[МУЗЫКА]
Итак, что же общего может быть у таких разных
и по размеру, и по форме, и по комбинаторным данным многогранников?
Что у них может быть общего?
Великий математик XVIII века,
основоположник науки топология, Леонард Эйлер,
который, кстати, полжизни прожил в России,
догадался до некоторой совершенно замечательной формулы.
Причём настолько простой, что
я не могу себе представить, что до него её никто не знал.
Может быть, он первый, кто её доказал в строгом виде.
Итак, давайте посчитаем у каждого из этих многогранников
количество вершин, рёбер и граней.
Начнём с тетраэдра.
У тетраэдра четыре вершины.
B = 4, шесть рёбер и четыре грани.
Каждый из вас может проделать это упражнение самостоятельно.
Перейдём к кубу, про который тоже все, в общем, всё знают.
Вершин у куба восемь, рёбер — 12, а граней — шесть.
Далее следует чуть менее известный многогранник,
правильный многогранник под названием октаэдр.
У него — раз, два, три, четыре, пять, шесть вершин,
у него — один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, 11, 12 рёбер,
а граней у него — восемь.
То есть он устроен зеркально относительно куба,
и на самом деле в этом есть некоторая глубинная математическая причина,
но её касаться мы сейчас не будем.
Наконец, возьмём самый сложный из наших многогранников — икосаэдр.
Если аккуратно посчитать вершины, то их получится 12 штук.
Один, два снизу и по пять на каждой широте, так сказать,
если его представить в виде земного шара.
С северным, южным полюсом и двумя широтами.
Рёбра просчитать ещё сложнее, но если сделать это
аккуратно и внимательно, получится, что их 30.
Граней у него 20, а именно пять сверху,
пять снизу и десять вот в этом перешейке.
Ну и теперь уже не так сложно угадать, что же
у всех этих наборов данных общее.
В – Р + Г.
То есть если вы вычтете из количества вершин количество рёбер,
а потом прибавите количество граней,
то всё время получается одно и то же число, равное двум.
Это называется теорема Эйлера.
В – Р + Г для любого многогранника, образующего
поверхность сферы, то есть из которого можно изготовить
путём надувания футбольный мяч,
для любого такого многогранника В – Р + Г = 2.
Это надо доказывать, и это утверждение
вслед за Эйлером мы строго докажем. A пока что я хочу сказать,
хочу наглядно продемонстрировать,
что для многогранника, который надувается в тор,
то есть для любого многогранника, так сказать,
нанесённого на поверхность тора, значение будет уже другим.
Ну давайте приведём какой-нибудь конкретный пример многогранника
на торе и посчитаем у него В, Р и Г, после чего вычислим вот эту самую
Эйлерову характеристику, как её называют математики.
Итак, берём тор и попробуем его сшить,
как мы сшивали футбольный мяч из некоторых многоугольников.
Попробуем тор сшить из квадратиков.
Нанесём четыре вершинки вот так вот по вот этой окружности,
которую мы ниткой обводили, и соединим эти вершинки
между собой рёбрами. Получится квадрат.
Топологически это квадрат, хотя, конечно,
после надувания он превратился в окружность.
Но топологически это квадрат.
Теперь давайте к этому квадрату вот так вот прибавим
четыре ребра и здесь сделаем ещё один квадрат.
В результате мы на самом деле часть, кусочек вот этого тора превратили в куб.
Итого, мы на торе нарисовали некоторый кубик.
Теперь, чтобы получить тор, нам нужно этот куб, так сказать, клонировать
несколько раз, вот так по поверхности тора будем идти,
клонируя этот куб, и в конце концов мы упрёмся
в зад вот того куба, который мы уже построили.
Получается, что из нескольких кубов, ну скажем, из десятка кубов,
у нас получится весь тор.
Теперь я призываю некоторое воображение.
Мне понадобится сейчас воображение слушателей, чтобы понять,
сколько у такой фигуры будет вершин, рёбер и граней.
Давайте попробуем. Итак, вершин — один, два, три, четыре,
и так со сдвигом по четыре вершины у каждого следующего куба.
И у последнего тоже четыре вершины, потому что
всего у куба восемь вершин, но каждая
четвёрка повторяется вместе с четвёркой следующего за ней.
Поэтому здесь каждый из кубиков в нашу картинку
вкладывает четыре вершины.
Итого, если кубиков, например, было десять,
у нас получится десять поясов, да?
По четыре вершины. То есть вершин будет 40. Прекрасно.
сколько у него будет рёбер?
Тоже, смотрите, каждый кубик вкладывает в общее дело восемь рёбер.
Четыре, которые соединяют эти четыре вершины, и четыре, которые вот так
попарно соединяют эти вершины со следующим поясом.
А рёбра следующего пояса мы уже не учитываем,
потому что их мы учтём при рассмотрении следующего приложенного сюда куба.
Итого — по восемь. Поэтому всего рёбер будет 80.
Каждый их кубиков, из десяти кубиков, из которых мы сложили тор,
дал нам восемь рёбер. Итого — 80 рёбер.
Осталось посчитать количество граней, что тоже очень просто.
В каждом поясе, да? У каждого куба мы видим
только внешние вот эти вот боковые четыре грани.
Две внутренние грани — это грани, которые лежат внутри самого тора,
не на его поверхности, поэтому мы их вообще не видим и не считаем.
Тем самым на поверхности остаётся на каждый куб по четыре грани.
Итого — 40. Г = 40.
А теперь, пожалуйста, посмотрите, чему равно 40 – 80 + 40, В – Р + Г?
Оно равно нулю.
Итак, мы предъявили конкретный многогранник на торе,
у которого Эйлерова характеристика равна нулю, а вовсе не двум.
Из этого абсолютно неопровержимо и строго следует,
что не существует непрерывного преобразования тора,
взаимно однозначного непрерывного преобразования тора в футбольный мяч.
Потому что при этом преобразовании
конкретная вот эта вот... вот этот остов тора —
он, естественно, так как мы ничего не разрезали,
должен перейти в остов футбольного мяча,
но как мы докажем в дальнейшем, я сейчас пока пользуюсь
этой теоремой Эйлера, но в дальнейшем мы её докажем,
у любого остова, который является футбольным мячом,
у любой картинки, нарисованной на футбольном мяче,
или у любого многогранника, из которого можно сделать футбольный мяч,
В – Р + Г должно быть равно 2,
а у этого остова В – Р + Г = 0.
Поэтому невозможно преобразовать эту фигуру в эту,
ибо вот этот остов перешел бы в остов, нарисованный на шаре,
на поверхности шара, у которого В – Р + Г было бы равно 0.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
