0:00
Вот ну, друзья, значит, я не знаю, я, наверное,
вас уже замучал этой полиномиальной формулой.
Она в принципе не безумно то сложная.
Но давайте я все таки произнесу формально аккуратное доказательство той теоремы,
которую мы сформулировали, прокомментировали,
всячески записали и еще и на примере просмотрели.
Доказательство.
Вот у нас есть это наше замечательное выражение: х1 плюс и так далее плюс xk
в n степени.
Так же точно, как и в случае трех слагаемых в квадрате,
мы по сути просто берем произведение одинаковых скобок в количестве n штук.
Вот скобка х1 плюс и так далее плюс xk,
вот еще одна скобка х1 плюс и так далее плюс xk и вот
последняя n скобка х1 плюс и так далее плюс xk.
Вот у нас произведение таких n скобок.
Теперь мы начинаем раскрывать скобки.
Вот товарищи, как обычно раскрываются скобки?
Ну мы сегодня уже это делали.
Мы из первой скобки берем какую-то переменную.
Например, х1.
Из второй скобки тоже берем какую-то переменную.
Ну, скажем, х10.
Я не знаю.
Все, что хотите.
Какую-то переменную берем из третьей скобки.
И в конечном счете какую-то переменную из n.
И так всеми возможными способами.
Отсюда, отсюда, отсюда.
Ну и с каждой скобки мы какую-то переменную обязаны взять.
Когда мы возьмем из каждой скобки переменную,
у нас получиться какая-то последовательность переменных.
Давайте так.
Прямо вот это на доске напишем.
Когда мы раскрываем скобки,
мы из каждой скобки берем какую-то переменную.
Обязательно из каждой скобки какую-то, ровно одну,
естественно, переменную мы берем.
Мы из каждой скобки берем ровно одну переменную скобки...
берем ровно одну переменную.
Это банальность.
Это я уже проговорил неоднократно.
Но что возникает на выходе?
С одной стороны, с одной стороны,
возникает последовательность переменных, выбранных из скобок
возникает последовательность переменных,
2:46
Ну давайте обсудим, какая последовательность переменных возникает?
Сколько в этой последовательности переменных х1, например?
Ну понятно сколько.
Ровно столько из скольких скобок мы взяли х1.
Ну давайте просто через n1 обозначим это количество.
Для каждой такой последовательности, которая возникает, мы,
конечно, можем сказать, сколько в этой последовательности переменных х1.
Естественно, столько, сколько было скобок, из которых мы х1 выбирали.
Ну давайте пусть n1 — это число переменных в
этой последовательности число переменных
х1 в этой последовательности
3:44
Точно так же пусть n2 — это число переменных х2 в этой последовательности.
Пусть n2 — это число
переменных х2 в этой же последовательности.
Я уже писать не буду.
Точно так же n3 — это число переменных х3, n4 — число переменных х4.
И так далее вплоть до n с индексом k.
Ну давайте я напишу многоточие.
Пусть nk — число переменных
хk вот в этой последовательности, которая возникла ну при очередном
выборе переменных из каких-то скобок и раскрытий скобок в конечном счете.
Пусть n1 — количество переменных х1, n2 — количество переменных х2,
nk — количество переменных xk.
Ну ясное дело, что каждое ni — это не отрицательное целое число.
Но в принципе, мы могли просто из каждой скобки,
как мы и раньше это делали, взять только лишь переменные х1.
В этом случае n2 равняется нулю, n3 равняется нулю, nk равняется нулю.
То есть нули здесь возникают сплошь и рядом.
Как в том примере, который мы рассмотрели.
Но в любом случае ni — не отрицательное.
В принципе может так случиться при каком-то выборе параметров,
что они все положительные.
Это уж как повезет.
Вот.
А что еще мы знаем?
Ну еще, конечно, мы знаем, что n1 плюс и так далее плюс nk в точности равняется n.
Потому что мы из каждой скобки ровно одну переменную берем.
Естественно общая длина последовательности,
которая у нас возникает, составляет n.
А с другой стороны, она, конечно,
выражается вот этой суммой, потому что мы просто классифицировали,
сколько в этой последовательности х1, сколько х2, сколько хk.
Ну замечательно.
Это все с одной стороны.
Вот возникает такая последовательность, в которой сколько-то переменных х1
и так далее, сколько-то переменных хk и эти количества, вот эти сколько-то,
они удовлетворяют указанным ограничениям.
С другой стороны.
Это все с одной.
С другой стороны.
Каждой такой последовательности,
каждой такой последовательности
отвечает выражение.
При раскрытии скобок, которое получается.
Да? Мы же все-таки перемножаем элементы
этой последовательности.
Да? отвечает выражение х1 в степени n1,
х2 в степени n2, и так далее, хk в степени nk.
Ну я думаю совершенно очевидно, если у нас есть последовательность,
в которой n1 раз встречается х1, n2 раз встречается х2, nk раз встречается xk.
И мы элементы этой последовательности перемножаем,
когда раскрываем наши скобочки.
То естественно при перемножение возникает вот такое выражение: х1 в степени n1,
х2 в степени n2, хk в степени nk, Но видите, каждой такой последовательности,
то есть каждой последовательности вот с этими параметрами.
Заданными параметрами.
Это значит,
что после приведения подобных слагаемых, что после
приведения подобных
слагаемых коэффициент
при этом выражении будет в точности равен количеству указанных последовательностей.
Коэффициент при этом
выражении есть в точности
количество указанных последовательностей.
То есть P от n1 и так далее nk.
Потому что P от n1 и так далее nk по изначальному своему определению
— это и есть количество последовательностей,
в которых n1 раз встречается объект первого типа.
То есть в данном случае х1.
n2 раз встречается объект второго типа.
То есть в нашем случае х2.
Ну и так далее.
Вплоть до k типа объектов, то есть xk.
Всё. Теорема доказана.
Для каждого набора чисел ni больше или равняется 0,
сумма ni равняется n, у нас возникает вот такое выражение.
Коль скоро этот набор зафиксирован.
И это выражение возникает ровно столько раз при раскрытии скобок.
Таким образом мы теперь должны просто просуммировать.
По всем способам выбрать вот эти чисел n1 и так далее nk.
Произведение вот этого на вот это,
раз уж это коэффициент при этом выражении после приведения подобных слагаемых.
Всё. Это и есть доказательство теоремы.
Суммируем по всем способам выбрать эти числа.
Произведение этого на это.
Это и было заявлено.
Теорема доказана.
Всё.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
