[БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео мы узнаем,
зачем же нужна вторая производная, и что такое свойство выпуклости функций.
Итак, как влияет знак производной на рост функции?
Ну если производная не отрицательна, то функция возрастает.
Если производная не положительна, то функция убывает,
что понятно из направления касательной к графику функции в точке.
Но что же будет, если сама производная будет возрастать или убывать?
Какому свойству функции это будет соответствовать?
Оказывается, что есть такое свойство.
Это свойство выпуклости и свойство вогнутости.
Выпуклой функцией называется функция, для которой касательная постоянно
увеличивает свой угловой коэффициент при увеличении x,
а вогнутой функцией называется функция,
для которой касательная будет уменьшать угловой коэффициент с ростом x.
Также в некоторых старых источниках используется терминология
«выпуклая вниз функция» и «выпуклая вверх функция».
Но мы будем использовать современную терминологию.
Когда функция выпуклая, наклон касательной растет и производная растет.
Следовательно, вторая производная должна быть не отрицательной.
Аналогично для вогнутой функции — вторая производная должна быть не положительной.
Если мы хотим потребовать строгой выпуклости, то есть отсутствия
прямых участков на графике функции, то достаточно потребовать,
чтобы производная от производной (ну то есть вторая производная) была больше нуля.
Аналогично для вогнутости — достаточно потребовать,
чтобы вторая производная была меньше нуля.
Что интересно, используя свойства выпуклости,
мы можем сформулировать достаточное условие экстремума.
Если выполнено необходимое условие (производная равна нулю),
и при этом вторая производная больше нуля, то мы имеем дело с выпуклой функцией.
Это означает, что в точке у нас точно будет минимум.
Аналогично, если вторая производная меньше нуля и выполнено
необходимое условие экстремума, то мы имеем дело с вогнутой функцией,
и это означает, что у нас точно будет максимум.
Таким образом, выпуклость или вогнутость функции превращает необходимое
условие экстремума в достаточное.
Можно ввести и более общее определение выпуклости функции.
Для этого рассмотрим отрезок, соединяющий какие-то точки графика функции.
Если функция при этом проходит под этим отрезком,
будем называть такую функцию выпуклой.
Аналогично, если она будет проходить над этим отрезком (и только над),
будем называть ее вогнутой.
Такое определение сработает и для функций,
у которых нет производной в некоторых точках.
Ну, например, можно разобраться в том,
что функция y = |x| — это выпуклая функция.
Выпуклость или вогнутость на некотором интервале приводит к тому,
что наименьшее значение на нем может быть только одно.
Давайте немножко разберемся с этим.
В случае минимума функция должна быть выпукла в окрестности минимума.
Это понятно из графика.
В случае максимума функция должна быть вогнута в окрестности максимума.
Это тоже понятно из графика.
С другой стороны,
у нас может быть более одного максимума или более одного минимума.
Но при этом, если мы хотим, чтобы было хотя бы два максимума,
то у нас найдется и минимум.
Это тоже несложно увидеть, попробовав построить различные графики.
Может быть один случай, когда есть два минимума, но при этом нет максимума.
Это разрыв.
Ну, например, у нас может быть некоторая вертикальная асимптота,
и отдельные части графика будут выпуклыми.
Но в случае разрыва у нас нарушится выпуклость всей функции.
Это тоже можно увидеть, попытавшись построить разные примеры.
То, что мы сейчас разобрали, конечно, ни капельки не доказательство.
Это скорее попытка убедить себя, что это все работает так.
Но формальное доказательство не так сложно.
И с ним при желании можно ознакомиться либо в литературе, либо в Википедии,
либо даже придумать самостоятельно.
Подведем итог.
Знак первой производной связан с монотонностью функции,
то есть с возрастанием или убыванием.
Знак второй производной связан с выпуклостью функции.
Выпуклость и вогнутость может быть определена и в общем случае,
когда не во всех точках есть производная функции.
Выпуклость и вогнутость обеспечивают единственность экстремума,
чем в дальнейшем мы еще будем пользоваться.
