שלום! בשיעור שעבר אנחנו התוודענו לראשונה למושג האינטגרל דיברנו על כך שאם יש לנו פונקציה, בשלב זה אנחנו מסתכלים על פונקציות מה שקראתי להן ״יפות״ פונקציות שערכיהם אינם שליליים, חיוביות או אפס. למשל הנה גרף של פונקציה בקטע מסוים אז דיברנו על כך שלשטח שתחום בין הגרף ל הפונקציה F לבין ציר ה-X, בין שתי נקודות על ציר ה-X או ליתר דיוק השטח שתחום על ידי הקווים המאונכים X שווה ל-A ו-X שווה ל-B הגרף של הפונקציה וציר ה-X השטח המסומן פה אותו אנחנו מכנים האינטגרל של הפונקציה F בין A ל-B. והסימון המקובל והבטחתי לכם שאני עוד אסביר מה מקורו. לשטח זה הוא האינגרל של הפונקציה F בין A ל-B ואנחנו כותבים כן, אינטגרל בין A ל-B של F של X DX זה הסימון המקובל בעולם לשטח זה. בשיעור שעבר אנחנו חישבנו בצורה מפורשת את האינטגרל של משפחה אחת של פונקציות, הפונקציות הקוויות, הפונקציות הליניאריות הפונקציות שההצגה שלהן באמצעות נוסחה היא מהצורה Y שווה ל-AX ועוד B A ו-B כבר אותיות תפוסות כאן אז סימנתי MX ועוד N כש-M ו-N הם שני פרמטרים וגם דיברנו על פונקציות שכיניתי פונקציות מדרגה פונקציות קבועות למקוטעים, פונקציות שמקבלות ערכים קבועים על קטעים נגיד הפונקציה שזה הגרף שלה וגם אז אנחנו יודעים לחשב בצורה מפורשת את האינטגרל שלה מפני שזה פשוט סכום של שטחי מלבנים שכל אחד מהם אנחנו מכירים. בשיעור היום אנחנו נסתכל לראשונה על אינטגרל של פונקציה שהיא אינה פונקציה קווית והיא אינה פונקציה שהיא קבועה למקוטעים. אנחנו נחשב את השטח שתחום מתחת לפרבולה. כלומר מתחת לגרף של פונקציה ריבועית. זה חישוב שנעשה לפני יותר מ-2000 שנה על ידי ארכימדס ואנחנו למעשה נחזור אחרי התהליך שאותו ביצע ארכימדס אז הבא וניגש למשימה לפנינו כאן גרף של הפונקציה הריבועית F של X שווה ל-X בריבוע כלומר לכל נקודה X הערך Y המתאים הוא X בריבוע ומטרתנו תהיה לחשב את השטח שתחום בין ציר ה-X לבין הגרף של הפונקציה הזאת ונבחר שתי נקודות. נקודה 1 הנקודה A תהיה הנקודה אפס. X שווה אפס. ציר ה-Y הוא הרי הישר X שווה לאפס ובין נקודה אחרת שנסמן באופן שרירותי ב-B. אז נבחר נקודה אחרת למשל הנקודה הזאת B אנחנו יודעים שהערך כאן הוא F של B שבמקרה זה שווה ל-B בריבוע ובכן מטרתנו היא לחשב את השטח הזה. דיברנו לפני שני שיעורים על חישוב שטחו של עיגול. ראינו שזה תהליך כלל לא פשוט המיוחד במקרה זה, שאנחנו כפי שמייד תראו נצליח לחשב בצורה מפורשת ומדיוקת את השטח הזה. ובכן מה עשה ארכימדס לפני יותר 2000 שנה. הוא אמר את הדבר הבא, אוקי אני לא יודע כרגע מהו השטח הזה בואו נראה מה אני כן בכל זאת יכול לומר עליו מה שהוא עשה, הוא לקח את הקטע אפס עד B וחילק אותו למקטעים שווי אורך אוקי אפשר לחלק לכל מספר של מקטעים שווי אורך, אפשר למשל לחלק אותו לשני מקטעים שווי אורך, לשלושה מקטעים שווי אורך או באופן כללי ל-N מקטעים שווי אורך. אז למשל במקרה זה בואו נראה, כן, אפשר יהיה באופן הזה לא מאוד מדויק לחלק את הקטע אפס עד B ל-1, 2, 3, 4, 5, 6 מקטעים שווי אורך. הבא ניתן לנקודות האלה שמות. את הנקודה אפס אני כרגע אכנה X אפס את הנקודה הראשונה נכנה X1, X2, X3 עכשיו אנחנו נלך פה עד X6 אבל באופן כללי אם אני מחלק ל-N נקודות הנקודה האחרונה שהיא הנקודה B תהיה הנקודה XN כן, שתמיד שווה ל-B והנקודה X0 שהיא תמיד ה-A שלניו במקרה זה אפס. עכשיו בכל אחת מהנקודות האלה XI I מקבל ערכים בין אפס לבין N אני יודע מה ערך הפונקציה כי אני יודע מהי הפונקציה אוקי, למשל X1 הערך כאן הוא F של X1 ו-X2 הערך הוא F של X2 וכן הלאה... כן, ולבסוף ב-XN הערף אני אסמן אותו הוא שווה גם ל-F של B אבל אם כיננו את הנקודה הזאת XN הערך יהיה F של XN ועכשיו שימו לב מה אמר ארכימדס. הוא אמר, אוקי איני יודע מה השטח אבל אני לפחות יכול לדעת ממה הוא יותר גדול באופן הבא, אם נתבונן על המלבן הזה, הוא מוכל בשטח שמתחת לגר הפונקציה בין X ו-X2 ואם נתבונן במלבן הזה, הוא גם כן מוכל בתוך אותו שטח שמתחת לפרבולה. ונמשיך זאת עד לנקודה האחרונה. ובסף הכל קיבלנו כאן אוסף של מלבנים שביחד, הייחוד שלהם, מוכל באותו שטח שאנחנו רוצים לחשב ומכאן, מהעקרונות שעליהם דיברנו בשיעור שעבר שסכום שטחם הוא קטן מהשטח המבוקש. בואו נחשב את אותם שטחים. אלה מלבנים, הרוחב של כולם קבוע הרוחב הזה, כן המרחק בין כל XI ל-XI ועוד 1 מקובל הרבה פעמים לכנות אותו דלתא X שווה לאורך הקטע כולו, חלקי מספר המקטעים B חלקי N הגובה לעומת זאת של כל אחד מהמלבנים האלה משתנה והוא שווה ל-F של X בתחילת הקטע יש לנו F של X וכן הלאה עד שהגבוה של המלבן האחרון הוא F של XN פחות 1 ולכן אנחנו אם נסמן את השטח הלא ידוע ב-S אנחנו לפחות מסוגלים לקבוע ש-S גדול מ-F של X1 כפול דלתא X ועוד F של X2 כפול דלתא X. אוקי, זה בינתיים אלה סכומי השטחים של שני המלבנים הראשונים וכך עד למלבן האחרון ששטחו F של N X פחות 1 כפול דלתא X אבל, אנחנו יודעים בדיוק מהם ה-XI האלה כן X1 למשל שווה לדלתא B. X חלקי N ו-X2 שווה ל-2B חלקי N עד ל-XN שווה ל-N פעמים B חלקי N כלומר ל-B. XI אם כן נתון על ידי I פעמים דלתא X או I פעמים B חלקי N. F של XI שווה ל-XI בריבוע. אז כל אחד מהגדלים שכתובים כאן אנחנו יודעים אותו בצורה מפורשת, הביטוי שכתוב כאן שווה ל-B חלקי N בריבוע זה F של X1 כפול דלתא X. הביטוי השני שווה לפעמים B חלקי ו-X2 בריבוע זה F של X2 כפול B חלקי N. וכך נמשיך עד שהאיבר האחרון יהיה שווה ל-N פחות 1 פעמים B חלקי N בריבוע כפול דלתא X שווה ל-B חלקי N. שימו לב כתוב כאן ביטוי אנחנו מיד נראה בצורה קצת יותר מפורשת למה הוא שווה. שווה כאן ביטוי שתלוי, B אני מתייחס אליו כאל מספר נתון, אבל הוא תלוי כאן באיזשהו פרמטר מאוד שרירותי של מספר נתון. אוקי N שזה מספר החלוקות של הקטע אפס עד B. ומובטח לנו שלא משנה מהו אותו N שבחרנו אותו מספר טבעי N, הביטוי שכתוב כאן, קטן מהשטח הלא ידוע שכלוא מתחת לפרבולה. בואו באמת ננסה לחשב בצורה יותר מפורשת את מה שכתוב כאן. שימו לב שבכל אחד מהמחוברים יש לנו גורם משותף B בשלישית B בריבוע עוד B בשלישית. הוא מופיע בכולן. אפשר להוציא אותו כגורם משותף, B בשלישית חלקי N בשלישית ומה הגורם המשותף הזה כופל? כאן הוא כופל את 1 פה הוא כופל את 2 בריבוע באיבר הבא יהיה לנו 3 בריבוע בעצם כשאני מסתכל על זה, אני מבין שה-1 הזה הוא בעצם 1 בריבוע. עד האיבר האחרון שהוא N פחות 1 בריבוע. 1 בריבוע. יש לנו פה סכום של ריבועים של מספרים טבעיים עוקבים בין 1 ל-N פחות 1 זה הזמן אולי להיזכר בעובדה שככל הנראה למדתם בתיכון שלכל מספר טבעי K אם אנחנו נחבר את כל המספרים הטבעיים הריבועים שלהם עד ל-K הרי שהסכום הזה שווה ל-K חלקי 6 כפול K ועוד 1 כפול 2K ועוד 1 ואם מעולם לא למדתם את הזהות הזו אז אתם תוכיחו אותה כחלק מהתרגיל. אבל כרגע בואו נתייחס אליה כאמת ידועה. במקרה זה, ה-K שלנו הוא N פחות 1 ואם נציב בנוסחה נקבל כאן, סליחה פה זה B בשלישית. N בשלישית במכנה. B בשלישית חלקי N בשלישית וזה יכפול חלקי N בשלישית ואז מה שיהיה לנו זה N פחות 1 חלקי 6 K ועוד 1 במקרה זה שווה ל-N ו-2K ועוד 1 במקרה זה שווה ל-2N פחות 1. אפשר להמשיך ולפשט את הביטוי שימו לב אז יש לנו S השטח הלא יודע פה N בשלישית במכנה, יש לנו פה N שמצתמצם איתו פעם 1 יש לנו גם ערכי N כאן וכאן אני הולך לחלק בעצם מונה ומכנה ב-N בשלישית זה לא מסובך ואנחנו נגלה וגם אני אוציא את ה-2 הזה החוצה. מחוץ לסוגריים כך שישאר לנו פה 3 אנחנו נקבל בסופו של דבר B בשלישית חלקי 3 זה באמת חשבון שאין סיבה להתעקב עליו, אפשר אחר כך לחזור ולבדוק אותו. שיוכפל ב-1 פחות 1 חלקי N כפול 1 פחות 1 חלקי 2 חלקי N. לכל N טבעי כאמור מובטח שאי השיוויון הזה מתקיים. נשים את זה רגע בצד. תרתי משמע. ונחזור רגע לאותה בניה של ארכימדס ועכשיו אמר ארכימדס שבאותו אופן בדיוק שבו הוא מצא שטח שמובטח שהוא קטן מהשטח המבוקש כך הוא גם יוכל למצוא שטח שמובטח שהוא גדול מהשטח המבוקש. מהו אותו שטח? הוא התבונן עכשיו במלבן הזה, שימו לב אנחנו יוצרים סדרה של מלבנים שהשטח המבוקש תחום בתוכם עכשיו. וכך ועד למקטע האחרון סכום השטחים הסגולים הללו מובטח לנו שגדול מהשטח S המובקש למה הם שווים? השטח הראשון פה שווה בדיוק לשטח הראשון כאן, F של X1 כפול דלתא X. אבל הפעם אנחנו יודעים ש-S אני אמחק חלק מהחישוב השטח המבוקש עכשיו קטן מהמלבן הסגול ששווה בדיוק לביטוי הזה. המלבן הראשון פה. המלבן השני שווה ל-F של X2 כפול דלתא X, הנה זה כבר כתוב פה. רגע אז מה משתנה? הדבר היחידי שמשתנה הוא שעכשיו המלבן האחרון ימני ביותר שטחו הוא F של XN כפול דלתא X כך שאנחנו מקבלים בדיוק את אותם סכומים רק אותם איברים בסכום, רק יש מחובר 1 יותר והוא F של XN כפול דלתא X. נוכל בדיוק כמו קודם לחזור ולכתוב את הסכומים האלה במפורש ונקבל, נחזור בדיוק על אותו תהליך, נקבל שוב גורם משותף של B בשלישית חלקי N בשלישית. וכאן נקבל סכום של ריבועים כשההבדל הוא שהסכום עכשיו לא יעצר ב-N פחות 1 בריבוע אלא יהיה לנו איבר נוסף שהוא N בריבוע. יש לנו שוב סכום של ריבועים, אנחנו יודעים לחשב אותם. ואם נעשה זאת נקבל את אותו ביטוי כן, N חלקי 6 כפול N זה עוד 1 כפול 2N ועוד 1 כמו קודם אני אוציא שני N החוצה מחוץ לסוגרים וגם את N ומה שנקבל הוא שהשטח המבוקש קטן מ-B חלקי 3 כפול 1 והפעם ועוד 1 חלקי N כפול 1 ועוד 1 חלקי 2 N בואו נכתוב את שני האי שיוויונים הללו בשורה אחת. השטח הלא ידוע קטן לכל N מ-B בשלישית חלקי 3 כפול 1 ועוד 1 חלקי N ועוד 1 ועוד 1 חלקי 2 וחלקי N ובאותה עת גם גדול מ-B בשלישית חלקי כפול 1 פחות 1 חלקי N כפול 1 פחות 1 חלקי 2 N. בואו נתבונן בדוגמאות, נניח שהינו מחלקים את קטע אפס עד B לעשרה מקטעים שווים. כלומר N שווה 10 אם הינו לוקחים מחשבון ופשוט מחשבים את ביטוי שכתוב כאן, היינו מגלים, ואותו דבר באגף השני היינו מגלים, שאם ניקח את N שווה ל-10 שאותו שטח מובטח לנו שהוא קטן מ-1.155B בשלישית חלקי 3 וגדול מ-0.855B בשלישית חלקי 3 כלומר, אנחנו מסוגלים בשיטתו של ארכימדס מהו השטח, אבל לדעת שהוא תחום בתחום שכן, ששני צידי התחום מבוטאים על ידי קבוע שכופל את B בשלישית חלקי 3. הקבוע באגף הזה הוא 0.855 ובאגף הזה 1.155. אבל שום דבר לא מונע מאיתנו לחלק את הקטע לא לעשרה קטעים שווים אלא ל-100 קטעים שווים. במקרה כזה, שוב רק צריך להציב במחשבון היינו מגלים שהשטח גדול מ-0.985B בשלישית חלקי 3 ובו בעת קטן מ-1.015B בשלישית חלקי 3 אבל אפשר להמשיך ולהגדיל את N כרצוננו. עבור N שווה למאה אלף למשל היינו מקבלים שהשטח גדול מ-0.999985B בשלישית חלקי 3 וקטן מ-1.0002 במקורב B בשלישית חלקי 3 הבא ונפרש מה שקורה כאן. אנחנו לא יודעים מה ה-F, אבל על ידי בחירת ערכים של N הולכים וגדלים אנחנו מסוגלים לתחום את F בדיוק שהולך וגדל וכפי שאנחנו רואים התחום הזה הולך ומצתמצם סביב הערך B בשלישית חלקי 3 ועכשיו אני אומר זאת מבלי להסביר בצורה ריגורוזית למה הכוונה אבל הדוגמאות המיספריות אמורות לדבר בעד עצמן כש-N שואף לאין סוף התחום שבו השטח הזה יכול להמצא הולך ושואף לנקודה בודדת. שהיא B בשלילית חלקי 3 ומכאן אנחנו קובעים שהשטח שתחום מתחת לפרבולה בין X=0 ו-X=B שווה ל-B בשלישית לחלק ל-3. את הניסוח הריגורוזי של כיצד לוקחים לוקחים את הגבול N שואף לאין סוף תלמדו בלימודים באוניברסיטה. דרכו של ארכימדס לחשב שטח מתחת לגרף של פרבולה היא ללא כל ספק מאוד מרשימה בהינתן שהיא נעשתה לפני מעל 2000 שנה. החיסרון שלה אם אפשר לומר זאת זה שהיא מצומצמת למקרים פרטיים שבהם יש לנו כלים שמאפשרים לנו באמת לחשב שטחים בצורה מפורשת במקרה זה שימו לב היינו זקוקים לנוסחה לבטא סכום של ריבועים, למזלנו יש לנו נוסחה כזאת. ולכן יכולנו לבצע את החישוב. הדרך הזאת לא תעזור לנו במקרים כלליים יותר. ואכן בשיעור הבא אנחנו נלמד דרך שיטתית יותר לחשב אינטגרל של פונקציה לפני שאסיים את השיעור הזה אני רוצה רק להסב את תשומת ליבכם לנקודה הבאה: כשאנחנו הולכים ומגדילים את N במקרה זה, לא חשוב אם אנחנו מסתכלים על מלבנים שמכילים את הפונקציה או המלבנים שמוכלים בפונקציה, בשני המקרים השטחים, סכום השטחים של אותם מלבנים שואפים לאינטגל המבוקש. בשני המקרים אותו שטח של מלבנים שמקרב את השטח האמיתי את האינטגרל נתון על ידי ביטוי בצורה הזאת יש סכום של ערכי הפונקציה F הפונקציה הריבועית במקרה זה, באותן נקודות חלוקה כפול הרוחב של המקטע ביטוי מהצורה הזאת, כן שהוא בעצם קירוב לשטח המבוקש מקובל לכתוב בכתיב קומפקטי יותר כסכום של ביטויים מהצורה F של XI כן, F בנקודת ה-I בחלוקה שלנו כפול הרוחב של קטע החלוקה, במקרה שלנו I מקבל ערכים בין 1 לבין N. האותו הזאת היא האות היוונית סיגמה שבאה מהמילה Summation סכום ולכן היא נבחרה. ועכשיו כשאנחנו הולכים ומגדילים את N, המקטעים דלתא X הולכים וקטנים ולעומת זאת מספר המסוכמים הולך וגדל האינטגרל הוא למעשה הגבול של הביטוי שכתוב כאן כש-N שואף לאין סוף. כן, אז נאמר שהאינגרל במקרה זה זה היה אפס ו-B של אותה פונקציה ריבועית שווה לגבול של הביטוי שכתוב כאן, כש-N שואף לאין סוף. היה זה לייבניץ שביטא את אותו גבול. לייבניץ היה מתמטיקאי גרמני פעל במאה ה-17 שכדי לסמל שיש כאן תהליך של גבול החליף את הסימן של הסכום, בסימן אחר שמבטא סכום האות S פשוט נמרחה לצורה כזאת ולעומת זאת הדלתא X כדי לסמן שדלתא הולכת וקטנה הוחלפה באות אחרת שכיום אנחנו מסמנים אותה באות D ומעבר לזה ה-S נשאר וה-X נשאר והדבר האחרון הוא שכשאנחנו הולכים לגבול אז במקום לסמן, כבר אין לנו סימן של סכימה זה I אז נשמר פה פשוט ה-X מה-XI. אני אזכיר לכם שמדובר אך ורק בסימון, אני פה מסביר מה היה מקורו כדי לתאר זה סימון שתאר תהליך גבול של סכומים. הסימן של האינטגרל הוא למעשה מאין עיוות של סימן הסכום או של האות S שמבטאת סכימה. עד כאן לשיעור זה וכאמור בשיעור הבא אנחנו ניגש בשיטה שיטתית לחישוב אינטגלים של פונקציות.
