[БЕЗ_ЗВУКА]
[ШУМ] Преобразование координат.
Мы с вами привыкли к тому, что положение точки на
плоскости определяется парой чисел,
которые мы называем декартовыми координатами.
Вот мы возьмем нашу точечку M, у нее координаты будут x и y.
И определяются они естественным образом: мы
проектируем на ось x и проектируем на ось y.
Но можно по-другому подойти к определению положения точки на плоскости.
Если мы из начала координат или просто из некоторого
центра проведем
радиус в точку M и определим угол,
который этот радиус составляет с осью Ox.
Тогда положение точки M, которое раньше
было определено двумя координатами x и y,
теперь может быть определено в другой системе координат: r и φ.
Давайте попробуем связать между собой старые и новые координаты.
Очень простые треугольники здесь — прямоугольные.
И мы можем с вами сказать следующее: что x = r
× cosφ,
а y = r × sinφ.
Можем перейти в обратную сторону — от координат r,
φ к координатам x и y, а именно: значит,
будет равняться √
x² + y².
Вы, конечно, узнали нашу великую теорему Пифагора.
А вот что касается φ, здесь есть некоторые проблемы.
Очевидно, что можно написать: это arctgy / x,
но здесь надо быть очень внимательным со знаком,
о чем мы с вами поговорим немножко попозже.
Вот давайте попробуем построить в полярной системе координат кривую,
которая будет выражаться следующим уравнением:
r = 1 + cosφ.
Эта кривая называется кардиоидой.
Мы ее построим самым простым способом по характерным точкам.
Обратите внимание, что в полярной системе координат вот эти вот фукнции
— косинусы — усе совсем не те, которые были у нас в декартовой системе координат.
Давайте возьмем табличку, не будем мудрствовать лукаво: φ и r.
Начнем, естественно, с 0.
Значит, если φ = 0, то r = 1 + 1 — 2.
И видно, что это наибольшее возможное значение.
Давайте мы здесь вот с вами будем рисовать.
Это у нас O — центр.
Обязательно нужно нам с вами,
для того чтобы определить размер, построить полярную ось.
Если это у нас с вами 1, то это 2.
Правда?
И вот первая точечка, которую мы с вами получили.
Возьмем следующую точку.
Давайте π / 6.
cosπ / 6 — это √3 / 2.
Значит, давайте с вами посчитаем: 1 + √3 / 2,
это примерно 1 + 1.7 / 2.
1.7 / 2 — это 0.85, это примерно 1.85.
Я пишу примерно, хотя можно сюда помещать и вот эти числа,
просто с ними труднее будет работать.
Итак, угол π / 6 мы с вами взяли.
И радиус у нас с вами изменился, стал немножко меньше.
Следующее мы возьмем: π / 4.
cosπ / 4 — √2 / 2.
Значит, следующая у нас точечка будет — 1 + √2 / 2.
√2 — 1.4, 1.4 / 2 — 0.7.
Значит, примерно 1 + 1.4 / 2.
Значит, берем угол √π / 4 и получаем следующее.
Вот сюда мы с вами попали.
Берем угол π / 3, берем угол
π / 2.
π / 3 — когда у нас с вами угол будет π / 2 —
это будет 1.
Вот если мы теперь с вами соединим эти точечки плавной линией,
то мы получаем нашу кривую вот в этом вот сегменте.
Но, на самом деле, можно дальше продолжать.
r у нас, как мы видим, не может стать отрицательным.
Но, исходя из этой формулы, он отрицательным стать и не может.
Поэтому мы с вами получаем следующее: если теперь мы с вами нарисуем
более подробно эту кривую с учетом того, что мы взяли и остальные точки.
Опять, значит, берем нашу с вами ось вот так вот.
1, 1, 2.
Значит, здесь у нас с вами по 1,
и получается примерно
вот такая вот кривая.
Нарисуем ее.
Она по форме немного напоминает сердце,
поэтому и называется кардиоида.
Можно более подробно исследовать ее свойства,
но для наших целей вполне достаточно.
Давайте еще одну интересную кривую рассмотрим в полярной системе координат,
которая определяется уравнением r = — пусть это будет cosφ.
Если бы мы с вами были в полярной системе координат,
это была бы обычная косинусоида.
Но здесь это не так.
Для того чтобы понять — мы не будем сейчас строить по точкам, как
в предыдущем случае, а попробуем все-таки понять, действительно как она выглядит.
Для этого мы перейдем в декартову систему координат, то есть осуществим
перевод к координатам x и y.
Давайте домножим вот это уравнение на r,
получим r² = r cosφ.
r² — это x² + y².
Продолжаем преобразование: x² + y²,
а r × cosφ — это x.
Перенесем все в левую часть,
получаем x² −
x + y² = 0.
Для того чтобы лучше распознать вид этой кривой,
давайте выделим здесь полный квадрат, там, где у нас присутствует x.
Значит, пишем: x² − 2 × 1
/ 2 x + 1 / 2 — это 1 / 4,
(1 / 2)² + +
y — перенесем,
чтобы у нас все это было видно нормально — +
y² = 1 / 4.
Или — видно теперь, что это полный квадрат
— (x − 1 / 2)² +
y² = 1 / 4.
Если вспомнить уравнение окружности,
которое выглядит следующим образом: (x −
a)² + (y
− b)² = r²,
— то мы получаем следующее.
a при этом у нас с вами будет равно, a будет = 1 / 2, правда?
b при этом будет равняться 0.
И строим теперь нашу кривую.
Давайте вот так вот мы с вами поступим.
Значит, проведем ось, проведем вторую ось.
x − 1 / 2.
Значит, центр в точке 1 / 2 — 0, что это 1 / 2.
Это у нас с вами 1, и радиус — 1 / 2, правда, у нас с вами.
Значит, вот так вот и вот так вот.
[ШУМ]
Вот.
И в результате получилось следующее: что вот эта вот
кривая в полярной системе координат представляет собой окружность.
Можно рассмотреть и другие кривые: например,
я бы вам порекомендовал попробовать самостоятельно построить,
скажем, такую кривую.
Давайте мы вместо y r напишем.
Значит, r = sin
2φ или r =,
скажем, cos3φ.
Это очень симпатичные кривые.
И когда вы их построите, я думаю, что они принесут вам определенную радость.
[БЕЗ_ЗВУКА]