[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] В подавляющем большинстве случаев для вычислений нам требуется больше одного бита. Система, состоящая из нескольких кубит, описывается тензорным произведением составляющих ее систем. Поясним на примере. Допустим, у нас есть два кубита. Два атома водорода или два фотона. И мы их измеряем в базисе 0, 1, нашем стандартном базисе. Какие возможны варианты такого измерения? Я их выпишу все, поскольку их немного. Либо оба кубита измерились в 0, либо первый в 0, второй — в 1. Либо первый в 1, второй в 0. Либо обе 1. Нам и дальше будет удобно описывать состояние всей системы как вектор в каком-то гильбертовом пространстве. Результата измерения разных у нас теперь четыре. Соответственно и базисных векторов в этом пространстве будет четыре. И размерность пространства, получается, равна четырем. Мы можем обозначить эти результаты измерения как базисные вектора вот этого пространства и как-то их назвать. Этот результат измерения мы назовем как |00>, этот — как |01>, это — как |10>, и это — |11>. Это просто названия векторов в нашем базисе. Теперь давайте представим, что один из кубитов, одна из систем находилась в состоянии суперпозиции. [БЕЗ СЛОВ] А, например, вторая была в чистом состоянии. Тогда в нашем новом базисе это состояние мы можем записать следующим образом. [БЕЗ СЛОВ] И вероятность получить результат измерения, |00> по-прежнему равна |α²|. И вероятность получить |1 0> = |β²|. Просто потому что второй кубит у нас уже и так находится в состоянии 0, и на самом деле мы определяем вероятность измерения первого кубита. И разумеется, длина вектора по-прежнему, получается, равна 1. То есть в четырехмерном пространстве у нас по-прежнему единичный вектор. Если мы, более того, распишем, что оба наших состояния были смешанными, то есть были суперпозиции, [БЕЗ СЛОВ] то совокупное состояние в этом базисе мы можем записать следующим образом. α * γ |00> + α * δ |01> + β * γ |10> + β * δ |11>. При этом легко показать, что сумма квадратов получившихся коэффициентов по-прежнему равна единице, и каждый из них соответствует вероятности измерения конкретного вектора в нашем четырехмерном пространстве. Возьмем, например, вот этот. Вероятность получить |01> — это вероятность получить вектора здесь 0 и здесь 1, вероятность здесь получить 0 — это α², здесь 1 — это δ². И мы получаем перемножение этих вероятностей, поскольку события у нас независимые. Удивительно, но любой вектор единичной длины в пространстве размерности 2 в степени n описывает какое-то состояние, возможное, физически осуществимое состояние, системой, состоящей из n кубитов. [БЕЗ СЛОВ] Нам нужно договориться, как мы будем представлять вектора в этих пространствах в виде векторов-столбцов. Например, для одного кубита мы рисовали картинку, такой вектор у нас был 0, такой — 1. И мы можем, например, сказать, что вектор-нолик — это такой вектор-столбец, а вектор-единичка — это такой вектор-столбец. Какой столбец мы сопоставим вектору, например, |00>? Естественный способ сделать четырехмерный вектор из двух двухмерных — это взять их тензорное произведение. То есть этот 0 тензорно умножить на 0. [БЕЗ СЛОВ] Прошу прощения. Это 1, 0, и тензорное произведение — это обычное кронекерово произведение матриц. То есть мы берем 1, умножаем на этот вектор, потом берем вот этот 0, умножаем на вот этот вектор и получаем такой тензор, который естественным образом изоморфен такому вектору четырехмерного пространства. Получается, что |00> — это такой вектор-столбец, у которого 1 стоит в самом верху. Аналогично |01> — это тензороное произведение 0 на 1. И мы опять 1 умножаем на (0, 1), получаем (0, 1). И 0 умножаем на (0, 1), получаем (0, 0). И вектор вот такой у нас представляется как 1, стоящая на втором месте сверху. Легко увидеть, что такой вектор будет таким вектор-столбцом, где 1 стоит на третьем месте. И |11> равна вектор-столбцу, в котором 1 стоит на последнем месте. Получается, что 1 стоит на месте n, где n — это число, кодируемое нашим вектором, + 1. Таким образом, система из одного кубита описывается вектором в пространстве размерности 2, система из двух кубит описывается вектором в пространстве размерности 4, система из трех кубит будет вектором в восьмимерном пространстве. Система из десяти кубит будет описываться уже вектором в пространстве размерности 1024, и если мы, например, возьмем, систему, состоящую из тысячи кубит, то размерность пространства системы вектора, который описывает нашу систему, будет 2 в 1000-й. Это (2 в 10-й) в 100-й. Примерно (10 в 3-й) в 100-й, и это равно 10 в 300-й. Получается, что если мы построим компьютер всего лишь на тысяче атомах, то состояние этого компьютера будет описываться вектором с таким вот количеством компонентов, то есть описываться таким количеством комплексных чисел. Это, вообще говоря, значительно больше, чем количество элементарных частиц в наблюдаемой Вселенной. Понятно теперь, откуда у Фреймана был оптимизм относительно перспективности квантовых вычислений. Представим себе подброшенные в воздух монетки. Если у нас подброшена одна монетка, она упадет на ладонь, мы получим два исхода. Если мы подбросили одновременно две монетки, мы можем получить четыре исхода. Три монетки — 8, десять монеток — 1024 разных исхода, ну и с тысячью монетками — вот такое количество разных возможных исходов. Однако квантовый компьютер отличается от просто подброшенных в воздух монеток. И чем он отличается, мы сейчас объясним. [БЕЗ СЛОВ]
