Система кубитов

Loading...

En provenance du cours de Saint Petersburg State University

Квантовые вычисления (Quantum computing)

20 notes

Saint Petersburg State University

Квантовые вычисления (Quantum computing)

20 notes

О квантовых вычислениях много пишут и говорят, особенно в последнее время. Причины такого интереса вполне очевидны - потребность в новом поколении вычислительных устройств назрела уже давно, и квантовый компьютер - первый кандидат на то, чтобы стать этим новым поколением. Для работы с новыми, только возникающими технологиями требуются специалисты, разбирающиеся в основах этих технологий - инженеры, физики, математики, алгоритмисты... Это - те люди, которые, возможно, станут у истоков новой эры и смогут поучаствовать в осуществлении очередного грандиозного шага в развитии человечества. Затронуть все аспекты темы квантовых вычислений в рамках одного MOOC не представляется возможным, поэтому данный курс охватывает только одну их область - анализ и проектирование квантовых алгоритмов. Прослушав курс, вы: 1. Разберетесь с моделью квантовых вычислений и поймете, что такое квантовый компьютер с точки зрения алгоритмиста и математика. 2. Познакомитесь с простыми (и не очень простыми) квантовыми алгоритмами и получите начальные навыки их проектирования. 3. Просто получите удовольствие, всегда сопровождающее познание чего-то нового. Команда курса желает вам успехов в освоении материала. Мы будем искренне рады, если знания, полученные вами здесь, помогут вам в достижении новых теоретических и практических результатов.

À partir de la leçon

Математическая модель квантовых вычислений

В этом модуле вы познакомитесь с математической моделью квантовой информации и квантовых вычислений и поймете, что такое алгоритм для квантового компьютера.

Измерение кубита. Часть 14:55

Измерение кубита. Часть 210:04

Система кубитов10:13

Измерение системы кубитов7:09

Rencontrer les enseignants

Сысоев Сергей Сергеевич
кандидат физико-математических наук
Кафедра системного программирования

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА] В подавляющем

большинстве случаев для вычислений нам требуется больше одного бита.

Система, состоящая из нескольких кубит,

описывается тензорным произведением составляющих ее систем.

Поясним на примере.

Допустим, у нас есть два кубита.

Два атома водорода или два фотона.

И мы их измеряем в базисе 0, 1, нашем стандартном базисе.

Какие возможны варианты такого измерения?

Я их выпишу все, поскольку их немного.

Либо оба кубита измерились в 0,

либо первый в 0, второй — в 1.

Либо первый в 1, второй в 0.

Либо обе 1.

Нам и дальше будет удобно описывать состояние

всей системы как вектор в каком-то гильбертовом пространстве.

Результата измерения разных у нас теперь четыре.

Соответственно и базисных векторов в этом пространстве будет четыре.

И размерность пространства, получается, равна четырем.

Мы можем обозначить эти результаты измерения

как базисные вектора вот этого пространства и как-то их назвать.

Этот результат измерения мы

назовем как |00>, этот — как |01>,

это — как |10>, и это — |11>.

Это просто названия векторов в нашем базисе.

Теперь давайте представим,

что один из кубитов, одна из систем находилась в состоянии суперпозиции.

[БЕЗ СЛОВ] А,

например, вторая была в чистом состоянии.

Тогда в нашем новом базисе это состояние мы можем записать следующим образом.

[БЕЗ СЛОВ] И

вероятность получить результат измерения,

|00> по-прежнему равна |α²|.

И вероятность получить |1 0> = |β²|.

Просто потому что второй кубит у нас уже и так находится в состоянии 0,

и на самом деле мы определяем вероятность измерения первого кубита.

И разумеется, длина вектора по-прежнему, получается, равна 1.

То есть в четырехмерном пространстве у нас по-прежнему единичный вектор.

Если мы, более того, распишем,

что оба наших состояния были смешанными,

то есть были суперпозиции,

[БЕЗ СЛОВ]

то совокупное состояние в этом базисе мы можем записать следующим образом.

α * γ |00>

+ α * δ |01>

+ β * γ |10>

+ β * δ |11>.

При этом легко показать, что сумма

квадратов получившихся

коэффициентов по-прежнему

равна единице,

и каждый из них соответствует вероятности измерения

конкретного вектора в нашем четырехмерном пространстве.

Возьмем, например, вот этот.

Вероятность получить |01> — это вероятность

получить вектора здесь 0 и здесь 1,

вероятность здесь получить 0 — это α², здесь 1 — это δ².

И мы получаем перемножение этих вероятностей,

поскольку события у нас независимые.

Удивительно, но любой вектор

единичной длины

в пространстве размерности 2 в степени n

описывает какое-то состояние, возможное,

физически осуществимое состояние, системой, состоящей из n кубитов.

[БЕЗ СЛОВ] Нам нужно договориться,

как мы будем представлять вектора в этих пространствах в виде векторов-столбцов.

Например, для одного кубита мы рисовали картинку,

такой вектор у нас был 0, такой — 1.

И мы можем, например, сказать,

что вектор-нолик — это такой вектор-столбец,

а вектор-единичка — это такой вектор-столбец.

Какой столбец мы сопоставим вектору, например, |00>?

Естественный способ сделать четырехмерный вектор из

двух двухмерных — это взять их тензорное произведение.

То есть этот 0 тензорно умножить на 0.

[БЕЗ СЛОВ] Прошу прощения.

Это 1, 0,

и тензорное произведение — это обычное кронекерово произведение матриц.

То есть мы берем 1, умножаем на этот вектор,

потом берем вот этот 0, умножаем на вот этот вектор и

получаем такой тензор,

который естественным образом изоморфен

такому вектору четырехмерного пространства.

Получается, что |00> — это такой вектор-столбец,

у которого 1 стоит в самом верху.

Аналогично |01> — это тензороное произведение

0 на 1.

И мы опять 1 умножаем на (0, 1), получаем (0, 1).

И 0 умножаем на (0, 1), получаем (0, 0).

И вектор вот такой у нас представляется как 1,

стоящая на втором месте сверху.

Легко увидеть, что такой вектор будет таким

вектор-столбцом, где 1 стоит на третьем месте.

И |11> равна вектор-столбцу,

в котором 1 стоит на последнем месте.

Получается, что 1 стоит

на месте n, где n — это число,

кодируемое нашим вектором, + 1.

Таким образом, система из одного

кубита описывается вектором в пространстве размерности 2,

система из двух кубит описывается вектором в пространстве размерности 4,

система из трех кубит будет вектором в восьмимерном пространстве.

Система из десяти кубит будет описываться

уже вектором в пространстве размерности 1024,

и если мы, например, возьмем, систему, состоящую из тысячи кубит,

то размерность пространства системы вектора,

который описывает нашу систему, будет 2 в 1000-й.

Это (2 в 10-й) в 100-й.

Примерно (10 в 3-й) в 100-й,

и это равно 10 в 300-й.

Получается, что если мы построим компьютер всего лишь на тысяче атомах,

то состояние этого компьютера будет описываться

вектором с таким вот количеством компонентов,

то есть описываться таким количеством комплексных чисел.

Это, вообще говоря, значительно больше,

чем количество элементарных частиц в наблюдаемой Вселенной.

Понятно теперь, откуда у Фреймана был оптимизм относительно

перспективности квантовых вычислений.

Представим себе подброшенные в воздух монетки.

Если у нас подброшена одна монетка, она упадет на ладонь, мы получим два исхода.

Если мы подбросили одновременно две монетки, мы можем получить четыре исхода.

Три монетки — 8, десять монеток — 1024 разных исхода,

ну и с тысячью монетками — вот такое количество разных возможных исходов.

Однако квантовый компьютер отличается от просто подброшенных в воздух монеток.

И чем он отличается, мы сейчас объясним.

[БЕЗ СЛОВ]

Explorer notre catalogue

Rejoignez-nous gratuitement et obtenez des recommendations, des mises à jour et des offres personnalisées.

Coursera propose un accès universel à la meilleure formation au monde, en partenariat avec des universités et des organisations du plus haut niveau, pour proposer des cours en ligne.

© 2018 Coursera Inc. Tous droits réservés.

Télécharger dans l'App Store

Disponible sur Google Play