Сейчас рассмотрим еще один локальный базис,
это базис в криволинейных системах координат.
Что это такое?
Вам на лекции уже говорили,
что необязательно брать декартову систему координат.
Можно взять любые три числа, которые описывают положение вашей точки.
Например, вы даже встречались с криволинейными координатами уже,
для описания математического маятника, плоского математического маятника,
вы не используете координаты x и y, вы используете угол отклонения от вертикали.
Еще, в качестве примера, что можно привести.
У вас есть глобус.
Координаты объектов на глобусе задаются не при помощи координат x, y, z,
а при помощи долготы и широты.
Мы сейчас с вами научимся строить базис в криволинейных координатах и для этого
рассмотрим цилиндрическую систему координат.
Что это такое?
Мы вместо чисел x, y, z, декартовых координат x, y,
z, используем координаты ρ, φ и z.
Давайте нарисуем на картинке, что это такое.
У нас есть наш исходный базис декартовой
системы координат, наша точка.
Как задать для нее координаты ρ, φ и z?
Давайте найдем проекцию этой точки на плоскость x, y.
Расстояние от точки o, от начала координат,
до проекции нашей точки M на плоскости x, y, z — это и есть координата ρ.
Угол между осью ox и осью oM' — это наш угол φ.
И z координата — это, как и раньше,
расстояние от нашей точки до плоскости xy.
Таким образом, задаются координаты ρ, φ и z.
Теперь давайте разберемся, что такое координатные линии.
Как получаются координатные линии?
Как они получаются у нас в декартовом пространстве?
Мы фиксируем одну координату, изменяем… Фиксируем две координаты,
изменяем координату, получаем координатную линию.
Точно так же и для криволинейных координат.
Что мы делаем?
Давайте зафиксируем значение координат φ и z для данной точки и изменим координату ρ.
Что в этом случае произойдет?
Точка расчертит траекторию, такую линию.
Эта линия соответствует изменению координаты ρ при фиксированных φ и z.
Координатная линия для координаты q1.
Теперь зафиксируем ρ и z, и будем менять координату φ.
Что будет?
Точка опишет траекторию в виде дуги окружности.
Это координатная линия соответствующая второй координате, координате φ.
Теперь, что сделаем?
Последнее действие — зафиксируем ρ и φ, будем менять z.
Координатная линия, параллельная оси z, это координатная линия,
соответствующая нашей третьей координате z.
Теперь, что такое орты?
Это касательная к нашим координатным линиям в точке… В исследуемой точке M.
Давайте построим орты.
Касательная к координатной линии q1
— это вектор единичной длины вдоль этой координатной линии.
Заметьте, что направление вектора и направление орты совпадает с
направлением увеличения значения координаты.
Это орт eρ.
Дальше.
Касательная к дуге окружности координатной линии, соответствующей q2.
Единичный вектор, касательный к дуге окружности
и направление его в сторону увеличения координаты φ — орт eφ.
И последнее, касательный орт координатной линии,
соответствующий координате z, q3 нашей — это единичный вектор,
направленный в сторону увеличения координаты z, ez.
Базис мы построили.
Теперь давайте получим аналитические выражения для ортов eφ, eρ, ez.
Как вам уже говорили на лекции, орт можно получить следующим образом.
[БЕЗ СЛОВ] Орт вычисляется
по такой формуле: dρ по dq, и так как орт должен
иметь единичную длину, то необходимо разделить на модуль этого вектора,
dr по dqi… Коэффициенты,
нормировочные коэффициенты носят названия коэффициенты Ламе.
Мы их с вами сегодня будем использовать, поэтому давайте выпишем,
как они вычисляются.
Коэффициент Ламе — это производная от радиус-вектора по координате qi.
Модуль этого вектора.
Если у нас в качестве вспомогательных координат используются декартовы
координаты, то коэффициенты Ламе вычисляются
таким образом: √(координата x
по dqi)² + (координата y по
dqi)² + то же самое для координаты z.
[БЕЗ СЛОВ] Давайте
теперь для нашей цилиндрической системы координат найдем,
чему равны вектора ei и коэффициенты Ламе.
Для этого нам необходимо записать, как x, y и z связаны с координатами ρ, φ и z.
Как мы видим из рисунка,
x — это ρcosφ,
y — это ρsinφ,
а координата z — это просто z.
Такой переход между координатами x, y, z и ρ, φ и z.
Давайте воспользуемся этими формулами и будем вычислять.
Что нам нужно?
Давайте постепенно.
Сначала вычислим все для координаты ρ.
Что нам нужно?
Нам нужно найти производную радиус-вектора по вектору ρ.
dr по dρ
— это производная
от x по ρ (это cosφ),
производная от y по ρ (это sinφ),
и производная от z по ρ (это 0).
Коэффициент Ламе, соответствующий координате ρ,
— это модуль этого вектора.
Что такое модуль вектора?
Мы с вами уже вычисляли, это корень из суммы квадратов компонент: √cos²φ
+ sin²φ + 0 — это основное тригонометрическое тождество,
то есть коэффициент Ламе для координаты ρ = 1.
Давайте сделаем то же самое для координаты φ.
Точно так же нужно продифференцировать радиус-вектор по углу φ.
Что это такое?
Мы должны x продифференцировать по φ,
y продифференцировать по φ и z продифференцировать по φ.
Точнее, выражение для них.
Производная ρcos φ по φ — это −ρsinφ.
Производная ρsinφ по φ — это ρcosφ.
Ну и производная от z по φ — это 0.
Коэффициент Ламе, соответствующий координате φ — это
опять же корень квадратный из суммы квадратов компонент.
√ρ² sin²φ
+ ρ²cos²φ Эта величина равна ρ.
И последнее, то же самое для координаты z.
dr по dz.
Вычисляем.
Производная от ρcosφ по z — это 0, производная от
ρsinφ по z — это 0 и производная от z по z — это 1.
Коэффициент Ламе, соответствующий координате z, равен 1.
Из этого вектора это прекрасно видно.
Что мы сделали?
Мы получили коэффициенты Ламе и числитель в выражении для орты.
Теперь мы можем, пользуясь всем вот этим, выписать выражение для ортов.
Орт, соответствующий координате ρ,
записывается как… нужно вектор dr по dρ разделить на коэффициент Ламе.
Коэффициент Ламе — 1, вектор cosφ, sinφ и 0.
То есть получаем, что вектор, соответствующий координате ρ,
— cosφ, sinφ и 0.
Вектор, соответствующий координате φ.
Необходимо выражение производной dr по dφ поделить на коэффициент Ламе,
соответствующий координате φ.
Получаем.
−sinφ, cosφ и 0.
И последний вектор, соответствующий координате z — это 0, 0, 1.
Получается точно таким же образом.
Если мы посмотрим на наш рисунок, то увидим, что действительно то,
что мы вычислили, совпадает с тем, что мы нарисовали.
Давайте теперь проверим следующее — является ли наша система координат,
она же криволинейная, является ли она ортогональной?
В принципе, на лекции вам, наверное, говорили уже о том,
что криволинейная система координат не обязана быть ортогональной.
Но в данном случае, наша система координат цилиндрическая является ортогональной.
Как это проверить?
Нужно вычислить скалярное произведение между векторами.
Давайте посчитаем.
(eρ, eφ) — скалярное произведение.
Что такое скалярное произведение?
Это сумма произведений соответствующих компонент.
То есть мы должны первую компоненту первого вектора умножить на первую
компоненту второго вектора, прибавить произведение
второй компоненты вектора на вторую компоненту второго вектора и перемножить,
соответственно, третий компонент.
Что отсюда видно?
Что первое слагаемое — −sinφ * cosφ,
второе слагаемое — sinφ * cosφ, то есть 0.
Вектора eρ и eφ точно ортогональны, скалярное произведение равно 0.
Дальше.
Посчитаем скалярное произведение между eφ и ez.
Поступаем точно таким же образом.
−sinφ, первая компонента вектора eφ, умножаем на первую компоненту вектора ez.
Прибавляем вторую компоненту вектора eφ,
умноженную на вторую компоненту вектора ez.
И точно так же для третьей компоненты.
Точно так же видим, что это 0.
То есть вектора eφ и ez — ортогональны.
И последнее.
Давайте так же посчитаем скалярное произведение
вектора eρ и вектора ez.
Мы должны для этого cosφ, первую компоненту первого вектора,
умножить на первую компоненту второго вектора, 0, плюс sinφ,
вторая компонента первого вектора, умножить на 0,
вторая компонента второго вектора, плюс точно так же с третьими компонентами.
Видно, что получается 0.
То есть наш построенный базис ортогонален.
Да, и простите, здесь я забыла домножить на третью компоненту.
Действительно, необходимо домножить еще на 0 и в результате,
действительно, получится 0.
Что мы сделали?
Мы записали аналитические выражения для ортов криволинейной системы координат и
проверили, что наша криволинейная система координат,
в данном случае цилиндрическая, оказалась ортогональной.
Спасибо за внимание.
