[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Рассмотрим
задачу стабилизации дискретных систем по выходу.
Разумеется, к этой задаче применимы,
как и к стабилизации по состоянию, все результаты,
которые мы на предыдущем занятии получили для непрерывных систем.
Но мы разберем просто некоторые
удобные приемы синтеза регуляторов, которые применимы в дискретном случае.
Возмущение, когда оно присутствует, будем считать равномерно ограниченным.
Невырожденность, как было показано,
отсутствие общих множителей a(λ) и b(λ) вне единичного
круга — необходимое и достаточное условие стабилизируемости.
Действительно, обозначим через ζ(λ)
наибольший общий множитель многочленов a и b.
Если он устойчив, то мы можем
выделить его в левой части и в правой части нашего уравнения,
и сократить на этот общий множитель,
переписав уравнение в сокращенном виде,
в котором теперь v с волной —
это решение разностного уравнения
подчеркнутого с многочленом ζ в левой части.
Из устойчивости ζ следует, что vk с волной — ограниченная последовательность.
Поэтому, не уменьшая общности, можно считать,
что a и b общих множителей не имеют.
Первый способ заключается в том,
что мы переписываем объект управления как невырожденную
систему в пространстве состояний и применяем полученный на
предыдущем занятии результат, построив регулятор с наблюдателями.
Второй способ — это перейти в расширенное пространство состояний.
Тогда, наблюдая входы и выходы,
мы тем самым знаем все компоненты вектора состояния.
Построив регулятор
вида u = Lx, мы решаем нашу задачу.
Чтобы это было возможно,
нужна управляемость пары матриц {A,
B}, которая действительно имеет место по восьмому признаку управляемости.
Восьмой признак заключается в том,
что мы должны выписать придаточную функцию
от входа к состоянию и из столбцов числителя
этой придаточной функции соорудить матрицу,
которая должна быть невырожденной.
В нашем случае передаточная функция имеет вид резольвенты,
умноженной на вектор b, и очевиднейшим образом
она состоит из обведенных компонент.
Домножив на характеристический многочлен нашей расширенной матрицы A,
а характеристический многочлен у нас теперь — это λ в степени (n − 1) * a(λ),
мы получаем матрицу
коэффициентов числителя r,
определитель которой называется
результантом многочленов a(λ) и b(λ).
Он пропорционален произведению всевозможных
разностей корней многочленов a и b.
Поскольку общих множителей у них нет, то результант отличен от 0.
Следующий способ заключается в том,
чтобы прямо поискать коэффициенты таких многочленов c и d,
чтобы все корни многочлена
ζ лежали внутри устойчивой области, то есть единичного круга.
Многочлен ζ возникает как характеристический многочлен замкнутой
системы, состоящей из объекта управления
замкнутого регулятором типа обратной связи.
Приравнивая коэффициенты при равных степенях λ в правой и левой
частях тождества, которое определяет ζ,
получаем для коэффициентов
многочленов c и d линейную систему,
определитель которой опять-таки равен ненулевому
результанту этих многочленов a(λ) и b(λ).
Таким образом, эта система имеет единственное решение.
В частности, особенно приятен случай,
когда все корни многочленов a и b простые.
В этом случае имеется простая формула разложения
дроби ζ
/ ab в сумму элементарных дробей.
И очевиднейшим образом,
если мы просуммируем все рыжие элементарные дроби,
мы получим
дробную функцию d(λ) / a (λ).
Причем a(λ) нам известно.
Тем самым, мы получаем многочлен d.
Аналогичным образом, сложив фиолетовые слагаемые,
мы получаем c(λ) / b(λ),
b(λ) нам известно, и мы моментально получаем c(λ).
Здесь для сведения я напоминаю формулы
для определения разложения нашей дроби
на сумму элементарных слагаемых.
Бондарко Владимир Александровичдоцент
