На примере следующей задачи познакомимся с такой величиной, как радиус кривизны.
Где вы ее могли встретить?
Как пример: вы едете на машине и входите в поворот.
Например, на треке «Формулы-1».
Если ваша скорость оказалась больше,
чем максимально допустимая на данном повороте, то вы вылетите с трека.
Поэтому знание радиуса кривизны,
оно вам нужно для таких вот обычных житейских ситуаций.
Где вы еще могли встретиться с радиусом кривизны?
Например, если вы делали лабораторные по физике, то, наверное, знаете,
что такое камера Вильсона.
Если камеру Вильсона поместить в магнитное поле, то траектории заряженных частиц
начнут искривляться, и по радиусу кривизны этих траекторий вы сможете вычислить такие
вещи, как например удельный заряд частицы, которая двигалась в камере Вильсона.
Ну что, давайте теперь на примере следующей задачи научимся вычислять радиус
кривизны по траектории.
Что в качестве задачи у нас будет?
Мы бросили шарик с поверхности земли под каким-то углом к горизонту.
Давайте выпишем траекторию его движения и найдем радиус кривизны этой траектории.
Движение у нас двумерное, координата x меняется по закону αt,
где α — некая константа, координата y меняется по закону
(βt − gt²/2).
Уравнения вам известны, вы их видели в физике не раз.
Давайте найдем радиус кривизны траектории.
Вспоминаем: у нас уже были формулы, где радиус кривизны фигурировал.
Что это была за формула?
Мы говорили, что нормальное ускорение — это, нормальная
компонента ускорения — это модуль скорости в квадрате поделить на радиус кривизны.
То есть если бы мы каким-то образом нашли нормальную компоненту ускорения
и каким-то образом посчитали бы модуль скорости, то нашли бы и радиус кривизны.
Давайте эту формулу пометим звездочкой как формулу, которая нам может понадобиться.
Что дальше?
Если у нас известны компоненты x и y, то мы можем найти скорость.
Мы это уже делали, когда решали задачу про декартову систему координат.
Вектор скорости — это x с точкой, y с точкой.
Продифференцируем.
x с точкой — это α,
y с точкой — это (β − − g*t).
Пользуясь этой формулой,
мы легко найдем квадрат скорости.
То есть v² = α² + + (β − g*t)².
Второе слагаемое в квадрате.
Теперь, чтобы пользоваться формулой «звездочка»,
нам нужно найти нормальную компоненту ускорения.
Как ее искать?
Ну что, мы можем найти полное ускорение.
Вектор ускорения — это вторая производная от x и от y,
то есть x две точки, y две точки.
Выпишем.
x две точки — это 0,
y две точки — это −g.
Продифференцировали.
Теперь, а в какой формуле у нас вместе входят
и полное ускорение, и нормальная компонента ускорения?
Это формула для проекции ускорения на естественный трехгранник.
О том, что ускорение — это dv
по dt на касательный вектор
τ плюс v² на радиус кривизны на вектор n.
Вектора τ и n ортогональны.
Да, и вот эта компонента носит название «тангенциальное ускорение»,
эта компонента — «нормальное ускорение».
Вектора τ и n ортогональны,
значит, ускорение нормальное можно найти,
зная модуль ускорения и зная тангенциальное ускорение по
следующей формуле: модуль ускорения
в квадрате минус тангенциальное ускорение в квадрате.
Что теперь?
Чтобы воспользоваться формулой «звездочка»,
нам нужно найти тангенциальное ускорение.
Тангенциальное ускорение — это производная от модуля скорости по времени.
Давайте вычислим, что такое dv по dt.
Модуль скорости мы уже находили — вот эта формула.
Давайте продифференцируем.
Нужно вычислить d по dt от следующего выражения:
корень квадратный из (α²
+ + (β − g*t)²).
Равно.
Как дифференцировать функцию под корнем, я думаю, вы знаете.
Выпишем, что это такое.
Значит, корень квадратный из x производной — это 1 разделить
на 2 корня из вот этого выражения: (α² + (β − g*t)²).
Теперь нам нужно продифференцировать то, что под корнем.
Производная от выражения (α² + (β − g*t)²) — это умножить
на 2, умножить на g,
со знаком минус, (β − g*t).
Приведем к более приятному виду: сократим двойки,
например, и получим следующий ответ, что компонента
тангенциального ускорения — это −g*(β
− g*t) поделить на
корень квадратный из (α² + (β − g*t)²).
Что теперь?
Теперь у нас готовы все компоненты, для того чтобы посчитать радиус кривизны.
Давайте воспользуемся, посчитаем.
Найдем сначала нормальную компоненту.
Нормальная компонента ускорения — это корень
квадратный из модуля ускорения в квадрате.
Ускорение у нас имеет только одну компоненту g, то есть это g²,
минус квадрат тангенциальной компоненты — нужно возвести в квадрат вот эту величину.
g² (β − g*t)² поделить на корень,
поделить на (α² + (β − g*t)²).
[БЕЗ_ЗВУКА] Приведем к общему знаменателю.
В числителе будет g² на α² плюс точно такое же выражение,
как здесь уже выписано.
Соответственно, нормальное ускорение —
это g*α поделить на корень квадратный из
(α² + (β − g*t)²).
Мы нашли нормальное ускорение.
Теперь, чтобы найти радиус кривизны,
подставим нормальное ускорение и квадрат скорости в формулу «звездочка».
Отсюда получим, что радиус
кривизны — это квадрат скорости
поделить на нормальное ускорение.
Квадрат скорости — вот,
нормальное ускорение — вот.
При делении одного на другое получаем: (α²
+ (β − g*t)²)
в степени 3/2 поделить на g*α.
Что мы сделали в этой задаче?
Зная только траекторию движения,
мы смогли получить радиус кривизны в любой точке, в зависимости от времени.
Задача решена.
Спасибо!
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
