Приведем пример целого класса задач,
где использование криволинейных координат значительно упрощает решение задачи.
Классическая задача преследования формулируется следующим образом.
Преследователи догоняют убегающего, при этом убегающий движется по прямой,
а преследователи направляют свое движение на убегающего.
Оказывается, что если использовать криволинейные координаты для решения
задачи преследования и при этом еще перейти в систему отсчета,
связанную с убегающим, то решение задачи запишется намного более просто,
будет получено намного более много просто,
чем если не пользоваться переходом в криволинейную систему координат.
В качестве примера убегающих и преследователя, что можно привести?
Заяц и волк, ракета и самолет, у нас будет ковбой догонять поезд.
Поезд движется по прямой со скоростью V1,
скорость постоянна по модулю и направлению.
Ковбой при этом сидит в засаде и бросается в погоню за поездом только в тот момент,
когда задняя дверь поезда проходит мимо ковбоя,
при этом скорость ковбоя все время направлена на заднюю дверь поезда и по
величине она в 2 раза больше, чем скорость поезда.
Да, известно, что расстояние от засады до путей равно H.
Давайте изобразим это на рисунке.
Что у нас есть?
Давайте свяжем систему координат с задней дверью поезда,
то есть начало отсчета — это дверь.
Декартова система координат, координаты y, x.
В любой момент времени
обозначим положение ковбоя через координаты ρ и φ,
то есть расстояние от ковбоя до двери равно ρ,
а угол между путями и направлением на ковбоя равно φ.
Равен φ.
Смотрите, что это такое?
Это на самом деле наша полярная система координат,
то же самое, что цилиндрическая, только при z константе.
Давайте переформулируем в переменных ρ и φ начальные условия нашей задачи.
Что нам дано?
Нам известно, что начальное расстояние от ковбоя до двери равно H,
начальный угол между ковбоем и дверью равен π / 2.
Что нам необходимо найти в задаче?
Нам необходимо найти траекторию ковбоя как функцию,
то есть расстояние от ковбоя до двери как функцию от
угла между направлением на ковбоя и путями, то есть найти ρ (φ).
Как мы это будем делать?
У нас для решения задачи уже известно что?
У нас известны компоненты скорости в проекциях на криволинейную
систему координат.
Мы знаем, что проекция скорости ковбоя на ось, связанную
с координатой ρ — это ρ «с точкой», как мы получали в предыдущей задаче.
Координата скорости ковбоя в проекции на ось,
связанную с координатой φ — это ρφ «с точкой».
Давайте нарисуем все-таки эти оси, чтобы можно было
спроецировать и получить результаты через заданные величины V1 и V2.
Вспоминаем, как мы строили координатные линии.
Мы фиксировали одну координату,
в данном случае давайте зафиксируем φ и будем менять ρ.
Координатная линия, соответствующая изменению координаты ρ, следующая.
Нарисована.
Теперь зафиксируем ρ и будем изменять координату φ.
Координатная линия,
соответствующая изменению координаты φ — это дуга окружности.
Что будет координатными осями?
Координатными ортами.
Орт, соответствующий координате ρ, по увеличению
координаты ρ следующим образом, и орт, соответствующий координате φ,
как касательная к окружности в сторону увеличения координаты φ, орт eφ.
Давайте на этом же рисунке изобразим компоненты скорости ковбоя.
Что нам известно?
Что скорость ковбоя направлена все время на дверь, абсолютная скорость ковбоя.
Поэтому скорость V2 вдоль радиус-вектора между дверью и ковбоем.
Вектор V2.
Что мы еще сказали?
Мы сказали, что система координат x, y связана с дверью.
Соответственно, чтобы получить скорость ковбоя в этой системе отсчета,
нам необходимо вычесть скорость поезда.
То есть полная скорость
ковбоя в этой системе отсчета складывается из двух векторов — V2 и −V1.
Давайте теперь
спроецируем скорость ковбоя на орты системы eρ и eφ.
Проекции на eρ — — это
−V2 + V1cosφ.
Так как угол между вектором V1 и eρ равен φ,
углу между путями и ковбоем.
Теперь проекция скорости на орт
eφ возникает только за счет вектора V1 и
равна она −V1sinφ.
Обозначим это уравнение, как 1, это уравнение, как 2.
Что нам нужно?
Нам нужно найти зависимость расстояния от ковбоя до двери, как функцию от угла.
Что мы можем найти из этих дифференциальных уравнений?
Дифференцирование у нас по времени.
Соответственно, мы можем найти, как функцию от времени, но нам это не нужно,
давайте от времени избавимся.
Что для этого сделаем?
Давайте поделим первое уравнение на второе.
[БЕЗ_ЗВУКА] Что получаем?
Что нужно dρ / dt
поделить на ρ dφ / dt,
а это равно 1 / ρ
dρ / dφ.
И опять же, если теперь поделить правые части друг на друга, то получим,
1 / ρ dρ / dφ — это это V2
/ V1sinφ поделить тоже и −cosφ
/ sinφ.
Если мы домножим на dφ, то есть видим, что это дифференциальное уравнение уже
с разделяющимися переменными, которые можно проинтегрировать.
Если домножим на dφ, то, соответственно, уравнение наше придет к следующему
виду: (1 / ρ) по dρ = (V2
/ V1sinφ − (cosφ
/ sinφ)) по dφ.
Проинтегрируем эти уравнения от начальных условий до какого-то положения.
Интеграл от 1 / ρ по dρ — это
логарифм от ρ в пределах
от исходного положения до какого-то текущего положения ρ «с волной».
Дальше.
Интеграл от V2 / V1sinφ по dφ
— это V2 / V1 логарифм от модуля тангенса φ / 2.
Опять же в пределах от
начального положения до какого-то текущего положения φ «с волной».
И интеграл от −(cosφ / sinφ) по dφ — это
− логарифм от модуля sinφ
опять же в пределах от π / 2 до φ «с волной».
Подставим эти значения.
Что получим?
Левая часть — логарифм ρ «с волной» / H.
Давайте теперь вспомним то,
что соотношение модулей скоростей V2 к V1 равно 2.
Подставим сразу 2,
подставим пределы интегрирования.
Логарифм от тангенса φ «с волной» пополам.
Тангенс от φ / 2 при π… При φ = π / 2 — это 1, логарифм от 1 — это 0.
Вычтем логарифм.
Подставим сейчас сюда пределы интегрирования.
sin от π / 2 — это 1, соответственно,
логарифм от 1 — 0, опять же не входит в наше выражение.
Остается логарифм от sinφ «с волной».
И в результате модно получить следующее выражение для ρ «с волной».
ρ «с волной» — это H *
(тангенс φ «с волной» / 2)
в квадрате и поделить на… Смотрите,
угол φ у нас меняется в пределах от 0 до π, поэтому модуль можно убрать,
то есть поделить просто на sinφ «с волной».
Что мы получили?
Мы получили зависимость расстояния от ковбоя до двери как функцию
от угла между путями и направлением, вектором направления на ковбоя.
Задача решена.
Спасибо.
