А теперь давайте начнем говорить о кинематике.
И для начала рассмотрим кинематику того самого элементарного объекта,
который мы обозначили в аксиомах — кинематика точки.
Давайте я даже напишу заголовок, чтобы не забыть самому, о чем мы сейчас говорим.
Кинематика точки.
Как мы, наверное, помним, все, что у нас происходит,
происходит в евклидовом трехмерном пространстве.
Введем в этом пространстве базис и
систему координат xyz,
прямоугольную декартову, и будем рассматривать движение
относительно этой системы координат некоторой точки,
которую назовем буквой P — от слова point.
Положение точки в нашем пространстве определяется радиус-вектором,
радиус вектор r.
Поскольку у нас пространство трехмерно, естественно,
радиус-вектор r в этих осях имеет три компоненты,
и мы их будем, как правило, писать в столбик.
Любой вектор, если не оговорено иначе, будет у нас вектором-столбцом.
Итак, радиус-вектор точки x(t),
y(t) и z(t), в зависимости от t, будет как раз означать, что у нас точка
совершает движение — то самое отображение из пространства R1 в пространство E3.
И давайте договоримся сразу о терминологии.
Если мы говорим, что задано x(t), y(t) и z(t), и тем самым
показана зависимость радиус-вектора от t — тут следовало бы тоже написать время,
— то мы будем говорить, что известен закон движения точки.
Зависимость координат x, y и z от времени будем называть законом движения.
Если же заданы дифференциальные уравнения, то есть есть какие-то производные,
то будем говорить об уравнениях движения.
Итак, уравнения движения — это дифференциальные уравнения,
закон движения — это зависимость координат от времени.
Задав x(t), y(t) и z(t), мы получим кривую
в трехмерном пространстве, по которой движется точка P.
Эту кривую будем называть траекторией,
траектория движения точки P.
И для того чтобы изучать эти траектории,
давайте введем несколько кинематических характеристик — несколько величин
векторных, которые будут характеризовать движение точки вдоль той или иной линии.
А для начала нам понадобится такая характеристика, как скорость точки.
Скорость мы будем обозначать буквой v — это будет вектор.
v — понятно, откуда берется такое обозначение: либо
от английского слова velocity, либо от аналогичного французского
слова vélocité — и то, и другое — на v.
По определению будем говорить, что скорость —
это первая производная радиус-вектора точки по времени.
Чаще всего эти производные мы будем обозначать точкой над
буквой r — над тем вектором, который дифференцируется
— вслед за Ньютоном, который такое обозначение придумал.
Скорость, точно так же,
как радиус-вектор — это вектор-столбец, естественно, трехмерный.
То есть здесь мы можем написать, что скорость — это у нас x(t),
продифференцированная по времени, y(t),
продифференцированная по времени,
и z(t), продифференцированная по времени.
Вот таким образом определим вектор скорости.
Кроме вектора скорости нам понадобится еще понятие модуля этого вектора.
И для того чтобы посчитать модуль,
давайте введем обозначения для каждой из компонент скорости.
Чаще всего эти компоненты называют той же буквой v, но с индексом x,
и говорят «компонента вектора скорости вдоль оси x», или в просторечии vx.
Это, естественно, скаляр, и vx равно первой компоненте
вектора скорости, x с точкой (t).
Соответственно, vy — это y с точкой (t),
и vz — z с точкой (t), все скаляры.
И теперь модуль вектора скорости обозначается той же буквой,
но без черточки.
Строго говоря, модуль вектора скорости — это скалярное произведение
вектора скорости на вектор скорости g, и из всего этого нужно извлечь корень,
квадратный корень из такого скалярного произведения.
Но у нас базис ортогональный, поэтому такое скалярное произведение,
конечно же, равняется сумме квадратов компонент вектора
скорости: vx²,
vy² и vz².
Так, и теперь еще одна кинематическая характеристика — это ускорение.
Ускорение мы будем обозначать буквой w.
Вот тут с этимологией этого обозначения все гораздо сложнее,
я не знаю такого английского, или французского, или немецкого слова,
которое значило бы ускорение и начиналось бы на эту букву.
А представителей других языков как-то сложно заподозрить в том,
что они придумали ускорение,
после того как вот во Франции или в Англии родилось понятие скорости.
Видимо, это обозначение пришло из советского ГОСТа по теоретической
механике, где все вот так просто решили.
Скорость — одна буква v, а ускорение пусть будет две буквы v.
Такая логика тоже вполне имеет право на жизнь.
Но с тех все теоретические механики во всех книжках обозначают ускорение
буквой w, а не вроде бы естественной буквой a от слова acceleration.
Ну, ладно.
Значит, ускорение по определению — это у нас первая
производная вектора скорости по времени,
или v с точкой, как мы теперь договорились писать,
или r с двумя точками.
Но тоже вектор-столбец с тремя компонентами,
и эти компоненты: x с двумя точками (t),
y с двумя точками (t), z с двумя точками (t).
Точно так же, как у вектора скорости,
можно ввести обозначение для компонент разложения
и ускорения по осям x, y и z.
Это будут wx, wy,
wz, которые будут равны, соответственно,
x с двумя точками, y с двумя точками и z с двумя точками.
Точно так же можно ввести понятие модуля ускорения.
Модуль — это корень квадратный из суммы квадратов
соответствующих компонент.
И теперь, перед тем как перейти к примеру,
чтобы попробовать посмотреть, как все эти вещи вычисляются на какой-то конкретной
задаче, давайте я напомню еще одно понятие, которое нам будет встречаться
неоднократно — это то, что называется кинематическими уравнениями.
У нас здесь введено понятие скорости, и иногда бывает такая задача.
Давайте я подзаголовок напишу: «Кинематические
[ШУМ] уравнения».
Задача может возникнуть вот какая: дан вектор скорости в
зависимости от времени, вот v(t) дано.
И требуется найти траекторию точки — вполне
реальная задача, которая возникает в разных приложениях.
Тогда, для того чтобы эту задачу решить,
нужно записать фактически то же самое определение вот этих вот компонент,
которые мы уже писали, но в другом порядке, чтобы получить дифференциальные
уравнения: x с точкой — vx(t),
y с точкой — vy(t),
z с точкой — vz(t).
Вот, решив эти дифференциальные уравнения, мы получим x(t),
y(t) и z(t), то есть закон движения или траекторию точки в пространстве.
А теперь можно разобрать пример,
который покажет как работают все эти формулы, которые мы с вами ввели.
