В этом видео мы узнаем,
что такое ранг и определитель.
Рассмотрим пример.
Пусть есть два вектора.
У первого координаты (1, 2), у второго координаты (3, 1).
Их можно дополнить до параллелепипеда, получив при этом замкнутую фигуру.
И вот можно задаться вопросом: а какая площадь у этой фигуры?
Ну, можно смотреть формулу из школы, но при этом есть более простые способы.
Давайте составим матрицу, которая состоит из двух строк и двух столбцов,
и запишем в неё координаты векторов.
Первая строка матрицы будет иметь вид 1, 2, вторая — 3, 1.
Оказывается, что площадь параллелепипеда равна определителю этой матрицы,
который для матрицы размера 2 на 2 задаётся как a₁₁ * a₂₂
− a₁₂ * a₂₁ и обозначается как модуль A,
или как det A (от слова детерминант, это другое название определителя).
Можно посчитать, что в нашем случае эта формула даст (−5).
5 — это правильный ответ, но почему есть знак?
Оказывается, определитель выставляет знак площади в зависимости от ориентации
векторов относительно друг друга.
Если первый вектор идёт против часовой стрелки от второго,
то знак будет положительный, иначе — отрицательный.
Итак, немного подробнее про определитель.
Его можно задать только для квадратной матрицы, иначе он не определён.
Есть много способов сказать, что это такое.
Один из них — это объём параллелограмма,
построенного из n векторов по строкам или столбцам этой матрицы.
Если же говорить о более алгебраических способах задания определителя,
то один из них, например, позволяет задать определитель матрицы размера n на n через
некоторую взвешенную сумму определителей матриц размера n − 1 на n − 1.
Мы не будем вдаваться в подробности, но если вам будет интересно,
почитайте про теорему Гаусса.
Давайте перейдём к другому примеру.
У нас были векторы с координатами (1, 2) и (3, 1), и они были линейно независимы.
А что если это будут другие два вектора, с координатами (3, 1) и (6, 2)?
Они будут параллельны, они будут линейно зависимы.
Обратите внимание, что при этом площадь параллелограмма, построенного на них,
будет равна нулю.
Это важное замечание.
Если вектор линейно зависимый, то площадь — ноль,
если независимый — то площадь не ноль.
Оказывается, это довольно общий закон.
В терминах определителя он формулируется следующим образом: определитель
равен нулю тогда и только тогда, когда строки матрицы линейно зависимы.
То же самое можно сказать про столбцы: определитель равен нулю тогда и только
тогда, когда столбцы матрицы линейно зависимы.
Это довольно важное свойство.
Есть и другие свойства.
Например, определитель матрицы A транспонированная совпадает с
определителем матрицы A.
Или определитель матрицы A * B равен произведению определителей
матрицы A и матрицы B.
Давайте дадим другое определение, которое расположено примерно в той же области
линейной алгебры, где и определитель.
А именно — ранг матрицы.
Это определение состоит из двух частей.
Ранг системы строк матрицы A — это максимальное число линейно независимых
строк среди всех строк матрицы A.
Ранг системы столбцов матрицы A — это максимальное число линейно независимых
столбцов среди столбцов матрицы A.
Очень важная теорема линейной алгебры доказывает,
что ранг матрицы по столбцам всегда совпадает с её рангом по строкам.
Благодаря этому можно говорить просто о ранге матрицы A,
не разделяясь на строки или столбцы.
Ранг обозначается как rg A.
По сути, ранг характеризует количество информации, которое содержится в матрице.
Давайте рассмотрим пример, матрица размера 3 на 3, в которой, как мы видим,
строки линейно зависимы: чтобы получить вторую, нужно первую умножить на два;
чтобы получить третью, нужно первую разделить на два.
Кстати, заметьте, при этом столбцы тоже линейно зависимы.
Можно получить второй столбец из первого умножением на два,
а третий вообще совпадает с первым.
Это не случайно.
Ранг этой матрицы равен единице, откуда следует,
что можно заменить всю эту матрицу на одну строку,
потому что остальные строки линейно выражаются через неё.
То есть можно заменить матрицу A размера 3 на 3 на матрицу размера 3 на 1 с
элементами (1, 2, 1).
И при этом мы не потеряем никакой информации.
Таким образом, чем меньше ранг, тем сильнее можно сжать матрицу без потерь.
Итак, что мы узнали?
Определитель — это, по сути, объём параллелепипеда, построенного по векторам,
строкам матрицы A, или же по столбцам матрицы A.
Определитель не равен нулю, если столбцы линейно независимы,
если же они зависимы, то он будет равен нулю.
Ранг — это число линейно независимых строк или столбцов в матрице,
при этом он характеризует количество информации в этой матрице.
В следующем видео мы поговорим о системах линейных уравнений и о том,
как устроено их решение.
И в этом разговоре нам пригодятся определители и ранги.
Evgeniy Riabenko
Evgeny Sokolov
Victor Kantor
Emeli Dral
