А сейчас научимся записывать скорость и ускорение в базисе криволинейных координат. Для примера рассмотрим опять же ту же цилиндрическую систему координат и начнем со скорости. Как вам говорили на лекции, вектор скорости известен как разложение по базису криволинейных координат, то есть v — это сумма коэффициентов vi на орты ei, где коэффициент vi выражается через коэффициенты Ламе следующим образом: как коэффициент Ламе умножить на производную по времени соответствующей координаты. Если нам необходимо вычислить модуль скорости, как мы это делаем? Модуль скорости обозначается просто буквой v — это корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя. И только в том случае, если система координат у нас ортогональная, это выражение приобретает более простой вид — √∑ Hi² * qi с точкой², сумма также от 1 до 3 — это количество компонент. Давайте применим полученные формулы для цилиндрической системы координат. x, y и z связаны с ρ, φ и z по известным нам уже формулам. x — это ρcosφ, y — это ρsinφ и z — это z. Коэффициенты Ламе для цилиндрической системы координат мы уже получили на примере предыдущей задачи. Коэффициент Ламе, соответствующий координате ρ, равен 1, коэффициент Ламе, соответствующий координате φ, равен ρ и коэффициент Ламе, соответствующий координате z, равен 1. Теперь подставим коэффициенты Ламе в формулу для коэффициентов разложения скорости. Компонента скорости, соответствующая координате ρ, равна произведению коэффициента Ламе на производную от координаты, то есть 1 * ρ с точкой, то есть ρ с точкой. Компонента скорости, соответствующая координате φ, равна произведению коэффициента Ламе умножить на соответствующую координату с точкой, то есть ρφ с точкой. Да, простите, здесь φ. Вот так. И компонента скорости, соответствующая координате z — это коэффициент Ламе для координаты z * z с точкой, то есть z с точкой. Что… Что мы говорили про цилиндрическую систему координат? То, что она у нас является ортогональной, поэтому модуль скорости вычисляется, как корень квадратный из суммы квадратов компонент. Это ρ с точкой² + ρ²φ с точкой² + z с точкой² Мы получили для цилиндрической системы координат компоненты разложения скорости по базису и нашли длину вектора скорости в этом базисе. Спасибо, задача решена.
