Добрый день. Мы продолжаем занятия по курсе «Экономико-математическое моделирование». Сегодня у нас шестой урок. Этот урок начинает цикл уроков, посвященных задачам на экстремум. Это очень важный и востребованный класс задач в экономике, поскольку если говорить о функциональной зависимости эндогенных переменных от экзогенных, то, как правило, эти эндогенные переменные как функции требуют в зависимости от содержательного смысла решения задач на максимальное либо минимальное значение этих переменных. Тема сегодняшнего урока: постановка задач на безусловный экстремум. И будут даны примеры на этот тип экстремума. Содержание: постановка задач оптимизации в экономике; задачи безусловной оптимизации в экономике; пример: ну и, как всегда, заключение и литература. Задачи оптимизации в экономике делятся на несколько таких агрегированных классов. Прежде всего, это задачи оптимизации на безусловный экстремум. Это класс задач, когда на экзогенные переменные функциональной зависимости не накладываются никаких ограничений. Второй класс — задачи оптимизации с ограничением типа равенства. Это класс задач при наличии ограничений ограничений вот такого специального типа, когда эти ограничения математически выражаются с помощью равенств, которые уходят экзогенной переменной. Следующий класс задач в экономике — это, оптимизации, задачи линейного программирования. Задачи линейного программирования — это очень важный и востребованный, и широко используемый класс задач. Это класс задач, когда эндогенная переменная, функция, которая в задачах оптимизации, как правило, называется целевой функцией, является линейной функцией от экзогенных переменных. И в задачах оптимизации экзогенные переменные, как правило, называются управляющими переменными, поскольку мы решаем задачу оптимизации, подбирая, управляя значениями этих переменных. В задачах линейного программирования и ограничения, которое выражается в виде равенств или неравенств относительно управляющих переменных, также являются линейными. Задачи квадратичного программирования — это задачи, в которых целевая функция — квадратичная функция управляющих переменных, а ограничения, налагаемые на экзогенные переменные, на управляющие переменные, являются также линейными, как в задачах линейного программирования. Ну, и наконец, общая задача нелинейного программирования, которая не подходит ни под одну из тех задач, классов задач, которые перечислены выше. Нелинейная может быть отличная от квадратичной функции целевая функция и ограничения также выражаются математически с помощью нелинейных равенств или неравенств. Ну, и наконец, можно выделить отдельный класс задач оптимизации, относящихся к временным процессам в экономике, когда отслеживает временное изменение того или иного интересующего исследователя показателя, экономического показателя, и старается оптимизировать в процесс, так сказать, его динамического изменения этот показатель. Постановка задач оптимизации в экономике. Оптимизационные задачи в экономике направлены на поиск наилучшего варианта решения из некоторого множества возможных решений, которые вот как раз и определяются этими ограничениями. Критерием оптимальности таких моделей служит достижение экстремального, минимального или максимального значения в зависимости от содержательного смысла значения этой эндогенной переменной, которая, я еще раз повторяю, называется в теории оптимизации целевой функцией. Экзогенные переменные задач оптимизации в экономике, как уже говорилось ранее, называют управляющими переменными. А эндогенные переменные, функции называют целевыми функциями. Смысл целевой функции зависит от вида и смысла решаемой экономической задачи. Например, в экономических моделях в качестве целевой функции может выступать прибыль, выручка от реализации выпущенной продукции, эффективность производства и т. д. Ясно, что в этом случае задача ставится на максимизацию этой целевой функции. Или, например, величина производственных издержек, показатель неопределенности в условиях неопределенности или риски, убытки. Ясно, что в этом случае целевая функция подлежит минимизации. Различают условные и безусловные задачи оптимизации. В условных задачах на переменные модели, на управляющие переменные, накладываются ограничения, сужающие область изменений управляющих переменных целевой функции. Простейшим ограничением является естественное для многих практических задач экономики требование не отрицательности экзогенных переменных, управляющих переменных, носящих материальный характер (например, объем ресурсов при выпуске какой-либо продукции, цены и т. д.). Возможны и другие ограничения, связанные, например, с ограниченностью финансовых и трудовых ресурсов. Такие ограничения всегда имеют вид равенств или неравенств. А в задачах на безусловный экстремум ограничения на управляющие переменные отсутствуют, поэтому они называются: задачи на безусловный экстремум. Вот к этому классу задач мы переходим. Многие экономические явления обладают такой многофакторной зависимостью, поэтому при изучении процессов в экономике вводят функции и рассматриваются функции многих переменных. Переменная y называется функцией нескольких переменных x_1, x_2 и т. д. x_n. В данном случае, в задачах оптимизации это управляющая функция, зависящая от управляющих переменных x_1, x_2 и т. д. x_n. Если существует отображение, вот, значений этих переменных на значения, совокупность значений этих переменных на какую-то область значений управляющей переменной. Пусть точка М — точка экстремума, является точной экстремума. Тогда частные производные в этой точке от функции y по x_1, x_2 и т. д. x_n должны равняться 0. И получаем систему из n уравнений с n неизвестными, решая которые мы находим подозрительные на экстремум точку этой целевой функции. Пример: найти значение экзогенных переменных, которые могут доставлять экстремум производственной функции, имеющей вот такой вид специальный. А — это параметр. Мы будем предполагать, что это параметр положительный. А в скобках квадратных стоит вот такая разность. Круглые скобки показывают, что идет речь о скалярном произведении. Первое скалярное произведение вектора Z, состоящее из двух компонентов x и y. Знак Т показывает, что это транспонированная строка, то есть является столбцом. Как правило, в математических выкладках вектор трактуется как столбец. Ну, и скалярное произведение вектора Z, двумерный, как мы видим, с вектором f, который задается своими двумя компонентами, вот ниже у нас f_1 — первая компонента, вектор 35, вторая — 46. Таким образом скалярное произведение Z на f есть x умножить на 35 плюс 46 умножить на f. Ну, а со знаком «минус» второе слагаемое следующее в квадратных скобках — это квадратичная форма относительно х, y, поскольку на нее действует, на первый составляющий скалярного произведения действует матрица W — матрица 2 на 2, как вы видите. Между прочим, она симметрична, поскольку элементы неглавной диагонали W_12 и W_21 равны между собой. После действия матрицы W на вектор Z получаем вектор размерности 2 и он скалярно с этим же вектором Z берет скалярное произведение. В итоге получается квадратичная формула, которая приведена на следующем слайде в развернутом виде относительно x и y она имеет вид линейно-квадратичной функции. Параметр А умножается на суперпозицию этих слагаемых. Линейная функция состоит из двух слагаемых: 35х плюс 46y, а со знаком «минус» у нас три слагаемых, являющихся квадратичными функциями относительно x и y. Для нахождения значения экзогенных переменных, которые доставляют экстремальные значения этой производственной функции П, необходимо взять две частные производные dП по dx и прировнять к 0, и dП по dy. И мы получаем относительно x и y систему линейных алгебраических уравнений: два уравнения с двумя неизвестными, решая которые решение будет единственно, естественно, в данном случае. Мы получаем решение, выраженное в числовом таком представлении, как x = 0,787 и y = 0,59. У сожалению, на этом этапе нельзя ответить, будет ли эта точка экстремумом этой функции, поскольку это лишь подозрительная на экстремум точка. А для того чтобы ответить на вопрос: минимум, максимум в этой точке до целевой функции или ни то, ни другое, мы должны продолжить исследование с помощью так называемой матрицы Гессе. Это будет тема следующего урока. Итак, на уроке 6 дана постановка задач оптимизации в экономике и описание их применения в эконометрических исследованиях; приведено определение безусловных задач оптимизации в экономике, задач на условный экстремум и приведен пример постановки задач на безусловный экстремум в экономике. Ну, и как всегда, список литературы, которым можно воспользоваться для расширения знаний в частности по тематике данного урока. Спасибо за внимание.
