וגדול מ-0.855B בשלישית חלקי 3 כלומר,
אנחנו מסוגלים בשיטתו של ארכימדס מהו השטח,
אבל לדעת שהוא תחום בתחום שכן, ששני צידי התחום
מבוטאים על ידי קבוע שכופל את B בשלישית חלקי 3.
הקבוע באגף הזה הוא 0.855 ובאגף הזה 1.155.
אבל שום דבר לא מונע מאיתנו לחלק את הקטע לא לעשרה קטעים שווים אלא ל-100 קטעים שווים.
במקרה כזה, שוב רק צריך להציב במחשבון
היינו מגלים שהשטח גדול מ-0.985B
בשלישית חלקי 3 ובו בעת קטן מ-1.015B
בשלישית חלקי 3 אבל אפשר להמשיך ולהגדיל את N כרצוננו.
עבור N שווה למאה אלף למשל
היינו מקבלים שהשטח
גדול מ-0.999985B
בשלישית חלקי 3 וקטן מ-1.0002
במקורב B בשלישית חלקי 3 הבא
ונפרש מה שקורה כאן.
אנחנו לא יודעים מה ה-F, אבל על ידי בחירת
ערכים של N הולכים וגדלים אנחנו מסוגלים
לתחום את F בדיוק שהולך וגדל וכפי שאנחנו
רואים התחום הזה הולך ומצתמצם סביב הערך B
בשלישית חלקי 3 ועכשיו
אני אומר זאת מבלי להסביר
בצורה ריגורוזית למה הכוונה אבל הדוגמאות
המיספריות אמורות לדבר בעד עצמן כש-N שואף
לאין סוף התחום שבו השטח הזה
יכול להמצא הולך ושואף לנקודה בודדת.
שהיא B בשלילית חלקי 3
ומכאן אנחנו קובעים שהשטח שתחום מתחת לפרבולה
בין X=0 ו-X=B
שווה ל-B בשלישית לחלק ל-3.
את הניסוח הריגורוזי של כיצד
לוקחים לוקחים את הגבול N שואף לאין סוף תלמדו בלימודים באוניברסיטה.
דרכו של ארכימדס לחשב שטח מתחת לגרף של פרבולה
היא ללא כל ספק מאוד מרשימה בהינתן שהיא נעשתה לפני מעל 2000 שנה.
החיסרון שלה אם אפשר לומר זאת זה שהיא
מצומצמת למקרים פרטיים שבהם יש לנו כלים שמאפשרים
לנו באמת לחשב שטחים בצורה מפורשת במקרה זה שימו לב היינו זקוקים לנוסחה
לבטא סכום של ריבועים, למזלנו יש לנו נוסחה כזאת.
ולכן יכולנו לבצע את החישוב.
הדרך הזאת לא תעזור לנו במקרים כלליים יותר.
ואכן בשיעור הבא אנחנו נלמד דרך
שיטתית יותר לחשב אינטגרל של פונקציה לפני
שאסיים את השיעור הזה אני רוצה רק להסב את תשומת ליבכם
לנקודה הבאה: כשאנחנו הולכים ומגדילים את N במקרה זה,
לא חשוב אם אנחנו מסתכלים על מלבנים שמכילים את הפונקציה
או המלבנים שמוכלים בפונקציה, בשני המקרים השטחים,
סכום השטחים של אותם מלבנים שואפים לאינטגל המבוקש.
בשני המקרים אותו שטח של מלבנים שמקרב את השטח האמיתי
את האינטגרל נתון על ידי ביטוי בצורה הזאת יש סכום של
ערכי הפונקציה F הפונקציה הריבועית במקרה זה,
באותן נקודות חלוקה כפול הרוחב של
המקטע ביטוי מהצורה הזאת,
כן שהוא בעצם קירוב לשטח המבוקש מקובל
לכתוב בכתיב קומפקטי יותר כסכום של
ביטויים מהצורה F של XI כן,
F בנקודת ה-I בחלוקה שלנו כפול הרוחב של קטע החלוקה,
במקרה שלנו I מקבל ערכים בין 1 לבין N.
האותו הזאת היא האות היוונית סיגמה שבאה מהמילה
Summation סכום ולכן היא נבחרה.
ועכשיו כשאנחנו הולכים ומגדילים את N,
המקטעים דלתא X הולכים וקטנים ולעומת זאת מספר
המסוכמים הולך וגדל האינטגרל הוא למעשה הגבול
של הביטוי שכתוב כאן כש-N שואף לאין סוף.
כן, אז נאמר שהאינגרל במקרה זה זה היה
אפס ו-B של אותה פונקציה ריבועית שווה
לגבול של הביטוי שכתוב כאן,
כש-N שואף לאין סוף.
היה זה לייבניץ שביטא את אותו גבול.
לייבניץ היה מתמטיקאי גרמני פעל במאה
ה-17 שכדי לסמל שיש כאן
תהליך של גבול החליף את הסימן של הסכום,
בסימן אחר שמבטא סכום האות S פשוט
נמרחה לצורה כזאת ולעומת זאת
הדלתא X כדי לסמן שדלתא הולכת וקטנה
הוחלפה באות אחרת שכיום אנחנו מסמנים
אותה באות D ומעבר לזה
ה-S נשאר וה-X נשאר והדבר
האחרון הוא שכשאנחנו הולכים לגבול אז במקום לסמן,
כבר אין לנו סימן של סכימה זה I אז נשמר פה פשוט ה-X מה-XI.
אני אזכיר לכם שמדובר אך ורק בסימון, אני פה מסביר מה היה
מקורו כדי לתאר זה סימון שתאר תהליך גבול של סכומים.
הסימן של האינטגרל הוא למעשה מאין עיוות של סימן הסכום או של האות S שמבטאת סכימה.
עד כאן לשיעור זה וכאמור בשיעור הבא אנחנו ניגש בשיטה
שיטתית לחישוב אינטגלים של פונקציות.