Курс состоит из серии рассказов, объединенных в четыре цикла: «Инфраструктура человечества», «Инженеры человечества», «Измерения человечества» и «Изобретения человечества». Общая идея курса – дать представление слушателю об истории современной инженерии. По завершении этого курса Вы узнаете многое о том, какие изобретения и открытия стали инженерной основой нашей цивилизации.
История числа пи
Loading...
En provenance du cours de National Research Nuclear University MEPhI
Изобретения, изменившие мир
3 notes
À partir de la leçon
Измерения человечества
Современный инженер немыслим без измерений: перевести наблюдаемые явления на язык чисел и количественного анализа – важнейший механизм в руках инженера. В этом модуле будет проиллюстрирована история развития физических измерений и их математической обработки.
Rencontrer les enseignants
Муравьев Сергей ЕвгеньевичДоцент
Кафедра теоретической ядерной физики
Ольчак Андрей СтаниславовичДоцент
Кафедра общей физики
Здравствуйте, уважаемые коллеги. Мы продолжаем наш курс, посвященный второй
истории человечества, истории изобретений и открытий, которые полностью
перевернули жизнь человеческой цивилизации. И вот в наших последних
эпизодах мы говорили о числах. А в самом последнем говорили о числе π и
закончили мы на вопросах, связанных с квадратурой круга. Андрей Станиславович,
я предоставляю вам слово, вы очень интересно об этом рассказывали. Пожалуйста.
Здравствуйте, уважаемые слушатели. Мы действительно говорили
о вычислении числа π с максимально возможной точностью. Это задача, которая
на протяжении столетий, очень волновала многих математиков.
И приблизилась она к как бы финальному решению не так…
А финального же нет, число π же бесконечное.
Записать его нельзя, алгоритм создать, который позволяет найти число π
с любой точностью
с любой точностью, это возможно. И сама технология как это сделать
была придумана относительно не так давно, в плане истории, мы же говорим
о большой истории, относительно не так давно, это всего лишь лет 300 назад.
Но это уже Европа, наверное.
это уже Европа, 18 век. И связывают этот алгоритм, обычно, так сказать его
связывают с именем немецкого математика Лейбница. Хотя, как потом выяснилось,
как это часто происходит, этот алгоритм в последствии нашли в древних индийских книгах,
относящихся к такому индийскому математику по имени Матхава.
И вот сейчас в Википедии этот алгоритм называется алгоритмом Матвахы — Лейбницы,
что очень полит корректно и абсолютно правильно. Так алгоритм состоит в том,
что надо найти некий математический ряд бесконечный.
А рядом называет бесконечная сумма.
Бесконечная сумма закономерно меняющихся слагаемых. Каждое следующее,
например, в сколько-то раз меньше предыдущего.
Такие ряды сходятся. Геометрическая прогрессия.
Сходятся означает, что есть сумма.
Есть сумма, не смотря на то, что количество слагаемых очень велико.
И чем больше слагаемых я в этом ряду приму во внимание, учту, тем точнее
получится результат. Так вот можно доказать, что существует такие ряды,
которые точно сходятся к числу π или к π/4, или к π/2, ну к какому-то, так сказать,
близкому к числу π. И посчитать сколько получится этих слагаемых.
Вот вы видите этот самый ряд Матхамы — Лейбница. Он выписан у нас
на экране. Видите, как он выглядит. А дальше компьютеры в наше время.
Да, и просто, чем больше слагаемых вы сложите,
тем более точный результат для числа π получите.
Современные компьютеры позволяют получить сколько угодные, несколько
миллионов значащих цифр после запятой, несколько миллиардов значащих цифр
после запятой. И для этого требуется счет, ну может быть, несколько минут, ну в крайнем
случае, несколько часов, если речь идет о миллиардах и более знаков после запятой.
Ясно, что это никому не нужно. Но это зачем-то развлекает компьютерщиков.
Они на этом проверяют быстродействие своих программ, а кроме того, математики,
как мы правильно говорили в прошлой лекции, любят числа. Им это приятно.
Вот посмотрите на экране, например, выписаны первые 1000 знаков после
запятой в числе π. Ну вот так это все выглядит.
Действительно, проверять быстродействие компьютеров можно.
Сергей Евгеньевич, вы у меня в прошлый раз спросили,
кому это… А и сейчас вы тоже говорили.
Зачем это все нужно?
Зачем это все нужно?
На самом деле для математиков и для нас как для физиков и инженеров, наверное,
основное значение всей этой деятельности состоит в том, что и поиски точного
значения числа π, как и до того открытия вообще иррациональных чисел, которые
не выразимы конечными дробями, привело к осознанию того, что ряд чисел
на числовой оси
не прерывен. А раз он не прерывен, значит, я могу сделать такую операцию.
Вот очень не трудно, очень не трудно кажется это сейчас. Но как трудно
было людям до этого догадаться. Провести линию на бумаге,
и каждое число сопоставить с одной точкой на линии.
Ну с неким расстоянием, взять нулевую точку и расстояние до нее в неком масштабе.
И как линия, проведенная на бумаге, не прерывна…
Андрей Станиславович, ну вы же все-таки к числу π хотели рассказать и о квадратуре круга.
Сейчас мы к этому немножко вернемся. Все-таки если сопоставить каждому числу
какую-то точку на ряде, или наоборот, каждой точке на непрерывной
линии сопоставить какое-то число, то тут открываются огромные возможности.
Сама вот эта идея сопоставления точек на линии
с числами
А кто это первым сделал?
Принадлежит скорее всего Рене Декарту. Это 17 век.
И уже сразу буквально после Рене Декарта, еще в самом конце 17 века.
Это уже наверное был Ньютон.
Другой величайший человек, да, наверное, сэр Исаак Ньютон придумал,
как использовать эту технику для того, чтобы описать природу. Описать движение.
Вы говорите о бесконечно малых, о производных.
Я говорю об описании движения сперва, пока еще не о бесконечно малых.
Об описании движения. Идея физики нашей с вами родной состоит в том, чтобы
научится с предсказательной силой описывать то, что мы видим вокруг себя
и использовать это потом в создании каких-то новых механизмов, может быть.
Это уже инженерия. Но надо сперва научится описывать. Давайте начнем с простенького.
Самое простенькое — просто движение. Давайте сперва научимся описывать движение.
А давайте еще проще, научимся описывать математически положение объекта.
Вот объект, как сказать, где он находится. Вот тут где-то над столом метрах в 2
от прожектора. Ну в общем более или менее, желательно потоньше.
Так вот можно нарисовать несколько линий, проведенных взаимно перпендикулярно…
Система координат, Декартова система координат.
Это система координат, придуманная Декартом. Из точки, где располагается
объект опустить перпендикуляры на каждую ось, измерить расстояние до точек,
куда упал этот перпендикуляр, и до точки пересечения всех этих осей.
И это число назвать координатой. И три такие координаты точно определят
положение объекта. И тогда понятна задача. Нам надо найти функцию:
зависимость координат от времени. И мы знаем, как он будет двигаться.
Вот я на секундочку, может, вас перебью. Что действительно в этом
координатном методе заслуги Декарта огромные. Ведь Декарт соединил как бы
фактически алгебру и геометрию. Геометрия — это чертежи, картинки.
А он в эти чертежи и картинки всунул числа через координатный метод, через системы координат.
Позволил оцифровать тем самым
геометрию
геометрию. А самое важное позволил оцифровать, как теперь говорят,
движение. Ну просто саму задачу об оцифровке движения, так сказать,
поставил и предложил решение, наверное, все-таки сэр Исаак Ньютон,
но воспользовавшись Декартовыми координатами. Это методом Декарта.
И огромную роль в этом сыграла как раз вся эта работа, связанная с изучением
иррациональных чисел, которые не выражаются конечными дробями,
что и привело к осознанию непрерывности ряда чисел.
А что касается квадратуры круга в завершении нашей лекции.
Да, я вот все вас пытаюсь к этому направить.
То собственно задача о квадратуре круга — это та же самая задача.
Круг имеет площадь, равную числу π умножить на квадрат его радиуса.
Поэтому выяснение, как построить квадрат, равный по площади кругу, задача,
которую пытались решать и греки, и индусы, и средневековые математики, это та же самая задача.
Фактически все это сводится, коллеги, к вычислению числа π.
Которое вот долгое время вычисляли чисто геометрически, вписывая
и описывая многоугольники. И как бы вершиной этой деятельности было наверное
узбекский математик Аль-Каши, который построил миллиардоугольник
вписанный и описанный вокруг окружности.
Невозможно себе представить, как он это сделал, но как-то вот у него получилось.
А потом изобрели технику счета числа π сколь угодно точно,
основанную уже на математических расчетах.
Ну вот, коллеги, сегодняшний наш эпизод мы рассказали о такой очень
существенной и очень важной для человечества деятельности, в том числе
во всех инженерных приложениях и физики, и других наук, как о вычислениях,
и в частности о вычислениях числа π. А на сегодня мы с вами прощаемся,
приходите на наши лекции, мы обещаем, будет интересно.
Explorer notre catalogue
Rejoignez-nous gratuitement et obtenez des recommendations, des mises à jour et des offres personnalisées.
Coursera propose un accès universel à la meilleure formation au monde,
en partenariat avec des universités et des organisations du plus haut niveau, pour proposer des cours en ligne.
© 2018 Coursera Inc. Tous droits réservés.
