В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Теорема Кориолиса о сложении ускорений
Loading...
En provenance du cours de Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
14 notes
À partir de la leçon
Сложное движение точки и твердого тела
Rencontrer les enseignants
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Продолжаем говорить о сложном движении.
Мы с вами поняли, как складываются скорости переносного и
относительного движения, чтобы получить скорость абсолютного движения.
Теперь давайте похожие манипуляции проделаем с векторами ускорений.
Давайте я напомню постановку задачи.
Итак, у нас есть неподвижная прямоугольная декартова система координат xyz и o.
В ней рассматривается движение какой-то
другой системы координат x'y'z'o', и относительно
вот этой штрихованной системы координат у нас совершает движение какая-то точка p.
Движение точки p относительно штрихованного базиса называется
относительным.
Движение точки p вместе со штрихованным
базисом относительно неподвижного базиса называется переносным.
Сумма переносного и относительного движения, как мы договорились,
дает движение абсолютное.
Давайте напомним себе, какие у нас формулы есть, чтобы ими пользоваться.
Во-первых, скорость точки p.
Мы писали, в абсолютном движении,
это скорость точки o' + угловая скорость базиса
x'y'z' * вектор r.
r — это у нас вектор o'p в разложении по базису xyz.
ω, поскольку это угловая скорость базиса x'y'z',
иногда называется «угловая скорость переносного движения».
Так, и + A * ρ с точкой.
ρ – это, я напомню, вектор o'p опять же, но в разложении по базису x'y'z'.
Это формула 1, которая нам понадобится сегодня.
Дальше.
Когда мы дифференцировали вектор r, r с точкой,
а точнее его выражение через матрицу направляющих косинусов и вектор ρ,
мы получали A с точкой * ρ + A *
ρ с точкой — это формула 2, которую мы сегодня будем использовать.
И наконец, я еще раз выпишу,
как мы определяли угловую скорость и связанную с ней матрицу.
Просто потому что это понадобится.
Итак, у нас есть кососимметрическая матрица ω,
если она умножается на какой-то вектор x,
то, мы с вами доказывали в свое время,
что это то же самое, что вектор ω умножить на этот же самый вектор x,
или через матрицу направляющих косинусов A с точкой,
A транспонированное на тот же самый вектор x — вот это будет формула 3.
И теперь мы готовы получить формулу для сложения ускорений,
которую мы сегодня собрались выводить.
Так.
Берем формулу 1 и дифференцируем.
Что мы получаем?
Сначала по определению, продифференцированная скорость точки p —
это ускорение точки p =
ускорение точки o' + (ω
* r) с точкой + (A
* ρ с точкой) еще раз с точкой.
Начинаем раскрывать скобки.
Получаем, ускорение точки
o' + ω с точкой * радиус-вектор, это будет ε * r,
ω с точкой по определению — угловое ускорение + ω
* r с точкой
A с точкой * ρ с точкой + A *
ρ с двумя точками.
Теперь вместо r с точкой подставим формулу,
которую мы обозначили цифрой 2, получим следующее.
Ускорение точки o' + ε *
r + ω векторно * (вместо r с
точкой) (A с точкой * ρ + A * ρ
с точкой) A с точкой
* ρ с точкой +
A * ρ с двумя точками.
Осталось последний раз раскрыть скобки, наверное,
и все уже будет более-менее хорошо.
Раскрываю скобки, но перед тем, как раскрыть скобки,
давайте посмотрим вот на это слагаемое — A с точкой * ρ.
Если мы, как мы это обычно делаем, ρ заменим на
A транспонированное * r, мы здесь получим в чистом виде то, что мы обозначали
A с точкой * A транспонированное, матрицу угловой скорости.
То есть вот это вот слагаемое даст у нас ω * r.
Имея это в виду, продолжаем раскрывать скобки.
Получаем.
Ускорение точки o' +
ε * r + ω *
(ω * r) +
(ω * A *
ρ с точкой)
+ A с точкой * ρ с точкой +
A * ρ с двумя точками.
Все, дальше скобки раскрывать не будем.
Вот здесь ω, пожалуй, вектор.
Теперь давайте так же, как и в прошлый раз, сделаем,
разобьем вот эту большую сумму на три части.
Часть первая — вот ровно три первых слагаемых,
вот они сильно напоминают формулу Ривальса и, судя по всему,
они и будут называться у нас переносным ускорением.
Часть вторая — одно слагаемое в самом конце,
это у нас будет ускорение относительное.
И осталось нечто непонятное, вылезшее просто из операции
дифференцирования, по правилам математики ничего с этим сделать нельзя.
Сейчас подумаем, как это компактнее записать и как-нибудь назовем.
Итак, что мы получили?
Wo', ускорение точки o' + ε *
r + ω * (ω * r) — это,
в силу нашей терминологии, ускорение той точки среды,
которая путешествует с базисом x'y'z' и мгновенно совпадает с точкой p,
то есть ускорение точки p в переносном движении.
Дальше.
Слагаемое A * ρ с двумя точками.
Так же, как и со скоростью, мы скажем,
что вот ρ с двумя точками — это ускорение точки p в относительном движении.
Вот это относительное ускорение точки p относительно базиса x'y'z'.
И то, что слева стоит матрица A, просто переводит разложение этого
ускорения по базису штрихованному в разложение по базису неподвижному.
То есть это ускорение точки p в относительном движении,
но приведенное к разложению по базису xyz.
И оставшееся слагаемое, ω *
Aρ с точкой + с точкой ρ с точкой.
Ну, во-первых, воспользуемся формулой 3, и вот ω умножить на такой вектор,
заменим на
A с точкой A транспонированное, это вместо ω,
Aρ с точкой — первое слагаемое такое...
+ A с точкой *, заметим,
что A транспонированное * A — это в принципе единичная матрица.
Ну A — ортогональная матрица,
поэтому A транспонированное * A — в единицу сворачивается.
Поэтому мы можем и сюда такую комбинацию букв написать.
Тогда мы получим, что слагаемые-то, в общем-то, одинаковые,
их можно сложить и поставить 2.
2A с точкой A транспонированное Aρ с точкой.
А теперь мы их ассоциативно перегруппируем.
Вот на это посмотрим отдельно и на это посмотрим отдельно.
Вот в этой матрице вы уже, наверное, сотый раз за наш курс узнаете матрицу угловой
скорости, все той же самой угловой скорости, которая у нас вылезала и
раньше — это будет угловая скорость переносного движения.
А вот про это, про этот множитель, мы уже говорили,
ρ с точкой — это у нас скорость движения точки p относительно штрихованного базиса,
умноженное на матрицу A, приведенное к базису xyz.
То есть на самом деле здесь написано 2ω * V P относительное.
Скорость точки P в относительном движении слева умножается на ω,
угловую скорость базиса x'y'z'.
Ну здесь можно даже написать, что это угловая скорость переносного движения.
Тем самым у нас доказана теорема.
Теорема Кориолиса о сложении ускорений.
Ускорение точки P в абсолютном движении есть сумма трех слагаемых.
Ускорение точки P в переносном движении + ускорение
точки P в относительном движении + ускорение точки P Кориолиса, как говорят.
Ускорение точки P в переносном движении,
вот мы его ввели, это фактически формула Ривальса.
Ускорение точки P в относительном движении тоже получилось
достаточно естественным образом.
И все остальное, как Кориолис первый раз эту теорему доказал,
вот он получил некоторую арифметическую добавку, возникшую при дифференцировании.
Вот это вот произведение 2ω переносное * W относительное и называется
ускорением Кориолиса.
И теперь давайте посмотрим, как это работает на простом примере.
Пример будет такой.
Пусть у нас есть неподвижный цилиндр,
который без проскальзывания обкатывает с постоянной
угловой скоростью некоторая прямая.
Постоянная угловая скорость, прямая катится по цилиндру, без проскальзывания.
Казалось бы, чего может быть проще, где тут сложное движение?
Однако же оно тут достаточно хорошо работает.
Мы выделим на прямой какую-то точку P, это точка прямой,
она никуда относительно прямой не двигается.
И попросим найти ее ускорение в зависимости от расстояния
до точки касания, которую обозначим буквой A.
Центр цилиндра C, вот это расстояние x, ну, скажем, радиус дан — r.
И нужно найти ускорение точки P.
Что мы делаем?
Ну мы, естественно, говорим — ну вот давайте формулу Ривальса напишем.
Ускорение точки P — это у нас ускорение
точки A − ω²AP ε по условию = 0.
ω * AP — это уже понятно, что такое.
Осталось только ускорение точки A найти.
Вот его из соображений сложного движения мы и найдем.
Введем в систему координат.
Ось x вот так направлена, ось y по CA,
ну и z до правой тройки дополняет x и y.
И скажем, что переносное движение — это
движение вместе
с системой координат C, x и y.
А относительное движение прямой — это движение...
Вот если переносное движение — это система просто
поворачивается и прямая вместе с ней.
Но поскольку прямая касается этой круглой штуковины каждый раз новой точкой,
то в относительном движении она должна уезжать обратно.
То есть относительное движение — это движение прямой
AP параллельно оси Cx.
Сумма этих двух движений даст как раз качение этой прямой
баз проскальзывания по круглому цилиндру.
Тогда ускорение точки A — это ускорение точки A в
переносном движении, + ускорение точки A в
относительном движении + ускорение точки A Кориолиса.
Что такое ускорение точки A в переносном движении?
В переносном движении точка A просто едет себе по окружности спокойненько,
с постоянной по модулю скоростью, то есть ее ускорение будет
направлено к центру окружности и равно ω²r.
Ускорение относительного движения.
Вообще — 0,
потому что в относительном движении прямая равномерно движется вдоль оси x.
И ускорение Кориолиса — 2,
угловая скорость и скорость относительного движения.
Не трудно посчитать, я уверен, что вы самостоятельно с этим справитесь.
Что это будет 2ω²r.
И направленная вот туда по оси y.
Таким образом, ускорение точки A у нас легко определилось.
А определив ускорение точки A,
мы добавляем вот это вот слагаемое и получаем окончательный ответ.
Ускорение точки P как вектор
у нас получается, вот отсюда: −ω² x по x.
И вот отсюда — ω²r по y.
Попробуйте ради развлечения решить эту задачу дома без метода сложного движения.
Будет забавно посмотреть, что получится.
Ну а более содержательные примеры мы расскажем вам на практических занятиях.
Explorer notre catalogue
Rejoignez-nous gratuitement et obtenez des recommendations, des mises à jour et des offres personnalisées.
Coursera propose un accès universel à la meilleure formation au monde,
en partenariat avec des universités et des organisations du plus haut niveau, pour proposer des cours en ligne.
© 2018 Coursera Inc. Tous droits réservés.
