[МУЗЫКА]
Итак, экземплярами, каких многоугольников можно,
а каких нельзя, замостить плоскость? Такой простой и понятный вопрос.
Поразительно, что ответа на этот вопрос пока нет.
Нет полного исчерпывающего описания всех видов многоугольников,
которыми можно замостить плоскость,
то есть копиями которых, можно уложить всю плоскость целиком.
Не правда ли, удивительно, что настолько естественный и простой
школьный вопрос до сих пор не получил полного ответа в математике?
То есть этот вопрос является открытой математической проблемой.
Но при этом эта проблема продвинута довольно сильно.
Значит, сейчас я перечислю те достижения, которые на сегодня существуют.
никакой семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник,
десятиугольник и так далее,
то есть ни один многоугольник с количеством вершин, большим,
чем шесть, не годится для замощения плоскости.
То есть невозможно замостить плоскость
копиями никакого выпуклого семиугольника,
выпуклого восьмиугольника, выпуклого девятиугольника и так далее.
Невыпуклого, пожалуйста, там примеры есть.
Вообще, про невыпуклые фигуры известно очень мало.
Многими видами фигур можно замостить, многими нельзя, поэтому
сейчас мы будем говорить только про выпуклые фигуры — выпуклые многоугольники.
Итак, теорема про то, что никаким выпуклым семиугольникам,
никаким выпуклым восьмиугольникам и т.д.
плоскость нельзя замостить, является красивейшей теоремой,
относящейся к математическому анализу.
И доказательство этой теоремы мы сможем с вами разобрать,
немножко поднаторев в математике.
Поэтому пока что я перейду к пятиугольникам и шестиугольникам.
Потому что смотрите, треугольниками и четырехугольниками можно любыми,
семиугольниками, восьмиугольниками и так далее — никакими вообще.
И остается только вопрос про пятиугольники и шестиугольники.
Что здесь известно?
Про шестиугольники известно некоторое количество серий, так сказать,
шестиугольников, копиями каждого из которых можно замостить плоскость.
Довольно много серий таких шестиугольников известно,
и пока нет надежды на то, что будет получено полное описание.
Про пятиугольники история гораздо более интересная и захватывающая.
Примерно 100 лет назад вышла работа, в которой было указано несколько типов,
шесть или семь типов пятиугольников, которыми можно замостить плоскость.
И было доказано, что не существует больше никаких пятиугольников,
годных для замощения.
Прошло некоторое время, довольно небольшое, как выдумали восьмой.
Раз выдумали восьмой, значит, доказательство-то было неверным?
Так вот, его проверили, и там нашли ошибку.
«Вот теперь точно.
Вот теперь у нас восемь видов пятиугольников, ими можно
замостить плоскость, никакими больше замостить плоскость нельзя».
Вот некоторые из них здесь я уже показывал, некоторые из этих видов.
Но сейчас я продолжу эту замечательную детективную историю.
Спустя некоторое время, в Америке обнаружилась одна дама с математическим
образованием, которая сидела дома — такая американская домохозяйка.
И которая занималась изобретением пятиугольников, которыми можно
замостить плоскость. Она не поверила в доказательство и изобрела девятый способ.
С одной стороны, лежит доказательство где-то там,
в Американском математическом сообществе, пожалуйста, можно открыть,
в нем доказано, что кроме этих восьми типов, других пятиугольников нет.
А вот, пожалуйста, вам пятиугольник, который предъявляет эта домохозяйка.
То ли она ошиблась, там на самом деле не замощение,
а где-то чего-то не попадает, то ли доказательство неверное.
Как вы думаете, в этой гонке на кого ставить, на какую лошадку ставить?
Правы были те, кто поставил на американскую домохозяйку.
Девятый вид многоугольников был правильный, а доказательство было неправильное.
«Большое спасибо этой даме,
теперь точно совершенно — девять видов и никаких больше».
Спустя небольшой временной промежуток,
та же самая домохозяйка приносит десятый вид пятиугольника.
Проверяют опять, опять домохозяйка права, доказательство неверное.
Теперь внимание. Это продолжалось вплоть до 1985 года,
когда эта хозяйка уже пополнила список вплоть до 14 видов пятиугольников.
И опять говорили, что вот теперь это уже 100 %,
это самое точное доказательство.
Но если честно, в него уже, конечно, никто не верил.
То есть, уже столько раз находили ошибки, что люди считали,
вот наверняка, в этом доказательстве что-то не учтено.
Однако, 15-го пятиугольника не появлялось и не появлялось.
И вот еще буквально два года назад, когда я рассказывал этот материал,
«На сегодня известно 14 видов
пятиугольников, которыми можно замостить плоскость».
И вроде как есть доказательства, которые якобы верные, в общем,
полного доверия ему нет.
изобретают 15-й пятиугольник.
15-й пятиугольник, которым можно замостить плоскость.
В 2015 году, спустя 30 лет, но это уже другие люди.
Американская домохозяйка уже не участвует в этом соревновании.
Но в 2015 году, пожалуйста вам, вот ещё 15-й вид.
И на сегодня, лично мне ясно следующее, что
задача эта чрезвычайно сложная, к ней настоящий метод еще просто не придуман.
Поэтому вот эти все переборные доказательства, которые мы видим,
можно, конечно, их проверять, но скорее всего, появится и 16-й, и 17-й,
пока не будет изобретен какой-то правильный подход к задаче о замощении.
Понимаете, вот эта простейшая школьная проблема еще просто не обрела своего метода.
Будет, наверное, дана премия Филдсовская
— высочайшая награда в математике, человеку, если ему будет до 40 лет.
Филдсовская премия дается до 40 лет.
Eсли человек какой-нибудь полностью систематизирует это знание и скажет:
«Вот вам теория математическая — наглядная и простая, которая говорит о том,
какие требования накладываются на пятиугольник,
чтобы им можно было замостить плоскость.
Вот чёткие доказательства теоремы,
вот эти все виды, вот ещё два три новых вида.
И вот теперь уже совершенно точно, что других нет, потому
что речь идет не о каком-то переборе, а стройной математической теории».
Я думаю, что мы с вами застанем эту теорию при нашей жизни,
потому что сейчас в математике происходит,
в общем, революция, очень много старых проблем снято.
И я надеюсь при жизни увидеть полное решение задачи о замощениях.
Может быть, кто-то из слушателей придумает такую теорию?
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
