[БЕЗ ЗВУКА] В этом видео мы
поговорим об особых типах матриц, которые будут иногда встречаться в наших курсах.
Как мы уже знаем, матрица, по сути,
задает линейное преобразование из одного векторного пространства в другое.
Если матрица квадратная, то можно говорить, что она отображает
одно векторное пространство в само себя, то есть переводит векторы этого
пространства в какие-то другие векторы этого же пространства.
Это можно визуализировать следующим образом.
Нарисуем единичный квадратик в осях XY в двумерной плоскости.
Тогда можно рисовать,
во что переходит этот квадратик после применения преобразования.
Например, если мы применяем к нему матрицу (−1, −1, 1, 3),
он отражается, поворачивается и растягивается в некоторых направлениях.
Первый тип матриц, о которых мы поговорим — это диагональные матрицы,
то есть матрицы, у которых на главной диагонали стоят какие-то числа,
а вне нее — только нули.
Частным случаем диагональных матриц является единичная матрица,
у которой на главной диагонали стоят единицы.
Она обозначается большой буквой I.
По сути, диагональные матрицы растягивают i-тую координату в aii раз.
То есть какое число стоит на i-том элементе диагонали,
во столько раз и растягивается i-тая координата.
Например, матрица, у которой на главной диагонали стоят числа 2 и 1
растягивает первую координату в 2 раза.
Следующий тип — это ортогональные матрицы.
Так называются матрицы, для которых транспонированная версия
является обратной, или, если записать алгебраически,
A транспонированное умножить на A равняется единичной,
и A умножить на A транспонированное равняется единичной матрице.
У ортогональных матриц есть несколько интересных свойств,
которые несложно доказать.
Например, они сохраняют длины векторов,
то есть норма вектора Ax совпадает с нормой вектора x.
Также они сохраняют скалярные произведения, то есть скалярное
произведение Ax на Az совпадает со скалярным произведением x на z.
А раз ортогональные матрицы сохраняют длины и скалярные произведения,
то они и сохраняют углы.
Можно догадаться, что это матрицы, которые задают преобразования
типа поворотов и вращений, которые не меняют длины и углы.
Например, матрица с элементами (0,96, 0,28, −0,28,
0,96), которая является ортогональной,
поворачивает наш единичный квадратик на примерно 20 градусов.
В прошлых видео мы с вами обсуждали определитель.
Это довольно сложное математические понятие, которое, например,
характеризует объем параллелепипеда, построенного на векторах-строках матрицы.
У него есть и другие эквивалентные определения.
Еще один способ задать определитель — это сказать, что это характеристика того,
во сколько раз увеличится площадь единичного квадрата после применения
линейного преобразования, если матрица имеет размер 2 x 2.
У ортогональных матриц, следуя из этого определения,
определитель всегда равен плюс или минус единице,
то есть ортогональные преобразования сохраняют площадь квадрата.
Они могут вращать его, отражать, но никак не поменяют его площадь.
Наконец, последний специальный класс матриц — это симметричные,
то есть матрицы, у которых транспонированная версия совпадает с
исходной, то есть A транспонированное равняется A.
Это уже более широкий класс матриц, у них меньше интересных свойств,
но основное заключается в том, что любую симметричную матрицу A можно представить
в виде произведения ортогональной, диагональной и еще одной ортогональной.
Это означает, что, по сути, симметричная матрица представляет собой как
вращение и отражение, так и растяжение.
Например, матрица вида (1, 2, 2, 1), по сути,
поворачивает квадрат и растягивает его по обеим координатам.
Итак, что мы узнали?
Квадратные матрицы переводят элементы векторного пространства в это же
пространство, при этом диагональные матрицы только растягивают векторы вдоль
осей, ортогональные вращают и отражают их, симметричные представляют собой
композицию ортогональных преобразований и диагональных, растягивающих,
преобразований.
В следующем видео мы с вами поговорим о собственных векторах и собственных
значениях.
