[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] В подавляющем
большинстве случаев для вычислений нам требуется больше одного бита.
Система, состоящая из нескольких кубит,
описывается тензорным произведением составляющих ее систем.
Поясним на примере.
Допустим, у нас есть два кубита.
Два атома водорода или два фотона.
И мы их измеряем в базисе 0, 1, нашем стандартном базисе.
Какие возможны варианты такого измерения?
Я их выпишу все, поскольку их немного.
Либо оба кубита измерились в 0,
либо первый в 0, второй — в 1.
Либо первый в 1, второй в 0.
Либо обе 1.
Нам и дальше будет удобно описывать состояние
всей системы как вектор в каком-то гильбертовом пространстве.
Результата измерения разных у нас теперь четыре.
Соответственно и базисных векторов в этом пространстве будет четыре.
И размерность пространства, получается, равна четырем.
Мы можем обозначить эти результаты измерения
как базисные вектора вот этого пространства и как-то их назвать.
Этот результат измерения мы
назовем как |00>, этот — как |01>,
это — как |10>, и это — |11>.
Это просто названия векторов в нашем базисе.
Теперь давайте представим,
что один из кубитов, одна из систем находилась в состоянии суперпозиции.
[БЕЗ СЛОВ] А,
например, вторая была в чистом состоянии.
Тогда в нашем новом базисе это состояние мы можем записать следующим образом.
[БЕЗ СЛОВ] И
вероятность получить результат измерения,
|00> по-прежнему равна |α²|.
И вероятность получить |1 0> = |β²|.
Просто потому что второй кубит у нас уже и так находится в состоянии 0,
и на самом деле мы определяем вероятность измерения первого кубита.
И разумеется, длина вектора по-прежнему, получается, равна 1.
То есть в четырехмерном пространстве у нас по-прежнему единичный вектор.
Если мы, более того, распишем,
что оба наших состояния были смешанными,
то есть были суперпозиции,
[БЕЗ СЛОВ]
то совокупное состояние в этом базисе мы можем записать следующим образом.
α * γ |00>
+ α * δ |01>
+ β * γ |10>
+ β * δ |11>.
При этом легко показать, что сумма
квадратов получившихся
коэффициентов по-прежнему
равна единице,
и каждый из них соответствует вероятности измерения
конкретного вектора в нашем четырехмерном пространстве.
Возьмем, например, вот этот.
Вероятность получить |01> — это вероятность
получить вектора здесь 0 и здесь 1,
вероятность здесь получить 0 — это α², здесь 1 — это δ².
И мы получаем перемножение этих вероятностей,
поскольку события у нас независимые.
Удивительно, но любой вектор
единичной длины
в пространстве размерности 2 в степени n
описывает какое-то состояние, возможное,
физически осуществимое состояние, системой, состоящей из n кубитов.
[БЕЗ СЛОВ] Нам нужно договориться,
как мы будем представлять вектора в этих пространствах в виде векторов-столбцов.
Например, для одного кубита мы рисовали картинку,
такой вектор у нас был 0, такой — 1.
И мы можем, например, сказать,
что вектор-нолик — это такой вектор-столбец,
а вектор-единичка — это такой вектор-столбец.
Какой столбец мы сопоставим вектору, например, |00>?
Естественный способ сделать четырехмерный вектор из
двух двухмерных — это взять их тензорное произведение.
То есть этот 0 тензорно умножить на 0.
[БЕЗ СЛОВ] Прошу прощения.
Это 1, 0,
и тензорное произведение — это обычное кронекерово произведение матриц.
То есть мы берем 1, умножаем на этот вектор,
потом берем вот этот 0, умножаем на вот этот вектор и
получаем такой тензор,
который естественным образом изоморфен
такому вектору четырехмерного пространства.
Получается, что |00> — это такой вектор-столбец,
у которого 1 стоит в самом верху.
Аналогично |01> — это тензороное произведение
0 на 1.
И мы опять 1 умножаем на (0, 1), получаем (0, 1).
И 0 умножаем на (0, 1), получаем (0, 0).
И вектор вот такой у нас представляется как 1,
стоящая на втором месте сверху.
Легко увидеть, что такой вектор будет таким
вектор-столбцом, где 1 стоит на третьем месте.
И |11> равна вектор-столбцу,
в котором 1 стоит на последнем месте.
Получается, что 1 стоит
на месте n, где n — это число,
кодируемое нашим вектором, + 1.
Таким образом, система из одного
кубита описывается вектором в пространстве размерности 2,
система из двух кубит описывается вектором в пространстве размерности 4,
система из трех кубит будет вектором в восьмимерном пространстве.
Система из десяти кубит будет описываться
уже вектором в пространстве размерности 1024,
и если мы, например, возьмем, систему, состоящую из тысячи кубит,
то размерность пространства системы вектора,
который описывает нашу систему, будет 2 в 1000-й.
Это (2 в 10-й) в 100-й.
Примерно (10 в 3-й) в 100-й,
и это равно 10 в 300-й.
Получается, что если мы построим компьютер всего лишь на тысяче атомах,
то состояние этого компьютера будет описываться
вектором с таким вот количеством компонентов,
то есть описываться таким количеством комплексных чисел.
Это, вообще говоря, значительно больше,
чем количество элементарных частиц в наблюдаемой Вселенной.
Понятно теперь, откуда у Фреймана был оптимизм относительно
перспективности квантовых вычислений.
Представим себе подброшенные в воздух монетки.
Если у нас подброшена одна монетка, она упадет на ладонь, мы получим два исхода.
Если мы подбросили одновременно две монетки, мы можем получить четыре исхода.
Три монетки — 8, десять монеток — 1024 разных исхода,
ну и с тысячью монетками — вот такое количество разных возможных исходов.
Однако квантовый компьютер отличается от просто подброшенных в воздух монеток.
И чем он отличается, мы сейчас объясним.
[БЕЗ СЛОВ]
Сысоев Сергей Сергеевичкандидат физико-математических наук
