[БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео вы узнаете, что такое предел и производная. Давайте рассмотрим какую-нибудь функцию. Например, f(x) равно (1 + x) и все это в степени 1 / x. При x = 0 функция не определена. Но можно посмотреть, как она себя ведет при приближении x к 0. Возьмем небольшое значение x. Например, 0.1, подставим в функцию, вычислим значение ее. Затем возьмем x поближе к 0, снова вычислим значение функции. Затем еще ближе, и еще. Мы видим, что значение функции приближается к некоторой величине. Именно эта величина и будет пределом этой функции при x стремящемся к 0. Рассмотрим другой пример: функция 1 / x. Опять же возьмем небольшое значение x. Например, 0.1. Затем еще меньше. Еще меньше. И еще. Видим, что в этом случае функция просто неограниченно растет при приближении к 0. Это означает, что предел 1 / x при x стремящемся к 0 равен бесконечности. Понятие предела позволяет формулизовать понятие непрерывности. Функция f(x) непрерывна в точке x = a тогда и только тогда, когда знак предела и знак функции можно переставить местами. Ну, то есть предел функции f(x) при x стремящемся к a будет равен f от предела x при x стремящемся к a, то есть f(a). Например, рассмотрим функцию 1 / (x − 1). При x стремящемся к a ее предел будет равен 1 / (a − 1), если a не равно 1. Но если a = 1, предел этой функции будет бесконечным. Это означает, что в точке x = 1 функция разрывна, а в остальных точках она непрерывна. Понятно, какой геометрический смысл вложен в это определение. Мы просто хотим, чтобы то значение функции, которое мы ожидаем при приближении к точке, было тем самым значением, которое функция действительно принимает в этой точке. Также понятие предела позволяет ввести другое полезное понятие — понятие производной. Но для начала давайте рассмотрим линейную функцию. Линейная функция имеет понятное уравнение f(x) = k * x + b. График линейной функции — прямая. И для нее понятно, что при изменении x на Δx, y будет изменяться на k умножить на Δx. То есть величина k — это некоторая скорость роста функции. Хотелось бы ввести такое же понятие и для произвольной функции. Но дело в том, что в случае линейной функции угол наклона был постоянный и величина k была постоянная. А в случае произвольной функции даже не совсем ясно, как ввести эту величину k. На помощь приходит понятие предела. Мы можем взять то же самое отношение Δy / на Δx и посмотреть на его предел при Δx стремящемся к 0. Эта величина и называется производной функции f(x) в точке x. Также теперь мы можем чуть более конкретно сформулировать, что же такое гладкие функции. Оказывается, гладкие функции — это функции, производная которых непрерывна. Подведем итог. Предел f(x) при x стремящемся к a (очень неформально) — величина, к которой стремится f(x), если x стремится к a. Предел позволяет сформулировать понятие непрерывности функции в точке. Производная — это скорость роста функции. И она тоже определяется с помощью понятия предела. Понятие производной будет активно использоваться нами в дальнейшем.