Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
2.1 Cinématique du point matériel
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
84 notes
À partir de la leçon
Cinématique du point matériel. Calcul vectoriel.
Pour maîtriser la mécanique il faut savoir décrire le mouvement d'un objet, c'est ce qu'on appelle la cinématique. Vous allez prendre conscience du modèle du point matériel physique. La projection d'un vecteur sur un axe est une notion incontournable pour la suite du cours, tout comme les produits scalaire et vectoriel.
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Guten Tag und willkommen
zum Kurs "Allgemeine Physik" der EPFL. In dieser Lektion
werde ich die Grundlage der Kinematik des Massenpunkts.
Ich werde damit beginnen ein Bezugssystem
zu definieren und das wird mir erlauben eine vektorielle Geschwindigkeit und
Beschleunigung zu definieren.
Zuerst möchte ich aber den Ausdruck Kinematik definieren.
Die Kinematik ist dieser sehr wichtig Teil der Mechanik
welcher darin besteht mathematisch die Bewegung eines Objekts zu beschreiben.
Im Rahmen des Anfangs dieses Kurses werden wir mit der Bewegung
eines Punktes beschäftigen.
Später werden wir uns mit der Bewegung eines Festkörpers beschäftigen.
An diesem Punkt werden dann auch Effekte der Rotation eine Rolle spielen.
In einem anderen Kurs könntet ihr die Deformation eines
Festkörpers oder sogar einer Flüssigkeit studieren. In jedem Fall muss man
die Grundlagen der Kinematik festlegen. Die Dynamik ist, könnte man sagen,
der andere grosse Teil der Mechanik.
Die Dynamik versucht die Ursachen einer Bewegung zu beschreiben.
Ich beginne mit unserem ersten Modell, dem Modell des Massenpunktes.
Wir werden übereinkommen, dass man eine stichhaltige Beschreibung
eines Objektes machen kann indem man seine Bewegung beschreibt. Und um
seine Bewegung zu beschreiben werden wir einen Punkt anhängen, oder wenn ihr wollt,
wir werden uns einen Punkt des Objekts anschauen und werden die Bewegung
des Punktes beschreiben. Wir werden ebenso die ganze Masse des
Objektes in diesen einen Punkt verlegen. Daher rührt der name Massenpunkt.
Ihr seht, wir sind dabei die Mechanik zu lernen. Die Mechanik steht im Ruf
genau zu sein, trotzdem haben wir schon begonnen grosse Annäherungen zu machen.
Wir werden tatsächlich verschiedene Objekte beschreiben, zum Beispiel eine Lokomotive:
eine Lokomotive ist sehr gross, eine Lokomotive
hat Räder, jede Art von Mechanismen.
Wir werden es wagen eine erste
Beschreibung der Bewegung einer Lokomotive zu machen, indem wir sagen,
dass es ein Massenpunkt ist.
Ein Mann der von einer Brücke springt, mit einem Seil an den Füssen, werden wir
vielleicht als Massenpunkt darstellen der die ganze Masse des Mannes besitzt.
Wir werden sehen, dass, wenn wir uns die Dynamik eines starren Körpers
anschauen, dieses erste Modell des Massenpunktes nicht wirklich das beschreibt
was wir in der Wirklichkeit beobachten können.
Diese Diskrepanz zwischen Vorhersage und Modell des Massenpunktes
und den experimentellen Beobachtungen kann zwei Ursachen haben: es kann
entweder eine quantitative Differenz sein; stellt euch ein Pendel vor, stellt euch vor,
dass ich aus einer festen Stange die ich an einen Nagel hänge, ein Pendel mache
und dass ich die Annäherung mache, dass diese Stange sich so verhällt
als ob all ihre Masse in ihrem Massenschwerpunkt konzentriert wäre.
Eine Messung würde mir erlauben zu sehe, dass ich einen Fehler gemacht habe
aber dieser Fehler ist nur ein quantitativer Fehler.
Auf die andere Seite, wenn ihr euch Billardkugeln
als Massenpunkte vorstellt, wird dieses für viele Bewegungen
korrekt sein, wenn ihr aber die Billard- kugel schnell um ihre eigene Achse
drehen lässt, werdet ihr sehen,dass die Bewegungen nichts mit den Vorhersagen
des Massepunkt Modells zu tun haben
Ich definiere jetzt ein sehr einfaches aber sehr wichtiges Konzept.
Wenn man von Geschwindigkeit und Beschleunigung reden will, muss man
sich auf jeden Fall einigen in
Bezug auf was man diese Geschwindigkeit oder Beschleunigung misst.
Das Objekt nennt man Bezugssystem. Wenn man nun die Aufgabe einer Kreide, die man
durchs Auditorium wirft, behandelt, kann man das Auditorium als
Bezugssystem nehmen. Und wenn man das Experiment des freien Falles
in einem Labor macht, bietet sich das Labor dar.
Wenn man nun aber über den Orbit der Erde um die Sonne diskutieren will,
werden wir ein sehr viel grösseres Bezugssystem in betracht ziehen müssen.
So zum Beispiel, die Sonne und die weit entfernten Sterne.
Im allgemeinen braucht es mindestens vier Punkte um ein Bezugssystem
zu definieren und diese vier Punkte dürfen nicht auf der selben Ebene sein.
Drei Punkte definieren eine Ebene, ihr nehmt nun einen vierten Punkt
ausserhalb und dies reicht um ein Bezugssystem zu haben.
Sehr oft sind die Bezugssysteme ein massives Objekt:
die Erde oder so etwas. Es passiert, dass man
als Bezugssystem ein kartesisches Achsensystem auswählt.
Ehrlich gesagt glaube ich, dass wenn man dies macht, so ist es weil
es, als Lehrer, viel einfacher ist drei orthogonale Achsen zu
zeichnen als eine Ecke eines Labors, die Erde,
oder was weiss ich was uns gerade als Bezugssystem hinhält.
Aber macht nicht das Durcheinander
das Koordinatensystem mit dem Bezugssystem zu verbinden.
Das Bezugssystem spielt die Rolle die ich ihm gegeben habe,
das Koordinatensystem muss nicht unbedingt gleich dem Bezugssystem sein.
Wir werden davon ein frappierendes Beispiel sehen wenn
wir die zylindrischen und spherischen
Koordinaten einführen werden.
Die Wahl des Bezugssystems ist etwas sehr wichtiges;
zum Beispiel sind die Zentrifugalkräfte und die Korioliskraft
Kräfte die auftauchen wenn man eine gewisse
Wahl des Bezugsystems trifft und die berühmte Einstein'sche Relativitätstheorie
geht aus allgemeinen Betrachtungen über die Wahl des Bezugssystems hervor.
Ich komme jetzt zu einigen Definitionen.
Die Flugbahn
ist einfach der geometrische Ort der Punkte
des Bezugssystems durch die unser Massenpunkt gehen wird.
Das kann also eine Parabel sein, wenn ihr die Bewegung eines Massenpunkts
im Schwerefeld studiert, das kann eine Ellipse sein die einen Planeten
auf dem Weg um die Sonne beschreibt, oder es kann eine gerade Linie sein
wenn ihr eine Bewegung ganz frei von Kräften habt, wie es Galileo gesagt hat,
hat man, was er natürliche Bewegung genannt hat, gradlinige und
gleichförmige Bewegung. Ich nenne
Zeit-Weg-Funktion die Funktion welche
uns die Position unseres Massepunktes
als Funktion der Zeit gibt. Wir haben in dem Fall viel mehr Informationen als nur
die Flugbahn; die Flugbahn ist einfach der geometrische Ort, wenn ich die
Zeit-Weg-Funktion gebe, sage ich wo sich der Massepunkt zu welcher Zeit befindet.
Wir habe also mehr Informationen.
Ihr könnt annehmen, dass das ultimative Ziel der Mechanik ist, die
Zeit-Weg-Funktion aller Massepunkte des Objekts in Frage anzugeben.
Und hier ein typisches Diagram:
ich habe mir erlaubt, wie das so üblich ist, mein
Bezugssystem mit einem kartesischen Achsensystem O,x,y,z, darzustellen.
Jedes Mal wenn ich den Buchstaben O benutze wird es sein um einen
Punkt des Bezugssystems zu benennen.
Hier ein Punkt P. Ich finde die Position
des Punktes P durch den Vektor OP. Merkt euch diese
Konvention, wenn ich einen Vektor benenne, brauche ich fett-gedruckte Buchstaben,
wenn der Vektor durch zwei Punkte dargestellt wird, wie hier OP,
ich habe OP in fett geschrieben. Meine Schreibweise wäre viel zu schwerfällig
wenn ich immer zwei Buchstaben benutzen würde um einen Vektor zu beschriften.
Ich werde also eine vereinfachte Notation benutzen, zum Beispiel r.
Ihr werdet feststellen, dass r fett-gedruckt ist, das soll heissen: es ist ein Vektor.
Da wir annehmen, dass der Massepunkt P sich mit der Zeit fortbewegt, werden wir
die Zeit mit der Variabel t und wir werden sagen, dass der
Vektor r eine Funktion von t ist, um auszudrücken, dass der Massepunkt
sich bewegt und schon haben wir was wir
Zeit-Weg-Funktion r von t nennen.
Ich komme jetzt zur Definition der Vektor-Geschwindigkeit.
Wie werden wir eine Geschwindigkeit definieren?
Zu aller erst bestimmen wir ein Bezugssystem.
Danach werden wir ein Wegstück messen und wir werden
das Wegstück dur die Zeit teilen. Das wird uns eine Geschwindigkeit geben.
Wenn man die Wegstücke vektoriell misst und man dann
durch die Zeit dividiert, erhält man eine Vektor-Geschwindigkeit.
Nehmt zur Kenntnis, dass eine Geschwindigkeit, aus physikalischer
Sichtweise grundsätzlich eine vektorielle Grösse ist.
Eine Geschwindigkeit beschreibt eine Richtung, die Richtung des Objekts,
der Betrag der Geschwindigkeit entspricht dem allgemeinen Verständnis und wird
in der Physik Skalar-Geschwindigkeit genannt. Und jetzt muss ich rausfinden
wie ich mathematisch diese Geschwindigkeit im physikalischen
Sinne ausdrucken kann. Dies mache ich folgendermassen:
ich nehmen einen
Vektor OP welcher mir die Position meines
Massepunkts angibt, ich ermittle um wie viel die Position
sich ändert während Delta t, ich teile durch Delta t. Hier werdet ihr
feststellen, dass ich einen Vektor durch einen Skalar, Delta t, teile.
Ich nehme den Limes für Delta t gegen Null
und bekomme das was ich Vektor-Geschwindigkeit nenne.
Schauen wir mal wie das ausschaut wenn wir es aufzeichnen.
Ich bemerke, dass ich diese Notation dr über d(t) benutzen werden. Auf der
Zeichnung ist dr gleich v d(t). v d(t) entspricht der
Zunahmen von r wenn wir von t zu
t plus Delta t gehen. Man nimmt den Limes für t gegen Null.
Hier seht ihr ein kartesisches Achsensystem welches
mein Bezugssystem definiert. Ich nehme an,
dass ich die Flugbahn kenne.
Hier. Ich gebe die Position
des Massepunktes zur Zeit t mit dem Vektor r von t an.
Zur Zeit t plus d(t), ich brauche
heir meine Schreibweise, welcher zufolge ich für Delta t den Limes
für d(t) gegen null nehme. Ich schreibe also d(t) und hier ist r von t plus d(t),
hier ist der Weg r von t plus d(t) minus r(t), das ist ein Vektor und ich habe
natürlich auf der Zeichnung ein endliches d(t) genommen und
jetzt muss ich den Limes für d(t) gegen Null nehmen und das wir mir die
Geschwindigkeit geben. Kommen wir nun zur Definition
der Vektor Beschleunigung. Was ist denn nun eine Beschleunigung?
Das muss eine Veränderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit sein.
Unsere Definition der Beschleunigung wir also gezwungenermassen durch
die Wahl eines sehr wichtigen Bezugssystems gegeben sein,
trivial, schnell gefunden aber sehr wichtig. Und wir werden es
mathematisch aufschreiben, dass wir eine Veränderung der Geschwindigkeit
pro Zeiteinheit ausrechnen wollen.
Und hier wie man es macht:
wir rechnen v zur Zeit t plus Delta t minus v zur Zeit t,
die Veränderung der Geschwindigkeit geteilt dur Delta t, wir nehmen
den Limes für Delta t gegen Null un wir erhalten die Beschleunigung.
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.
Dies kann man so schreiben.
Lasst uns das aufzeichnen. Zur Erinnerung hier nochmals
die Formel für die Beschleunigung. Wir schreiben d von v gleich
a mal d(t). Wir möchten das nun aufzeichnen.
Nehmen wir an, dass wir die Flugbahn kennen.
Ich zeichne die Position des Massepunkes zur Zeit t und
zur Zeit t plus d(t). Wir kennen nun die Geschwindigkeit zur Zeit t, welche
hier in Rot dargestellt ist. Hier ist die Geschwindigkeit zur Zeit t
t plus Delta t und ich verschiebe nun,
um die Zunahme von v von t plus Delta t minus v von t auszurechnen, diesen
Vektor der Geschwindigkeit an die Position p. Die muss nun gleich
a mal d(t) sein. d von v ist gleich a mal d(t). a mal d(t) ist dieser Vektor hier.
Ich habe natürlich hier auf der Zeichnung
ein sehr grosses d(t) gewählt. Man muss nun den Limes für
d(t) gegen Null nehmen. Dies werden wir in einer anderen Lektion machen
um unser Verständnis der Beschleunigung zu verbessern.
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