בואו נדמיין למשל מצב שהסדרה הזו הוא לא סדרה ערטילאית,
אלא היא מבטאת רווח של חברה במיליוני שקלים כל שנה.
בשנה הראשונה החברה הרוויחה חמישה מיליון שקלים.
החברה הצליחה, היא גדלה.
שנה אחרי זה היא הרוויחה שמונה מיליון שקלים, שנה אחרי זה אחת עשרה מיליון שקלים.
היא המשיכה לגדול בשיעור קבוע כי זה מה שסדרות חשבונית מבטאות.
שאלה מאד טבעית בהקשר הזה היא לשאול
נגיד אחרי שלוש שנים כמה כסף היא הרוויחה עד כה או,
אחרי n שנים, כמה כסף היא הרוויחה ב-n השנים הראשונות?
אז ברור מה התשובה, אנחנו צריכים לסכם את כל איברי
הסדרה מהאיבר הראשון עד האיבר במקום ה-N אז אנחנו אם כן,
שואלים מה מתקבל כשמסכמים איברי סדרה
חשבונית מהמקום הראשון: האיבר הראשון ועוד האיבר השני
ועוד האיבר השלישי וכך הלאה עד
המקום ה-N מה שמתקבל
כאן הוא סכום שתלוי ב-N.
במקום שבו הפסקתי את הסכימה.
אוקי, אז נסמן את הסכום הזה באות S שהיא אות מקובלת לבטא סכומים,
האות הראשונה של המילה Sam אבל נזכור שהסכום הזה תלוי,
הוא תלוי כמובן באיברי הסדרה אבל הוא גם תלוי במקום שבו הפסקתי
לסכם לכן טבעי ביותר לסמן את מה שהתקבל כאן
כסכום אחרי N צעדים או במקום ה-N
במילים אחרות הביטוי שכתוב כאן ומקובל
לכנותו סכום חלקי של איברי סדרה חלקי כי
עצרנו במקום ה-N של איברי הסדרה.
מכיוון שהוא עצמו תלוי ב-N הרי שהיתה לנו סדרה,
סדרה חשבונית במקרה שלנו, ויצרנו באמצעותה סדרה
חדשה שהיא סדרת הסכומים החלקיים של איברי הסדרה.
בואו נחשוב רגע איך אפשר להגדיר את הסדרה הזאת.
הסדרה SN סדרת הסכומים החלקיים מקיימת את התכונה הבאה.
האיבר הראשון שלה הוא פשוט האיבר הראשון של הסדרה AN כן,
אני מסכם את כל איברי הסדרה עד האיבר הראשון אז זה פשוט שווה לאיבר הראשון.
אז האיבר הראשון בסדרה הזאת שווה לאיבר הראשון.
אז האיבר הראשון בסדרה הזאת של הסדרה המקורית, במקרה הזה זו היתה סדרה חשבונית.
האיבר ה-N של הסדרה הזאת מתקבל
מכך שסיכמנו את כל האיברים במקום ה-N אז אפשר לכתוב את זה.
אבל אפשר גם לומר שהוא שווה למה שהתקבל כשסיכמנו את N פחות
1 האיברים הראשונים של הסדרה הסדרה הזאת, הסדרה AN,
ואז הוספנו את האיבר ה-N אבל סכום N פחות 1 האיברים
הראשונים של הסדרה זה מה שהיינו מסמנים ב-SN פחות 1.
אז סכום N האיברים הראשונים של הסדרה
AN נתון על ידי סכום N פחות 1 האיברים הראשוניים
ועוד האיבר ה-N אז זו
דרך רקורסיבית להגדיר את סדרת
הסכומים החלקיים סדרת הסכומים
החלקיים של הסדרה AN אוקי,
זה דוגמה ראשונה שבה אנחנו רואים
סדרה שמוגדרת באמצעות סדרה אחרת.
אוקי, יש לנו סדרה שהיא סדרה חשבונית, היא יכלה גם להיות סדרה אחרת ובאמצעותה אנחנו
מגדירים סדרה חדשה שהיא סדרת הסכומים החלקיים של הסדרה הראשונה שעסקנו בה.
ועכשיו אנחנו נחזור לתהליך
שעשינו לפני כמה רגעים עבור סדרה חשבונית נשאל את עצמנו האם
ניתן לקבל נוסחה מפורשת לסכום N
האיברים הראשונים של סדרה חשבונית.
כן, שימו לב שללא נוסחה מפורשת,
אם אנחנו צריכים למצוא למשל מהו S100 של הסדרה שנתונה כאן,
אנחנו צריכים לחשב את 5 ועוד 8 ועוד 11 עוד 14
וכך צריך להמשיך לסכם 100 מספרים שכל אחד
מהם גדול מקודמו ב-3 זה כמובן עבודה קשה ואם היינו שואלים מהו S1000,000
כמובן שהיתה עבודה קשה פי כמה וגם כאן מה שנרצה זה לקבל נוסחה מפורשת.
אז אנחנו נעשה זאת עכשיו והאמת היא שנעשה את זה
ביותר מדרך אחת כי יש דברים מעניינים וקישורים
אפילו לגיאומטריה שאפשר לראות דרך הפעולה הזאת.
נתחיל בדרך ראשונה, עדין היא תהיה אלגברית טהורה.
להסתכל על סכום איברי סדרה A1 עד AN במקרה שלסדרה חשבונית.
אנחנו מעוניינים לחשב את הסכום הבא שסימנו SN A1
ועוד A2 ועוד A3 ועוד
AN פחות 1 ועוד
AN ובשלב זה אנחנו לא יודעים אין לנו ביטוי מפורש לזה.
גישה אפשרית שהיא הרבה פעמים שימושית, היא להגיד ״אוקי,
אני לא יודע כמה זה אז אני אוסיף לזה עוד משהו שאני לא
יודע כמה הוא אני אוסיף לזה את אותו הדבר״.
אלא שהפעם אנחנו נכתוב את הסכום לא משמאל לימין אלא מימין לשמאל.
A1 ועוד A2
ועוד AN פחות 2 ועוד AN פחות
1 ועוד AN.
אז כתבנו פה פעמיים את אותו סכום כמובן,
כי חיבור מקיים את חוק החילוף והפילוג אז אפשר לסכם באיזה סדר שאנחנו רוצים.
גם הביטוי שכתוב כאן הוא SN וגם הביטוי שכתוב כאן הוא SN.
יש לנו שתי משוואות אפשר לסכם
אותן אז אם נסכם עכשיו את שתי
המשוואות נקבל פה פעמיים את הגודל הלא ידוע שהיינו רוצים לבטא
בצורה מפורשת ובואו נראה מה יש לנו בצד השני.
אז מכיוון שאנחנו יכולים לסכם בכל סדר שהוא
המספרים נכתבו כדי להזמין אותנו לסכם
אותם באופן הבא: A1 ועוד AN נסכם בנפרד ולזה
נוסיף את A2 ועוד AN פחות 1 וכן הלאה מכיוון
שאנחנו עוסקים בסדרה חשבונית וחשוב להדגיש זאת,
מה שאנחנו עושים עכשיו אינו נכון לסדרות כלליות הוא מיוחד לסדרות חשבוניות הרי
שהאיבר השני גדול מן האיבר הראשון או שונה מן האיבר הראשון בשיעור D,
הקבוע של הסדרה החשבונית.
האיבר ה-N פחות 1 שונה מהאיבר N באותו שיעור אבל
במגמה הפוכה אם במעבר מכאן לכאן יש לנו ועוד D במעבר מכאן לכאן יש לנו פחות D.
ולכן הסכום של האיבר השני והאיבר
הלפני אחרון יהיה שווה לסכום של האיבר הראשון והאיבר האחרון.
אבל העיקרון הזה כמובן ימשיך גם הלאה.
גם הסכום של שני האיברים האלה שווה לסכום של שני האיברים האלה ששווה
לסכום של שני האיברים האלה.
כך שלמעשה כאשר אני מסכם את הסדרה באופן הבא אני מקבל כל
פעם זוגות של מספרים שמסתכמים לבדיוק אותו הערך.
אם כך, ברור מה הסכום של כולם ביחד.
אנחנו, יש לנו את A1, האיבר הראשון ועוד האיבר
ה-N אבל הסכום הזה חוזר N פעמים.
ולכן פעמיים סכום איברי
הסדרה שווה ל-N פעמים הסכום של האיבר הראשון ועוד האיבר האחרון.
עכשיו כל שנותר זה לחלק ב-2
ולקבל שסכום N האיברים הראשונים בסדרה חשבונית זה חצי
פעמים N כפול סכום האיבר הראשון ועוד האיבר האחרון.
אני מניח שזאת נוסחה שזכורה לכם מדף הנוסחאות שהיה לכם בבחינת הבגרות,
בכל אופן זה ההסבר המאוד אינטואיטיבי לכיצד היא מתקבלת.
בשלב הזה אנחנו כמובן יכולים לזכור שיש לנו גם ביטוי
מפורש לאיבר ה-N לזכור שסימנו את A1 בסימון
באות A גדולה ולכתוב את מה שכתוב כאן מחדש כחצי N,
אז A1 שווה ל-A גדולה.
ויש לנו ביטוי מפורש עבור AN שזה A ועוד N פחות
1 פעמים D ובשלב הזה אפשר לפשט עוד קצת את הביטוי ולקבל
את עוד אחת מהנוסחאות המוכרות לכם,
כן למשל N כפול
A ועוד חצי N,
N פחות D1 אז
פה עשינו שימוש באלגברה ובעקרון
שמשתמש בתכונת הסדרה החשבונית כדי לקבל
ביטוי מפורש לסכום N האיברים הראשונים בסדרה.
אני רוצה עכשיו לקחת את אותה גישה בדיוק אבל רגע לתת לה גוון
גיאומטרי אנחנו אמרנו קודם שאפשר להציג סדרה
חשבונית באמצעות דיאגרמת עמודות.
נכון, ואז להזכירכם בייצוג
הזה האיבר הראשון בסדר מיוצג על ידי
עמודה ברוח 1 שגובהה הוא האיבר הראשון בסדרה.
האיבר השני מיוצג גם כן על ידי עמודה שגובהה A2 עכשיו יש לנו פה סדרה חשבונית,
כך שההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע ומתקבל איזשהו מבנה כזה,
בואו נעצור ב-N שווה 4 לשם הדוגמה.
זה A3 וזה A4 ואם הייתי מקפיד כמובן על ציור
לפי קנה מידה מושלם אז היינו מגלים שההפרשים בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע.
שימו לב, שבגלל העבודה שהרוחב של העמודה
היא יחידה 1 אז השטח של העמודה
ששווה לרוחב שהוא 1 כפול הגבוה שווה למעשה לגובה.
לאיבר הראשון בסדרה.
כלומר בדיאגרמת עמודות כל איבר מייצג גם את הגבוה של העמודה אבל גם את השטח שלה.
כך שהשטח הזה פה נתון על ידי 1 באותו אופן בדיוק השטח כאן הוא A2,
A3 ו-A4 אלה מבטאים עכשיו שטחים של עמודות.
בהסתכלות כזאת
הסכום של איברי הסדרה הוא פשוט סכום
השטחים של העמודות ואני מקווה שבשלב זה זה מתחיל
לצלצל מוכר ולהזכיר לכם דברים שעשינו בהקשר של אינטגרלים.
ואז כיצד אפשר לחשב את השטח,
כן במקרה זה סכום של 4 מלבנים אז הדרך
האלגברית שהוצגה כאן מרמזת על דרך גיאומטרית לשכפל את
העמודות האלה ולהדביק אותן מעל ארבעת העמודות האלה
אבל במהופך כך שהשטח הזה A4 יופיע כאן