והם אלה הישרים שבהם העלייה שנגרמת
כתוצאה מהגידול ב-X והירידה שנגרמת כתוצאה מהגידול ב-Y מתקזזות.
דבר אחר עליו ניתן ללמוד מהתבוננות בגרף של פונקציה
הוא קווי גובה או כפי שהם נקראים
לפעמים איזותרמות אם המפה
מציינת טמפרטורה או איזוברות אם
המפה מציינת לחץ המילה "איזו" משמעותה
שווה, במפת טופוגרפית כידוע לכם לא ניתן בשני
מימדים לצייר את כל מפת התבליט ועל כן מה שעושים
במקום זה משרטטים קווים חומים עדינים שבהם גובה
השטח מעל פני הים קבוע והקווים האלה נקראים קווי גובה.
ואנחנו אמורים לדמיין לנו איזו שהיא תמונה תלת מימדית של הגרף בהסתמך
על אותם קווים איך אנחנו נתאר את התהליך הזה מבחינה מתמטית?
בואו נתבונן למשל בגרף של הפונקציה Z
שווה H של XY שווה עשר פחות X בריבוע
פחות Y בריבוע הוא תואר מקודם ככיפה.
אנחנו יכולים עכשיו לקרוא לו גם כיפה פרבולואידית
מפני שכל חתך שלו שמקביל לציר X וציר
Y הוא פרבולה וננסה לשאול מתי
הפונקציה הזאת שווה
נגיד לשבע?
כדי שהפונקציה הזאת תהיה שווה לשבע כן?
כדי ש-Z יהיה שווה לשבע צריך להתקיים שעשר
פחות X בריבוע פחות Y בריבוע שווה
לשבע או אם תעבירו אגפים X בריבוע
ועוד Y בריבוע שווה עשר פחות שבע
שלוש וזוהי משוואה של מעגל ברדיוס
שורש שלוש כלומר אוסף הנקודות במישור XY שבו
הגובה של הפונקציה הזאת הוא שבע ובמקרה זה הוא
מעגל, והוא יהווה קו גובה בגובה
שבע אילו הינו משנים את המספר
שבע לשש
עשר פחות שש זה ארבע המעגל היה גדל.
רדיוסו במקום שורש שלוש היה הופך שורש ארבע שתים.
שוב אפשר לראות את קווי הגובה האלה אם אנחנו נחתוך את הגרף
התלת מימדי של הפונקציה עם המישורים Z שווה שש, Z שווה
שבע וכן הלאה, שהם מישורים מקבילים במרחב למישור XY.
מקבילים לרצפה.
במצגת שלפניכם חתכנו את אותה כיפה פרבולאידית
ששירטטנו מקודם עם מישור מקביל לרצפה למישור XY.
מישור מהסוג Z שווה שבע או Z שווה שש.
ואני עכשיו הולך לשנות את המישור הזה ולהזיז אותו.
וכפי שתראו, כאשר אני מעלה אותו המעגל שמתקבל
כחיתוך של הכיפה עם המישור המעגל הזה משורטט פה בעצם
בהקף של החלק השטוח הולך וקטן
וככל שאני מוריד את המישור המעגל הזה הולך וגדל.
ההיטל של המעגל הזה על מישור XY הוא אותו קו
גובה שדיברנו עליו מקודם ושאת הביטוי האנליטי לו הצגנו כאן.
אם דיברנו על
כיפה ודיברנו על אוכף,
עוד צורת טפוגרפית מוכרת
היא שלוחה או גיא.
בכיפה נהוג להגיד שממרכזה יורדים לכל ארבעת הכיוונים.
במרכז האוכף אנחנו נמצאים ממנה עולים לשני כיוונים
ויורדים לשני כיוונים אחרים כאשר אנחנו נעים
על פני שלוחה של הר, אנחנו יורדים בשלושה
כיוונים: ימינה שמאלה וכלפי מטה ועולים בכיוון אחד אחורה.
ובגיא אנחנו עולים בשלושה כיוונים ויורדים בכיוון אחד, במורד הגיא.
שוב ניתן לרואת את זה להמחיש את זה יפה מאוד בעזרת התוכנה שלנו אני לא
אתן לכם את הביטוי האנליטי שבעזרתו שרטטתי את התמונה הזאת.
אבל שוב יש לנו כאן שלוחה שעולה בכיוון בציר
X וגיא ציר X החיובי וגיא שיורד בכיוון ציר X השלילי
וכאשר אנחנו מסתובבים ומפנים את מבטנו מזוויות שונות אנחנו רואים
ממש את התמונה שמצטיירת בדמיוננו אם אנחנו מטיילים בטבע.
דרך אחרת לחשוב על התלות בשני
המשתנים היא לייחס לאחד המשתנים תפקיד
של פרמטר בואו נעשה את זה
בדוגמה שמופיעה בשקף בדוגמא
הזאת מופיעה הפונקציה של שני משתנים Z
שווה Y בריבוע ואני מדגיש שזה פונקציה של שני
משתנים אלא מה היא לא תלויה באקס ואכן מה
שהגרף מראה לנו הוא שהגרף של הפרבולה Z
שווה Y בריבוע לכל ערך של X ועל
כן התמונה המצטיירת היא תמונת הפרבולה הזאת שמרחנו
אותה בצורה מקבילה לעצמה, לאורך ציר X.
אנחנו חושבים על X כעל פרמטר, אולי פרמטר של זמן ועל Y כעל המשתנה האמתי.
ל-X אנחנו מייחסים תפקיד של פרמטר, ובמקרה הזה, הפונקציה לא תלויה בפרמטר.
הפרמטר קיים, הוא נסתר, אבל הפונקציה לא תלויה בפרמטר, היא תלויה רק במשתנה Y.
אבל בואו ננסה ונכניס תלות בפרמטר, על
ידי שנסתכל בפונקציה Z שווה Y בריבוע,
כפול סינוס של 5X.
לפני שנעלה את המצגת, בואו וננסה לדמיין מה הפונקציה הזאת, מה
התלות הזאת בפרמטר תעשה לנו.
הסינוס יתנדנד כרגיל בין מינוס 1 ל-1.
בשביל כל ערך קבוע של X, בשביל כל X אפס, הוא יהיה בין מינוס 1 ו-1.
כאשר הסינוס יהיה 0, למשל אם X יהיה 0 הפונקציה הזאת תהיה זהותית 0, לא משנה מה Y.
כאשר הסינוס יהיה חיובי, זאת תהיה פרבולה מחייכת, פרבולה
פונה כלפי מעלה כפונקציה של Y, שתגיע לשיאה
כאשר או לצורה הכי תלולה, כאשר סינוס יהיה 1
ואחר כך תלך ותדעך עד 0, וכאשר הסינוס יהפוך
להיות שלילי היא תהפוך להיות פרבולה עצובה, פרבולה מופנית
כלפי מטה.
בואו נראה את זה שוב בגרף שלפנינו.
בגרף שלפנינו, שינינו את הפונקציה המקורית
והכפלנו אותה בסינוס 5X, ואכן התקבל מה שצפינו.
כאשר ה-X הוא כזה שהסינוס הוא חיובי, מתקבלת פרבולה המופנית כלפי מעלה.
כאשר ה-X הוא כזה שהסינוס הוא שלילי מתקבלת
פרבולה המופנית כלפי מטה, וחוזר חלילה באופן מחזורי.
בין לבין, ישנם קווים שבהם הפונקציה לגמרי אופקית כמו הקו הזה.
אפשר לראות את זה על ידי שנריץ שוב קו אדום,
שיופיע וירוץ על פני הגרף הדו-ממדי
שלנו, ויבטא את ההשתנות ב-X.
הגרף הזה הגרף האדום, הוא הגרף של הפונקציה
בשביל X קבוע כפונקציה של Y, ואני מריץ את ה-X קדימה ואחורה.
לקינוח נשאל את השאלה שוודאי עלתה בדעתכם.
אם אנחנו עברנו מפונקציה של משתנה אחד לשני משתנים
למה שלא נעבור מפונקציה של שני משתנים, לשלושה משתנים?
מה אפשר לומר על הפונקציות Z
התלויות ב-X, ב-Y, ובמשתנה שלישי שנקרא לו T?
כאן צריך להפעיל טיפה את הדמיון.
אם נרצה לתאר גרף של פונקציה כזאת, תחום ההגדרה שלה עכשיו יהיה
קבוצה, קוביה במרחב התלת-ממדי ונצטרך ממד
רביעי, שקשה מאוד לדמיין אותו בראשנו, על אחת כמה וכמה
לשרטט אותו על לוח דו-ממדי כפי שעשינו מקודם כדי לתאר את הגרף.
אבל ישנה אופציה אחרת, והיא טמונה בשם של המשתנה שבחרתי,
והיא תתייחס למשתנה הזה כאל פרמטר זמן.
אנחנו יכולים לחשוב על הגרף של
פונקציה של שלושה משתנים כעל משפחה של גרפים
התלויה בפרמטר הזמן של פונקציה של שני משתנים.
לכל T קבוע, אם נחליט שהזמן הוא 1 אז מתוארת פה הפונקציה H של
XY 1, הפונקציה שמתקבלת מהצבת T שווה 1 בנוסחה ל-H אם יש
נוסחה כזאת וגרף של פונקציה כזאת אנחנו יודעים לצייר.
רק כדי להישאר עם טעם טוב בפה, אני אציג לכם גרף
של פונקציה של שלושה משתנים, שוב
X ו-Y יתוארו כרגיל Z יתואר בעזרת
הגובה והמשתנה השלישי יתואר בעזרת תלות בזמן.
הנה הפונקציה.
נסובב אותה טיפה.
בכל רגע נתון
יש לנו גרף שהוא משטח
במרחב התלת-ממדי, והמשתנה השלישי, משתנה הזמן
בואו נחזור על זה, משתנה
הזמן מתואר על ידי השעון, אם אתם רוצים.
עם התמונה היפה הזאת-
ניפרד.
תודה.
