Предел и производная

Loading...

En provenance du cours de Moscow Institute of Physics and Technology

Математика и Python для анализа данных

2981 notes

Moscow Institute of Physics and Technology

Математика и Python для анализа данных

2981 notes

Cours 1 sur 6 dans Specialization Машинное обучение и анализ данных

Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Задача этого курса — сформировать такой фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов. Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas.

À partir de la leçon

Введение

Добро пожаловать! На этой неделе мы начнём осваивать язык Python — один из главных инструментов специалиста в науке о данных, и вспомним кое-что о производных, которые активно используются при настройке моделей машинного обучения.

Функции и их свойства6:12

Предел и производная4:00

Геометрический смысл производной2:19

Производная сложной функции2:49

Задача нахождения экстремума3:06

Вторая производная и выпуклость5:06

Rencontrer les enseignants

Evgeniy Riabenko
Evgeny Sokolov
Victor Kantor
Emeli Dral

[БЕЗ_ЗВУКА] В

этом видео вы узнаете, что такое предел и производная.

Давайте рассмотрим какую-нибудь функцию.

Например, f(x) равно (1 + x) и все это в степени 1 / x.

При x = 0 функция не определена.

Но можно посмотреть, как она себя ведет при приближении x к 0.

Возьмем небольшое значение x.

Например, 0.1, подставим в функцию, вычислим значение ее.

Затем возьмем x поближе к 0, снова вычислим значение функции.

Затем еще ближе, и еще.

Мы видим, что значение функции приближается к некоторой величине.

Именно эта величина и будет пределом этой функции при x стремящемся к 0.

Рассмотрим другой пример: функция 1 / x.

Опять же возьмем небольшое значение x.

Например, 0.1.

Затем еще меньше.

Еще меньше.

И еще. Видим,

что в этом случае функция просто неограниченно растет при приближении к 0.

Это означает, что предел 1 / x при x стремящемся к 0 равен бесконечности.

Понятие предела позволяет формулизовать понятие непрерывности.

Функция f(x) непрерывна в точке x = a тогда и только тогда,

когда знак предела и знак функции можно переставить местами.

Ну, то есть предел функции f(x) при x стремящемся к a будет равен f от

предела x при x стремящемся к a, то есть f(a).

Например, рассмотрим функцию 1 / (x − 1).

При x стремящемся к a ее предел будет равен 1 / (a − 1), если a не равно 1.

Но если a = 1, предел этой функции будет бесконечным.

Это означает, что в точке x = 1 функция разрывна,

а в остальных точках она непрерывна.

Понятно, какой геометрический смысл вложен в это определение.

Мы просто хотим, чтобы то значение функции,

которое мы ожидаем при приближении к точке, было тем самым значением,

которое функция действительно принимает в этой точке.

Также понятие предела позволяет ввести другое полезное понятие —

понятие производной.

Но для начала давайте рассмотрим линейную функцию.

Линейная функция имеет понятное уравнение f(x) = k * x + b.

График линейной функции — прямая.

И для нее понятно, что при изменении x на Δx,

y будет изменяться на k умножить на Δx.

То есть величина k — это некоторая скорость роста функции.

Хотелось бы ввести такое же понятие и для произвольной функции.

Но дело в том, что в случае линейной функции

угол наклона был постоянный и величина k была постоянная.

А в случае произвольной функции даже не совсем ясно, как ввести эту величину k.

На помощь приходит понятие предела.

Мы можем взять то же самое отношение Δy / на Δx и посмотреть на его

предел при Δx стремящемся к 0.

Эта величина и называется производной функции f(x) в точке x.

Также теперь мы можем чуть более конкретно сформулировать,

что же такое гладкие функции.

Оказывается, гладкие функции — это функции, производная которых непрерывна.

Подведем итог.

Предел f(x) при x стремящемся к a (очень неформально) — величина,

к которой стремится f(x), если x стремится к a.

Предел позволяет сформулировать понятие непрерывности функции в точке.

Производная — это скорость роста функции.

И она тоже определяется с помощью понятия предела.

Понятие производной будет активно использоваться нами в дальнейшем.

Explorer notre catalogue

Rejoignez-nous gratuitement et obtenez des recommendations, des mises à jour et des offres personnalisées.

Coursera propose un accès universel à la meilleure formation au monde, en partenariat avec des universités et des organisations du plus haut niveau, pour proposer des cours en ligne.

© 2018 Coursera Inc. Tous droits réservés.

Télécharger dans l'App Store

Disponible sur Google Play