Итак, продолжим работать с криволинейным базисом.
Мы уже умеем раскладывать вектор скорости по криволинейному базису, а теперь давайте
возьмем и напишем, что же за… Что же у нас будет с ускорением в том же самом базисе.
И как мы уже договаривались, если для скорости мы писали компоненты в
разложении вектора по базису, то с ускорением мы поступим по-другому.
Возьмем и найдем проекции вектора ускорения на орты базиса криволинейной
системы координат.
Сейчас будет достаточно громоздкая формула и может быть немножко громоздкий вывод, я
хотел бы предварить его парой утверждений, которые нам понадобятся по дороге.
Давайте я их сейчас сразу возьму и напишу.
Утверждение 1, которым мы воспользуемся при выводе формулы.
Ну это на самом деле формула Лейбница.
Нам нужно будет по дороге продифференцировать произведение двух
величин.
Давайте вспомним: полное производное от… Нам там придется продифференцировать
скорость, умноженную на орт базиса криволинейной системы координат.
Ну все понимают, что производная произведения — это вот такая вот сумма.
(dV по dt, ei) +
(V, dei по dt).
Это первое утверждение, которое нам понадобится.
Ну я думаю понятно без объяснения откуда оно взялось.
Утверждение 2.
Более изощренное.
Вот.
Но тем не менее пригодится.
dr (частное производное) по dqi = dV
по dqi с точкой.
Давайте посмотрим, откуда такая красота берется.
Для того чтобы это понять, давайте просто возьмем и вспомним, что же такое скорость.
Вектор скорости, как мы писали, когда выводили формулу для компонент
разложения вектора скорости по базису криволинейной системы координат,
это у нас dr по
dq1 * q1 с точкой
+ dr по dq2 * q2 с точкой
+ dr по dq3 на q3 с точкой.
Если мы это выражение
возьмем да продифференцируем, скажем, по q1 с точкой.
Что у нас останется?
Вот эти слагаемые q1 с точкой не содержат, а вот это как раз содержит.
Дифференцируем, получаем dr по dq1.
Аналогично, если по q2 с точкой продифференцируем, мы получим dr по dq2.
То есть как раз то что у нас здесь написано и реализуется.
Производная вот этой формулы по любой из q с точкой дает соответствующее dr по dqi.
И третье утверждение, вспомогательное,
которым нам предстоит воспользоваться.
Оно выглядит так: d по dt,
dr по dqi
= скорость,
продифференцированная частным образом по dqi.
Ну чтобы понять откуда это берется, давайте, наверное, напишем,
что такое dr по dqi.
dr по dqi — это вектор, зависящий от q1, q2 и q3.
Если написать что такое полная производная этого вектора… dr по dqi,
продифференцированная по времени,
мы получим вот что: d по dt,
dr по dqi.
Ну точно такую же сумму давайте я теперь сверну со знаком «суммы».
∑ d2r
по dqi dqk, сумма по k от
1 до 3 и умножить на qk с точкой.
Понятно откуда вторая производная берется.
У меня уже dr по dqi была и я теперь уже раз дифференцирую.
Получаю производную по qk и на qk с точкой умножаю.
Вот.
Вот чему равна левая часть этого равенства.
А чему равна правая часть, давайте посмотрим.
Вот у нас есть выражение для скорости, вот оно написано.
Нам его нужно взять и продифференцировать по q.
Если мы продифференцируем по… Ну по q с соответствующим индексом.
Если мы продифференцируем вот это по, скажем, q1,
мы здесь везде получим вторые производные по dq1 dq1, dq2 dq1,
dq3 dq1, и видно, что это в точности совпадает вот с этой суммой.
Вот. Ну идеи доказательств я набросал.
Вот есть такие утверждения.
Первое — очевидное, второе и третье пока не понятные,
но они нам по дороге встретятся,
мы их радостно узнаем и тут же подставим куда надо и надеюсь, у нас все сойдется.
А теперь, собственно, перейдем к выводу формулы.
Формула, напоминаю, для проекции вектора ускорения на направление
или орты локального базиса криволинейной системы координат.
Проекции ускорения
на направление
локального базиса.
Что такое проекция?
Проекция — это, конечно же, скалярное произведение вектора
ускорения на соответствующий орт.
Теперь вспомним, что такое ускорение.
Ускорение — это у нас по определению полная
производная вектора скорости по времени,
то есть имеем право написать вот такую вот вещь.
И теперь мы возвращаемся к первому из сформулированных утверждений.
Вспоминаем формулу Лейбница.
Вот здесь она у нас написана.
Вот оно это слагаемое, v с точкой * ei.
Давайте тогда скажем, что v с точкой *
ei получается равно полной производной d по
dt от произведения скорости на ei
минус скорость
* dei по dt.
Получили такую разность.
Теперь давайте еще одну вещь вспоминать.
Давайте вспоминать, как у нас выражается орт локального базиса
через радиус вектор точки и частные производные.
Вспоминаем формулу.
Подставляем ее сюда.
Вместо ei подставляем, сейчас напомню что… ei,
это у нас было 1 разделить на коэффициент Ламе, dr по dqi.
И сюда то же самое подставляем.
Скорость, d по dt,
dr по dqi.
Вот такая разность с точностью до подставленного ei.
Так, здесь я конечно у ei забыл дописать коэффициент Ламе, исправляюсь.
Коэффициент Ламе здесь тоже стоит.
[БЕЗ СЛОВ] Итак, мы получили вот такую вот разность и теперь
нам понадобятся оба оставшихся утверждения — утверждение 2 и утверждение 3.
Для вот этой скобки понадобятся утверждение,
что dr по dqi у нас меняется на производную скорости по q с точкой,
а для этой скобки понадобятся то, что вот d по dt (dr по dqi) меняется на dv по dqi.
Давайте перепишем с учетом утверждения 2 и утверждения 3, вот эту вот разность.
И еще давайте вынесем за скобки коэффициент Ламе.
1 / Hi у нас получается.
Тут какая-нибудь общая квадратная скобка большая.
d по dt.
Скорость.
Значит, в силу утверждения 2, я меняю dr по dqi на
dv по dqi с точкой.
Утверждение 2 сыграло.
Минус скорость,
умноженная на… В силу утверждения 3, меняю в этой скобке,
d по dt (dr по dqi) на dv по dqi.
На этот раз без «точки».
Так, и нужно закрыть большую квадратную скобку.
Равно.
Мы уже практически добрались до окончательной формулы,
осталось, наверное, только скорости занести под знак дифференциала.
Ну давайте это напишем.
1 / Hi [d по
dt (v² / 2 заносим скорость под дифференциал,
получаем v² / 2, продифференцированное по dqi
с точкой) −
производная v² /
2 по dqi] Закрылась скобка.
И это у нас равно проекции… Я напишу «пр»
(«проекция») ускорения на i-е направление локального базиса.
Вот окончательная формула, которую мы хотели получить.
То есть формально мы теперь умеем
записывать проекции ускорения на направление локального
базиса и можем решить любую кинематическую задачу в криволинейной системе координат.
Вот. Вы сейчас, наверное, будете разбирать на
практических занятиях примеры и увидите, насколько это мощный результат.
На самом деле, вот мы сейчас говорим про кинематику, про геометрию, про движение,
а оказывается, что с помощью этой формулы можно практически доказать один из законов
Кеплера, что вам продемонстрируют.
И я не удержусь, забегу несколько вперед, вот контрабандой,
из курса динамики что-нибудь попробую рассказать.
Вот эта вот формула на самом деле дальше в динамике будет называться… Там некие
фундаментальные есть уравнения, которые называются уравнения Лагранжа.
Смотрите, откуда они берутся.
Если мы смотрим на материальную точку и пишем для нее закон Ньютона,
который мы с вами вроде обсуждали: масса * ускорение = сила.
И теперь мы этот закон Ньютона начинаем проецировать на
выбранную нами криволинейную систему координат для точки.
Что такое проекция ускорения, мы вот знаем.
Вот у нас эта формула.
Что такое проекция силы?
Ну, понятно дело, скалярное произведение силы на соответствующий орт.
И тогда мы получим, занося массу под знак дифференциала сразу,
получим вот такую формулу: 1 / Hi, [d по
dt (dmv² / 2 по dqi с
точкой) −
dmv² / 2 по dqi].
Так, здесь скобку я закрыл.
Равно...
скалярное произведение силы и базисного орта.
Базисный орт — это по-прежнему 1 на коэффициент Ламе *
dr по dqi и сила.
Вот фактически основное динамическое уравнение.
Уравнение Лагранжа, о котором мы потом с вами обязательно поговорим.
Это очень мощный инструмент,
который позволяет составлять динамические уравнения любых систем.
У нас пока точка, но если мы аккуратно просуммируем все это,
у нас получится уравнение для любых систем в криволинейных координатах.
Вот. Но об этом в свое время мы поговорим,
а сейчас пока я предлагаю перейти к рассмотрению содержательных кинематических
задач, которые обыгрывают все эти формулы, которые мы с вами получили.
