des Winkels zwischen den Beiden, neunzig Grad, ist.
Der Cosinus von neunzig Grad ist Null. Wenn also zwei Vektoren orthogonal sind
ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Das Skalarprodukt von x1 und x2 ist
gleich Null, x1 x3 ist Null, x2 x3 ist Null. Ich schreibe das
folgendermassen: Für alle i un j, wo i und j gleich eins, zwei oder drei sind,
ist das Skalarpordukt von xi und xj gleich dem sogenannten
Kronecker-Delta ij ist. Das Kronecker- Delta ist gleich eins
wenn i gleich j ist und Null wenn nicht. Das ist nur eine Schreibweise.
Wenn i gleich j ist haben wir das Skalarprodukt eines Vektors mit sich
selber. Ihr wisst nun schon, dass dies das Quadrat des Betrags ist und
da es hier Einheitsvektoren sind ist dies wirklich gleich eins. Ihr könnt
auch die Formel des Skalarprodukts anwenden welche euch sagt, dass
das Skalarprodukt gleich dem Betrag der Vektoren mal dem Cosinus
des Winkel zwischen ihnen ist.
Da wir hier zweimal den selben Vektor haben, ist Theta hier gleich Null und
der Cosinus von Null ist gleich eins. Das Resultat wird also wieder eins sein.
Dies haben wir hier mit Delta ij geschrieben. Wenn i gleich j ist haben
wir eins. Ich kann nun die Projektion eines Vektors auf eine Achse definieren.
Dies ist sehr wichtig in dem Kurs über die Mechanik.
Wir werden Geschwindigkeiten, Beschleunigungen
und Kräfte projektieren, die ganze Zeit, immer, immer, immer.
Stellt euch eine ausgerichtete Achse wie hier.
Ihr habt einen Vektor AP, so hier.
AP ist fett-gedruckt um zu zeigen, dass es der Vektor AP ist.
Geometrisch würde die Projektion von P auf die Achse so
definiert, dass man die Senkrechte zur Achse zeichnet und
diesen Punkt P Strich nennt, wie hier.
Wir nennen die Projektion von AP auf
die Achse ein P Strich wenn wir die
Ausrichtung der Achse beibehalten.
Wenn ich nun einen Vektor u in der Richtung der
Achse gebe, wir werden gleich den Vektor v für die Richtung
senkrecht zur Achse brauchen aber im Moment brauchen wir nur den Vektor
u entlang der Achse. Ihr seht hier, ich nenne den Winkel, zwischen AP und
der Achse, Theta. Hier sieht man, dass AP, sorry, AP Strich
gleich dem Betrag von AP mal dem Cosinus
vom Winkel ist.
Dies muss gleich dem Skalarprodukt von AP und dem Einheitsvektor
u sein, per Definition. Das heisst, wegen der Eigenschaft des Skalarprodukts,
dass das Skalarprodukt von AP mal u gleich dem Betrag von AP mal dem
Betrag von u, eins, mal dem Cosinus des Winkels zwischen den Beiden ist.
Jetzt kann man sich amüsieren,
den Vektor AP als seine Projektion AP Strich mal
den Vektor u plus die Projektion P Strich P
des Vektors AP in der senkrechten Richtung mal den Vektor v zu schreiben.
Dies hiesst folgendes.
Ihr seht die Struktur dieser Gleichung, hier habt ihr AP mal u,
welches die Projektion von AP auf die Achse ergibt.
AP mal v, der andere Ausdruck, steht für
den rechtwinkligen Term. Ich habe AP u genommen und
habe es mit u multipliziert, nun habe ich eine Skalar, und dies ist
die Projektion von AP auf die Achse. Mal u, dem Vektoren auf der Achse,
ergibt es wieder ein Vektor, es ergibt diesen Vektor hier.
Dies ist der Vektor AP ( ich kann leider kein Fett-gedrucktes schreiben und
werde einen Pfeil machen) mal u Skalar- produkt mit u, noch einmal mit u.
Ich wiederhole, hier habt ihr
ein Skalarprodukt, das ist eine Zahl, und jetzt multipliziert man die Zahl
mit dem Vektor u, was diesen Vektor AP Strich ergibt. Ich kann es aufschreiben:
gleich der Vektor AP Strich.
All das, ich wische es schnell aus,
all das gibt den Vektor
AP Strich. Und jetzt, hier
habe ich den Vektor
P Strich P, den Vektor P Strich P.
Die Schreibweise kann etwas
schwerfällig wirken, aber sie sagt uns nichts neues. Hätten wir ein kartesisches
Achsensystem, mit einer Achse in dieser Richtung hier,
einer Achse in der senkrechten Richtun,
Einheitsvektoren, welche wir x1 Hut
und x2 Hut genannt hätten, dann hätten wir
den Vektoren AP, wir hätten es so schreiben können: x1, seine Komponente in Richtung
x1 mal den Vektor x1 plus die Komponente von AP in Richtung x2
mal den Vektor x2 Hut.
Kommen wir nun zu Definition des Vektorprodukts.
Für uns wird es genügen das Vektorprodukt wie folgt zu definieren.
Ich stelle mir zwei Vektoren mit den Komponenten a1, a2, a3 und
für den anderen Vektor b1, b2, b3 vor.
Als Vektorprodukt von a und b bezeichne ich dies hier und
ich werde diesen Ausdruck häufig a cross b nennen.
a cross b ist gegeben dur die Determinante die man erhält indem man
die Einheitsvektoren unseres Koordinaten- Systems in die erste Kolonne macht,
die Komponenten des ersten Vektors in die zweite Kolonne,
die Komponenten des zweiten Vektors in die dritte Kolonne.
Man berechnet das Produkt, die Determinante indem man
die x1-Komponente als x1 mal diese kleinere Determinante hier
berechnet. Diese ist gleich a2 mal b3 minus a3 mal b2.
a2 b3 moins a3 b2. Wenn ich jetzt die x2-Komponente
ausrechnen will, dann muss ich
a3 b1 minus a1 b3 rechnen, so wie hier.
Die dritte Komponente: a1 b2 minus a2
b1, a1 b2 minus a2 b1.
Diese Schreibweise hier, mit den Klammern, ist häufig etwas
ungeschickt in der Physik weil man nicht sieht, dass man
hier Elemente hat die auf ein Koordinatensystem projektiert
sind und dass dieses Koordinatensystem mit der Zeit sich verändern kann, wie
wir das noch lernen werden. Man kann also diese Schreibweise hier vorziehen.
a cross b ist gleich einer Komponente in der Richtung
x1, einer Komponente in der Richtung x2
und einer dritten in der Richtung x3.
Praktischerweise lernt man diese Formel nicht
auswendig, man berechnet einfach die Determinante. Ich komme jetzt
zu einigen Eigenschaften des Vektor- produkts. Die erste
ist hier: wenn ich das Vektorprodukt
von a und b nehme, also a cross b, dann ist das ein Vektor.
Jetzt werde ich das Skalarprodukt zwischen dem Vektor a cross b
und einem Vektor c ausrechnen.
Nun, wenn ihr einen Moment überlegt werdet ihr
sehen, dass ihr diese Rechnung sehr gut so machen könnt:
man ersetzt hier x1, x2, x3
mit den Komponenten des Vektors c.
Dieser kleine Rechentrick
wird uns bei einer essentiellen Eigenschaft des Vektorprodukts
behilflich sein. Wenn ich das Skalarprodukt von
a cross b mit a nehme, so habe ich a hier, b da und nochmals a.
Und ihr habt eine Determinante mit zwei identischen Kolonnen.
Es kann gezeigt werden, dass in diesem Fall die Determinante immer
Null sein muss. Hier ergibt es also Null.
Dies heisst, dass a cross b rechtwinklig
zu a ist.
Verständlicherweise gibt es auch Null
wenn ich das Skalarprodukt von a cross b und b ausrechne.
Das Vektorprodukt a cross b ist also
ein Vektor, welcher rechtwinklig zu a und b steht.
Lasst uns eine Zeichnung machen. Ich nehme wieder meine
Vektoren a und b mit dem Winkel Theta dazwischen und ich zerlege
a in ein a Parallel, a Senkrecht. Jetzt weiss ich, dass a cross b
ein Vektor ist welcher senkrecht zur Ebene mit a und b steht.
Ich kann also kartesische Achsen definieren,
aufbauend auf meinen Vektoren, genau so wie eben, die Vektoren x, y und z.
z steht senkrecht zur Ebene mit x und y welche auch a und b
enthält. Ich berechne jetzt die Projektionen der
Vektoren. Und ich berechne das Vektorprodukt.
Jetzt, da ich meine Einheitsvektoren x, y, z schon habe,
diese hier, muss ich die Projektionen des Vektors a
berechnen. Die Projektion von a in Richtung x ist gleich dem Betrag
von a mal Sinus des Winkels Theta, wie ich hier geschrieben habe.
Hier haben wir Cosinus Theta und da Null.
Die Vektoren a und b sind in der Ebene z gleich Null.
Wir haben also Null hier.
Für b ist es einfacher. b ist entlang von y weil wir
y entlang von b definiert haben. Wir haben also einfach b hier.
Wenn ich das Vektorprodukt
berechnen will, das heiss ich berechne diese Determinante, so wird nur ein
Element nicht-Null sein. Dieses hier. Es ist das Element in z welches b mal
Sinus Theta ist. Ich komme zu diesem sehr wichtigen Resultat, welches wir
die ganze Zeit benutzen werden: der Betrag vom Vektor a cross b ist
gleich dem Betrag von a mal dem Betrag von b mal dem Betrag
vom Sinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren.
Beim Skalarprodukt hatten wir, dass das Skalarprodukt gleich
dem Betrag von a mal dem Betrag von b mal dem Cosinus des Winkels ist.
Hier haben wir den Sinus des Winkels. Eine der Eigenschaften
des Vektorprodukts ist etwas seltsam. Ich werde sie aber
die ganze Zeit benutzen weil sie sehr bequem ist.
Schaut her.
Hier haben wir das Vektorprodukt von a mit dem Vektorprodukt n cross c.
Man kann nun zeigen, dass der resultierende Vektor
als a c b geschrieben werden kann. Ihr macht also das Skalarprodukt
a c mal den vektor b, minus a b c.
Um sich an die Formel mit dem richtigen Vorzeichen zu erinnern muss man
wissen, dass man zuerst a c b rechnet und dann a b c, in der Reihenfolge,
dies gibt das richtige Vorzeichen. So erinnere ich mich zumindest
an diese Formel.
Wie beweisen wir diese Formel? Ich schlage vor, ihr macht das.
Nehmt die Definition des Vektor- produkts hier.
Rechnet es explizit aus indem ihr die Komponenten von a hier rein macht und
da die Komponenten con b cross c. Ich habe die Definition von b cross c
angewendet hier.
Rechnet die Determinante hier aus und ihr werdet sehr lange Ausdrücke erhalten
und ihr werdet ein Resultat erhalten welches gleich dieser Formel ist.
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