Итак, продолжим работать с криволинейным базисом. Мы уже умеем раскладывать вектор скорости по криволинейному базису, а теперь давайте возьмем и напишем, что же за… Что же у нас будет с ускорением в том же самом базисе. И как мы уже договаривались, если для скорости мы писали компоненты в разложении вектора по базису, то с ускорением мы поступим по-другому. Возьмем и найдем проекции вектора ускорения на орты базиса криволинейной системы координат. Сейчас будет достаточно громоздкая формула и может быть немножко громоздкий вывод, я хотел бы предварить его парой утверждений, которые нам понадобятся по дороге. Давайте я их сейчас сразу возьму и напишу. Утверждение 1, которым мы воспользуемся при выводе формулы. Ну это на самом деле формула Лейбница. Нам нужно будет по дороге продифференцировать произведение двух величин. Давайте вспомним: полное производное от… Нам там придется продифференцировать скорость, умноженную на орт базиса криволинейной системы координат. Ну все понимают, что производная произведения — это вот такая вот сумма. (dV по dt, ei) + (V, dei по dt). Это первое утверждение, которое нам понадобится. Ну я думаю понятно без объяснения откуда оно взялось. Утверждение 2. Более изощренное. Вот. Но тем не менее пригодится. dr (частное производное) по dqi = dV по dqi с точкой. Давайте посмотрим, откуда такая красота берется. Для того чтобы это понять, давайте просто возьмем и вспомним, что же такое скорость. Вектор скорости, как мы писали, когда выводили формулу для компонент разложения вектора скорости по базису криволинейной системы координат, это у нас dr по dq1 * q1 с точкой + dr по dq2 * q2 с точкой + dr по dq3 на q3 с точкой. Если мы это выражение возьмем да продифференцируем, скажем, по q1 с точкой. Что у нас останется? Вот эти слагаемые q1 с точкой не содержат, а вот это как раз содержит. Дифференцируем, получаем dr по dq1. Аналогично, если по q2 с точкой продифференцируем, мы получим dr по dq2. То есть как раз то что у нас здесь написано и реализуется. Производная вот этой формулы по любой из q с точкой дает соответствующее dr по dqi. И третье утверждение, вспомогательное, которым нам предстоит воспользоваться. Оно выглядит так: d по dt, dr по dqi = скорость, продифференцированная частным образом по dqi. Ну чтобы понять откуда это берется, давайте, наверное, напишем, что такое dr по dqi. dr по dqi — это вектор, зависящий от q1, q2 и q3. Если написать что такое полная производная этого вектора… dr по dqi, продифференцированная по времени, мы получим вот что: d по dt, dr по dqi. Ну точно такую же сумму давайте я теперь сверну со знаком «суммы». ∑ d2r по dqi dqk, сумма по k от 1 до 3 и умножить на qk с точкой. Понятно откуда вторая производная берется. У меня уже dr по dqi была и я теперь уже раз дифференцирую. Получаю производную по qk и на qk с точкой умножаю. Вот. Вот чему равна левая часть этого равенства. А чему равна правая часть, давайте посмотрим. Вот у нас есть выражение для скорости, вот оно написано. Нам его нужно взять и продифференцировать по q. Если мы продифференцируем по… Ну по q с соответствующим индексом. Если мы продифференцируем вот это по, скажем, q1, мы здесь везде получим вторые производные по dq1 dq1, dq2 dq1, dq3 dq1, и видно, что это в точности совпадает вот с этой суммой. Вот. Ну идеи доказательств я набросал. Вот есть такие утверждения. Первое — очевидное, второе и третье пока не понятные, но они нам по дороге встретятся, мы их радостно узнаем и тут же подставим куда надо и надеюсь, у нас все сойдется. А теперь, собственно, перейдем к выводу формулы. Формула, напоминаю, для проекции вектора ускорения на направление или орты локального базиса криволинейной системы координат. Проекции ускорения на направление локального базиса. Что такое проекция? Проекция — это, конечно же, скалярное произведение вектора ускорения на соответствующий орт. Теперь вспомним, что такое ускорение. Ускорение — это у нас по определению полная производная вектора скорости по времени, то есть имеем право написать вот такую вот вещь. И теперь мы возвращаемся к первому из сформулированных утверждений. Вспоминаем формулу Лейбница. Вот здесь она у нас написана. Вот оно это слагаемое, v с точкой * ei. Давайте тогда скажем, что v с точкой * ei получается равно полной производной d по dt от произведения скорости на ei минус скорость * dei по dt. Получили такую разность. Теперь давайте еще одну вещь вспоминать. Давайте вспоминать, как у нас выражается орт локального базиса через радиус вектор точки и частные производные. Вспоминаем формулу. Подставляем ее сюда. Вместо ei подставляем, сейчас напомню что… ei, это у нас было 1 разделить на коэффициент Ламе, dr по dqi. И сюда то же самое подставляем. Скорость, d по dt, dr по dqi. Вот такая разность с точностью до подставленного ei. Так, здесь я конечно у ei забыл дописать коэффициент Ламе, исправляюсь. Коэффициент Ламе здесь тоже стоит. [БЕЗ СЛОВ] Итак, мы получили вот такую вот разность и теперь нам понадобятся оба оставшихся утверждения — утверждение 2 и утверждение 3. Для вот этой скобки понадобятся утверждение, что dr по dqi у нас меняется на производную скорости по q с точкой, а для этой скобки понадобятся то, что вот d по dt (dr по dqi) меняется на dv по dqi. Давайте перепишем с учетом утверждения 2 и утверждения 3, вот эту вот разность. И еще давайте вынесем за скобки коэффициент Ламе. 1 / Hi у нас получается. Тут какая-нибудь общая квадратная скобка большая. d по dt. Скорость. Значит, в силу утверждения 2, я меняю dr по dqi на dv по dqi с точкой. Утверждение 2 сыграло. Минус скорость, умноженная на… В силу утверждения 3, меняю в этой скобке, d по dt (dr по dqi) на dv по dqi. На этот раз без «точки». Так, и нужно закрыть большую квадратную скобку. Равно. Мы уже практически добрались до окончательной формулы, осталось, наверное, только скорости занести под знак дифференциала. Ну давайте это напишем. 1 / Hi [d по dt (v² / 2 заносим скорость под дифференциал, получаем v² / 2, продифференцированное по dqi с точкой) − производная v² / 2 по dqi] Закрылась скобка. И это у нас равно проекции… Я напишу «пр» («проекция») ускорения на i-е направление локального базиса. Вот окончательная формула, которую мы хотели получить. То есть формально мы теперь умеем записывать проекции ускорения на направление локального базиса и можем решить любую кинематическую задачу в криволинейной системе координат. Вот. Вы сейчас, наверное, будете разбирать на практических занятиях примеры и увидите, насколько это мощный результат. На самом деле, вот мы сейчас говорим про кинематику, про геометрию, про движение, а оказывается, что с помощью этой формулы можно практически доказать один из законов Кеплера, что вам продемонстрируют. И я не удержусь, забегу несколько вперед, вот контрабандой, из курса динамики что-нибудь попробую рассказать. Вот эта вот формула на самом деле дальше в динамике будет называться… Там некие фундаментальные есть уравнения, которые называются уравнения Лагранжа. Смотрите, откуда они берутся. Если мы смотрим на материальную точку и пишем для нее закон Ньютона, который мы с вами вроде обсуждали: масса * ускорение = сила. И теперь мы этот закон Ньютона начинаем проецировать на выбранную нами криволинейную систему координат для точки. Что такое проекция ускорения, мы вот знаем. Вот у нас эта формула. Что такое проекция силы? Ну, понятно дело, скалярное произведение силы на соответствующий орт. И тогда мы получим, занося массу под знак дифференциала сразу, получим вот такую формулу: 1 / Hi, [d по dt (dmv² / 2 по dqi с точкой) − dmv² / 2 по dqi]. Так, здесь скобку я закрыл. Равно... скалярное произведение силы и базисного орта. Базисный орт — это по-прежнему 1 на коэффициент Ламе * dr по dqi и сила. Вот фактически основное динамическое уравнение. Уравнение Лагранжа, о котором мы потом с вами обязательно поговорим. Это очень мощный инструмент, который позволяет составлять динамические уравнения любых систем. У нас пока точка, но если мы аккуратно просуммируем все это, у нас получится уравнение для любых систем в криволинейных координатах. Вот. Но об этом в свое время мы поговорим, а сейчас пока я предлагаю перейти к рассмотрению содержательных кинематических задач, которые обыгрывают все эти формулы, которые мы с вами получили.
