Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
2.1 Cinématique du point matériel
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
81 notes
À partir de la leçon
Cinématique du point matériel. Calcul vectoriel.
Pour maîtriser la mécanique il faut savoir décrire le mouvement d'un objet, c'est ce qu'on appelle la cinématique. Vous allez prendre conscience du modèle du point matériel physique. La projection d'un vecteur sur un axe est une notion incontournable pour la suite du cours, tout comme les produits scalaire et vectoriel.
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour bienvenue
au cours de Physique Générale de l'EPFL Dans cette leçon
je vais poser les bases de la cinématique du point
matériel Je vais commencer par définir un
référentiel et cela me permettra de définir ensuite une vitesse
et une accélération vectorielle.
Pour commencer, je veux définir le terme cinématique.
La cinématique c'est cette partie très importante de la mécanique
qui consiste à décrire mathématiquement le mouvement d'un objet.
Alors dans le cadre du début de ce cours on va considérer le mouvement
d'un point.
Plus tard on considèrera le mouvement d'un solide.
A ce moment là il y aura des effets de rotation qui interviendront.
Dans un autre cours, vous pourriez étudier les déformations d'un
solide ou carrément un liquide. Chaque fois il faudra poser
les bases de la cinématique. La dynamique, c'est si l'on veut,
l'autre grande partie de la mécanique.
La dynamique cherche à décrire les causes d'un mouvement.
Je commence avec notre premier modèle, le modèle du point matériel.
On va convenir qu'on peut donner une description
pertinente d'un objet en décrivant son mouvement et pour
décrire son mouvement, on va attacher un point, ou si vous voulez,
on va considérer un point de cet objet et on va décrire le mouvement de ce point.
On va également attribuer toute la masse de
l'objet à ce point d'où le terme point matériel.
Vous voyez qu'on est en train d'apprendre à faire de la mécanique, une science
réputée exacte et pourtant on commence déjà à faire de grandes approximations.
En effet nous allons décrire des objets variés, ce pourrait être une locomotive,
une locomotive c'est énorme, une locomotive
a des roues, toute sortes de mécanismes.
On risque de choisir de faire une première
description du mouvement d'une locomotive en disant que c'est
un point matériel.
Un homme qui se jette d'un pont, avec, attaché, un élastique, on va peut-être le
représenter comme un point matériel qui a toute la masse de l'homme.
On verra quand on fera la dynamique du solide indéformable
que ce premier modèle du point matériel ne rend pas très bien compte
de ce qu'on observe dans la réalité.
Alors, cet écart entre la prévision du modèle du point matériel
et ce qu'on observe expérimentalement peut être de deux natures : ce peut
être ou bien une différence quantitative; imaginez un pendule, imaginez
que je fasse un pendule en prenant une barre rigide que j'accroche à un clou
et que je fasse l'approximation que cette barre se comportait
comme toute sa masse centrée à son centre de masse.
La mesure me permettra de voir que je fais une
erreur mais c'est une erreur simplement quantitative.
En revanche, si vous considérez les boules de
billard comme des points matériels pour beaucoup de mouvements,
ce sera correct, mais si vous faites tourner la bille de billard rapidement sur
elle-même vous allez voir qu'ils n'ont rien à voir avec ce que peut prédire le
modèle du point matériel.
Je définis maintenant un concept très simple mais très important.
Si on veux parler de vitesse et d'accélération on doit
absolument convenir de ce par
rapport à quoi on mesure cette vitesse ou cette accélération.
Cet objet, on appelle le référentiel Alors si on traite du problème d'une craie qu'on
jette dans un auditoire et bien on peut prendre l'auditoire comme référentiel.
Et si on fait une expérience de chute libre
dans un laboratoire, le laboratoire convient.
Si en revanche on veut discuter de l'orbite de la Terre autour du soleil on
va devoir considérer un référentiel beaucoup plus grand
tel que le soleil plus les étoiles lointaines.
En général on doit avoir au moins quatre points
pour définir un référentiel et ces quatre points ne doivent pas être coplanaires.
Trois points définissent un plan, vous prenez un quatrième point
en dehors et voilà, ça suffirait pour avoir un référentiel.
Très souvent, les référentiels sont des objets massifs, la
Terre, quelque chose comme ça. Il arrive qu'on
choisisse de prendre comme référentiel un système d'axes cartésiens.
Honnêtement je pense que si on le fait, c'est parce
que comme enseignant, c'est beaucoup plus facile de dessiner les trois
axes orthogonaux que de dessiner un coin de laboratoire, la Terre,
ou je ne sais quoi qui nous tient lieu de référentiel.
Mais ne faites pas la confusion d'associer
le système de coordonnées avec le référentiel.
Le référentiel joue le rôle que je lui ai donné,
le système de coordonnées peut ne pas être le référentiel.
Nous allons en voir un exemple frappant quand
nous introduirons les coordonnées
cylindriques et les coordonnées sphériques.
Le choix du référentiel c'est quelque chose de très important;
par exemple les forces centrifuges et la force de Coriolis
sont des forces qui interviennent quand on fait un certain
choix de référentiel et la fameuse théorie de la relativité d'Einstein part
de considérations générales sur le choix des référentiels.
Je passe maintenant à quelques définitions.
La trajectoire
c'est simplement le lieu géométrique des points du
référentiel par où va passer notre point matériel.
Alors ça peut être une parabole si vous étudiez le mouvement d'un point matériel
dans le champ de l'apesanteur, ça peut être l'ellipse que décrit une planète
autour du soleil, ou ça peut être une ligne droite
si vous avez un mouvement libre de force comme disait Galilée,
on a ce qu'il appelait le mouvement naturel, mouvement
rectiligne uniforme. J'appelle
équation horaire la fonction du temps
qui nous donne la position de notre point matériel en
fonction du temps. On a donc beaucoup plus d'informations que
la trajectoire; la trajectoire est simplement un lieu géométrique, quand je
donne l'équation horaire, je dis où se trouve le point matériel à quel moment.
On a donc plus d'informations.
Vous pouvez considérer que l'objectif ultime de la mécanique
c'est de donner l'équation horaire de tous les points matériels de l'objet considéré.
Alors voilà un diagramme typique : je
me suis permis comme d'habitude de
représenter mon référentiel par un système d'axes cartésiens O, x, y, z.
Chaque fois que j'utiliserai la lettre O ce sera pour désigner
un point du référentiel toujours.
Voilà un point P Je repère la position
du point P par le vecteur OP Alors notez cette
convention, lorsque je désigne un vecteur, j'utilise des lettres grasses.
Si le vecteur est représenté par deux points comme ici OP,
j'ai écris OP en gras Maintenant mes écritures seraient trop
lourdes si j'utilisais toujours deux lettres pour représenter un vecteur.
Donc je vais utiliser une notation simplifiée, par exemple r.
Vous remarquerez ici que r est en gras, cela veut dire que c'est un vecteur.
Comme on présume que le point matériel P se déplace dans le temps on
va désigner le temps par la variable t et on va donc dire que le
vecteur r est une fonction de t. pour exprimer
le fait que le point matériel bouge et on a donc ce qu'on
appelle une équation horaire r de t.
Je passe maintenant à la définition de la vitesse vectorielle
Comment va-t-on définir une vitesse?
Première chose, on se donne un référentiel.
Ensuite on va mesurer un déplacement, et on va diviser
le déplacement par le temps, ça nous donnera une vitesse.
Si on mesure le déplacement de façon vectorielle quand on
divise par le temps on va obtenir une vitesse vectorielle.
Remarquez d'abord qu'une vitesse du point de vue
de la physique c'est fondamentalement une grandeur vectorielle.
Une vitesse décrit un direction, la direction de l'objet, le module
de la vitesse donne la vitesse au sens commun, ce que l'on appelle en physique la
vitesse scalaire, et donc maintenant je dois
chercher comment re-exprimer mathématiquement
cette vitesse au sens physique. Alors je le fais de la
manière suivante : je me donne un
vecteur OP qui me repère la position de mon
point matériel, je détermine de combien la position
change pendant delta t, je divise par delta t, ici vous noterez
que j'ai un vecteur, je divise par un scalaire le delta t.
Je prends la limite lorsque delta t tend vers zéro
et voilà ce que je vais appeler la vitesse vectorielle.
Regardons de quoi cela a l'air si on en fait un dessin.
Je note que je vais utiliser cette notation dr sur d(t), sur le dessin
j'ai dr qui vaut v d(t) v d(t), ça fait
cet accroissement de r lorsque on passe de t à
t plus delta t, on prend la limite lorsque delta t tend vers zéro.
Alors voici un système d'axes cartésiens qui
représentent mon référentiel. Je suppose
que je connais la trajectoire
ici je repère la position
du point matériel au temps t par le vecteur r de t
Au temps t plus d(t) ici j'utilise
ma notation selon laquelle le delta t, je prends la limite quand d(t) tend
vers zéro donc j'écris d(t) Voilà r de t plus d(t), voilà le
déplacement r de t plus d(t) moins r(t), c'est un vecteur et bien sûr
sur le dessin j'ai pris un d(t) fini et maintenant je dois prendre
la limite lorsque d(t) tend vers zéro et cela va me donner la vitesse.
Passons maintenant à la définition
de l'accélération vectorielle Qu'est ce que c'est qu'une accélération ?
Ça doit être un changement de vitesse par unité de temps.
Donc notre définition de l'accélération sera forcément donnée
par le choix d'un référentiel très important,
trivial, vite fait mais très important. Et on va
exprimer mathématiquement le fait que l'on veut calculer
le changement de vitesse par unité de temps.
Alors voilà, on le fait de la manière suivante : on
calcule v au temps t plus delta t moins v au temps
t, changement de vitesse divisé par le delta t, on prend
la limite lorsque delta t tend vers zéro et on obtient l'accélération.
L'accélération c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
Ce qu'on peut écrire comme
ceci Faisons un dessin. Je rappelle ici
l'expression de l'accélération. on va écrire que d de v
vaut a fois d(t). On aimerait exprimer cela sur le dessin.
Alors je suppose que la trajectoire est connue.
Je dessine la position du point matériel au temps t et au temps t plus d(t).
Maintenant j'ai la vitesse au temps t qui est
comme ceci, représentée ici en rouge, j'ai la vitesse
au temps t plus delta t ici et je rapporte
ce vecteur vitesse à la position au temps t pour calculer l'accroissement
v de t plus delta t moins v de t ce qui doit nous donner a fois d(t).
d de v vaut a fois d(t) Voilà a fois d(t) c'est ce vecteur là.
Evidemment que sur le dessin j'ai pris un
d(t) énorme il faut prendre la limite lorsque
d(t) tend vers zéro et on va reprendre ça dans une autre leçon pour affiner
notre compréhension de l'accélération.
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