А теперь давайте начнем говорить о кинематике. И для начала рассмотрим кинематику того самого элементарного объекта, который мы обозначили в аксиомах — кинематика точки. Давайте я даже напишу заголовок, чтобы не забыть самому, о чем мы сейчас говорим. Кинематика точки. Как мы, наверное, помним, все, что у нас происходит, происходит в евклидовом трехмерном пространстве. Введем в этом пространстве базис и систему координат xyz, прямоугольную декартову, и будем рассматривать движение относительно этой системы координат некоторой точки, которую назовем буквой P — от слова point. Положение точки в нашем пространстве определяется радиус-вектором, радиус вектор r. Поскольку у нас пространство трехмерно, естественно, радиус-вектор r в этих осях имеет три компоненты, и мы их будем, как правило, писать в столбик. Любой вектор, если не оговорено иначе, будет у нас вектором-столбцом. Итак, радиус-вектор точки x(t), y(t) и z(t), в зависимости от t, будет как раз означать, что у нас точка совершает движение — то самое отображение из пространства R1 в пространство E3. И давайте договоримся сразу о терминологии. Если мы говорим, что задано x(t), y(t) и z(t), и тем самым показана зависимость радиус-вектора от t — тут следовало бы тоже написать время, — то мы будем говорить, что известен закон движения точки. Зависимость координат x, y и z от времени будем называть законом движения. Если же заданы дифференциальные уравнения, то есть есть какие-то производные, то будем говорить об уравнениях движения. Итак, уравнения движения — это дифференциальные уравнения, закон движения — это зависимость координат от времени. Задав x(t), y(t) и z(t), мы получим кривую в трехмерном пространстве, по которой движется точка P. Эту кривую будем называть траекторией, траектория движения точки P. И для того чтобы изучать эти траектории, давайте введем несколько кинематических характеристик — несколько величин векторных, которые будут характеризовать движение точки вдоль той или иной линии. А для начала нам понадобится такая характеристика, как скорость точки. Скорость мы будем обозначать буквой v — это будет вектор. v — понятно, откуда берется такое обозначение: либо от английского слова velocity, либо от аналогичного французского слова vélocité — и то, и другое — на v. По определению будем говорить, что скорость — это первая производная радиус-вектора точки по времени. Чаще всего эти производные мы будем обозначать точкой над буквой r — над тем вектором, который дифференцируется — вслед за Ньютоном, который такое обозначение придумал. Скорость, точно так же, как радиус-вектор — это вектор-столбец, естественно, трехмерный. То есть здесь мы можем написать, что скорость — это у нас x(t), продифференцированная по времени, y(t), продифференцированная по времени, и z(t), продифференцированная по времени. Вот таким образом определим вектор скорости. Кроме вектора скорости нам понадобится еще понятие модуля этого вектора. И для того чтобы посчитать модуль, давайте введем обозначения для каждой из компонент скорости. Чаще всего эти компоненты называют той же буквой v, но с индексом x, и говорят «компонента вектора скорости вдоль оси x», или в просторечии vx. Это, естественно, скаляр, и vx равно первой компоненте вектора скорости, x с точкой (t). Соответственно, vy — это y с точкой (t), и vz — z с точкой (t), все скаляры. И теперь модуль вектора скорости обозначается той же буквой, но без черточки. Строго говоря, модуль вектора скорости — это скалярное произведение вектора скорости на вектор скорости g, и из всего этого нужно извлечь корень, квадратный корень из такого скалярного произведения. Но у нас базис ортогональный, поэтому такое скалярное произведение, конечно же, равняется сумме квадратов компонент вектора скорости: vx², vy² и vz². Так, и теперь еще одна кинематическая характеристика — это ускорение. Ускорение мы будем обозначать буквой w. Вот тут с этимологией этого обозначения все гораздо сложнее, я не знаю такого английского, или французского, или немецкого слова, которое значило бы ускорение и начиналось бы на эту букву. А представителей других языков как-то сложно заподозрить в том, что они придумали ускорение, после того как вот во Франции или в Англии родилось понятие скорости. Видимо, это обозначение пришло из советского ГОСТа по теоретической механике, где все вот так просто решили. Скорость — одна буква v, а ускорение пусть будет две буквы v. Такая логика тоже вполне имеет право на жизнь. Но с тех все теоретические механики во всех книжках обозначают ускорение буквой w, а не вроде бы естественной буквой a от слова acceleration. Ну, ладно. Значит, ускорение по определению — это у нас первая производная вектора скорости по времени, или v с точкой, как мы теперь договорились писать, или r с двумя точками. Но тоже вектор-столбец с тремя компонентами, и эти компоненты: x с двумя точками (t), y с двумя точками (t), z с двумя точками (t). Точно так же, как у вектора скорости, можно ввести обозначение для компонент разложения и ускорения по осям x, y и z. Это будут wx, wy, wz, которые будут равны, соответственно, x с двумя точками, y с двумя точками и z с двумя точками. Точно так же можно ввести понятие модуля ускорения. Модуль — это корень квадратный из суммы квадратов соответствующих компонент. И теперь, перед тем как перейти к примеру, чтобы попробовать посмотреть, как все эти вещи вычисляются на какой-то конкретной задаче, давайте я напомню еще одно понятие, которое нам будет встречаться неоднократно — это то, что называется кинематическими уравнениями. У нас здесь введено понятие скорости, и иногда бывает такая задача. Давайте я подзаголовок напишу: «Кинематические [ШУМ] уравнения». Задача может возникнуть вот какая: дан вектор скорости в зависимости от времени, вот v(t) дано. И требуется найти траекторию точки — вполне реальная задача, которая возникает в разных приложениях. Тогда, для того чтобы эту задачу решить, нужно записать фактически то же самое определение вот этих вот компонент, которые мы уже писали, но в другом порядке, чтобы получить дифференциальные уравнения: x с точкой — vx(t), y с точкой — vy(t), z с точкой — vz(t). Вот, решив эти дифференциальные уравнения, мы получим x(t), y(t) и z(t), то есть закон движения или траекторию точки в пространстве. А теперь можно разобрать пример, который покажет как работают все эти формулы, которые мы с вами ввели.
