שלום! בשיעור האחרון בפרק הפונקציות נעסוק בפונקציות של שני משתנים. נרחיב את מעגל הפונקציות שהיה לנו ובתור דוגמה בסיסית נתבונן בפונקציה המתארת גובה במטרים מעל פני הים כתלות בנקודה על המפה. אנחנו דנים בפונקציות של שני משתנים. תכף נבין מדוע. ומתחילים עם פונקציה שהיא מאוד שימושית בטופוגרפיה, בניווט ודאי רובכם נחשפתם אליה בטיולים שעשיתם, פונקציה שמתארת לכם את הגובה מעל פני השטח. התחום שלה אלה הן הנקודות על המפה או הנקודות אם אתם רוצים בשטח והטווח שלה הוא המספרים הממשיים. תחום ההגדרה: הנקודות על המפה. אנחנו יכולים לצייר את התחום בצורה סכמטית זהו התחום, מפת מדינת ישראל. והטווח הוא קבוצת המספרים הממשיים. אולי בין מינוס 400 ומשהו ל-2000 אבל לא יותר מזה. האם זו פונקציה המספרית? האם אנחנו יכולים לתאר נקודות בתחום בעזרת מספרים? ובכן, כן ולא. אנחנו לא יכולים לתאר נקודה על המפה בעזרת מספר אחד. אבל אנחנו יכולים לתאר נקודה על המפה בעזרת שני מספרים אם נכניס קואורדינטות. מה שעושים, ואת זה עשו במחלקת המדידות הבריטית עוד בתקופת המנדט, הוא להכניס רשת קוארדינטות במפה שחופפת בקירוב את קווי האורך וקווי הרוחב הגאוגרפיים. אני אומר בקירוב מפני שקווי אורך, סליחה, קווי רוחב אכן מקבילים אלה לאלה. קווי אורך על פני כדור הארץ אינם מקבילים. הם נפגשים בקוטב הצפוני והקוטב הדרומי ובחצי הכדור הצפוני ככל שאנחנו מצפינים שני קווי אורך ילכו ויתקרבו אחד לשני. הם לא יהיו מקבילים, אבל כן רשת הקואורדינטות שמכניסים במפה רק חופפת בקירוב את קווי האורך אבל זו רשת של קווים מקבילים. קובעים נקודת ייחוס שתשמש כראשית הצירים. נדמה לי שהנקודה הזו נמצאת אי שם בסיני ברשת שנקבעה על ידי מחלקת המדידות הבריטית בשעתו. והחל מאותו רגע אפשר להתייחס לציר הזה כאל ציר X, לציר הזה כאל ציר Y. ולייחס לכל נקודה זוג מספרים. למשל הנקודה הזאת תהיה הנקודה (2, 3) מפני שקואורדינטת X שלה או כפי שנהוג לקרוא המזרחיות שלה הן: 2. וקואורדינטת Y או כפי שנהוג לקרוא הצפוניות הן 3. כמובן מדובר פה בקנה מידה אותו לא הגדרתי אבל הוא נתון לשיקול דעתי. ובכן התחום במקרה זה הוא בעצמו קבוצה חלקית של המישור הקרטזי. השתמשנו כבר במישור הקרטזי כדי לתאר גרף של פונקציה התלויה במשתנה אחד אבל במקרה הזה התחום, קבוצת הנקודות על המפה יהווה אחרי הכנסת קואורדינטות כמתואר כאן קבוצה חלקית של המישור הקרטזי R כפול R. נחזור אם כן. נקבע קטע I על ציר ה-X שבו הקואורדינטות המזרחיות השתנו נאמר, למשל בין 0 ל-100. קטע J על ציר Y ואז נקודות על המפה יתאימו לזוגות X, Y במלבן הקרטזי I כפול J. אני חוזר, אנחנו נשתמש בגיר צבעוני מכסים את המפה שלנו ברשת של קואורדינטות ומרגע זה ואילך את באר שבע למשל אני יכול לתאר בעזרת הזוג (2, 3) במקום לקרוא לה באר שבע. הפונקציה שתתאים לנקודה על המפה את הגובה מעל פני הים הופכת אם כך להיות פונקציה של זוגות של נקודות. נסמן אותה בתור H בשביל גובה Height (״גובה״ באנגלית), מ I כפול J אל R הינה פונקציה של שני משתנים. שכן, נקודה על המפה מתוארת על ידי זוג (X, Y). היא אוכלת זוג של מספרים ממשיים ומייצרת לנו מספר ממשי חדש שהוא הגובה. צריך להתרגל לרעיון שיש פונקציות כאלו כפי שאמרתי לכם אלה עדיין פונקציות מספריות אבל לא פונקציות שתלויות במשתנה אחד אלא בזוג של משתנים. נשאלת השאלה איך נתאר את הגרף של פונקציה כזו? הגרף של פונקציה שהיתה תלויה במשתנה אחד תואר בעזרת ציור מסוים במישור. הגרף של פונקציה התלויה בשני משתנים יתואר על ידי ציור בעולם התלת מימדי. לשם כך נכניס ציר שלישי שיהיה מאונך לציר X ו Y, אתם יכולים לחשוב עליו כעל ציר שבוקע מתוך הלוח ומופנה כלפיכם קדימה. וננסה לתאר ויזואלית את הגרף כמעין מפת תבליט, כמעין משטח מעל מישור X, Y. מעל המפה שלנו. היות ואני רוצה לצייר ציורים בכל זאת דו מימדיים על פני הלוח אני צריך לאמץ נקודת מבט של פרספקטיבה. והכנתי לכם כאן תיאור של מערכת הקואורדינטות הקרטזית בשלושה משתנים. מישור X, Y מתואר הפעם כאילו הוא נוטה על הצד אבל הזווית הזו, אתם צריכים לחשוב עליה כעל זווית ישרה. וכל נקודה במישור X, Y שהוא התחום שלנו מותאמים לה שני מספרים כמקודם על ידי שנעביר קווים מקבילים בצירים ונבדוק באיזה מספרים הם פוגשים. למשל הנקודה הזאת מתאים לה הזוג (4, 3). זו נקודה במישור X, Y שמתאים לה זוג הקואורידנטות 4, 3, אם אתם מטילים אנך לכיוון ציר x, שייראה הפעם נוטה על צידו, הוא יפגוש במספר 4. אם תעבירו אנך לכיוון ציר y, הוא יפגוש במספר 3. מחוץ למישור הזה העברנו ציר שלישי, מאונך לו. ישנה פה מוסכמה למי קוראים x, למי קוראים y, ולמי קוראים z והמוסכמה הזו נקבעת על ידי כלל היד הימנית. אם הבוהן פונה בכיוון x והאצבע השנייה פונה בכיוון ציר y, אז האבצע האמצעית פונה בכיוון ציר z. אנחנו יכולים לסובב את הציור הזה בדמיוננו, ואז ציר y יגיע הנה, יפנה ימינה, וציר x יפנה קדימה. כן, אז או שציר x פונה קדימה וציר y פונה ימינה. או שנסובב את זה סביב ציר z, ציר x יפנה ימינה וציר y יפנה אחורה, אל תוך הלוח. מהרגע שעשינו את זה, כפי שתיארנו נקודות במישור בעזרת זוגות של מספרים, נקודות במרחב התלת מימדי אנחנו יכולים לתאר על ידי שלשות של מספרים. אם ניקח נקודה p כמו הנקודה הזו, אם נרצה להתאים לה שלושה מספרים, נעשה את אותו תהליך שעשינו מקודם בשני מימדים, אלא בשלושה במימדים. נטיל אותה קודם כל הטלה מאונכת על רצפה, על מישור x, y, שם נפגוש נקודה שאנחנו כבר יודעים איך להתאים לה זוג מספרים, במקרה הזה הנקודה 4,3 ובתור קואורדינטה שלישית, המבטאת את הגובה מעל הרצפה, נשתמש בהטלה האנכית, על ציר z. נגיד שפגשנו את ציר z במספר 8. קואורדינטות של p, x, y, z יהיו 4, 3 ו 8. ובכן, אחרי שאנחנו יודעים איך לשייך שלשות של מספרים לנקודות במרחב, אנחנו יכולים לדמיין לנו איך ייראה הגרף. לכל נקודה בתחום, תזכרו שהתחום הוא איזה שהוא מלבן i כפול j חלקי למישור, בואו נאמר שזהו התחום שלי, זהו הקטע i וזהו הקטע j. לכל נקודה בתחום כמו הנקודה 4, 3 הפונקציה h הנותנת את הגובה מעל פני השטח כבר לא רשומה כאן, נותנת מספר שלישי, z והנקודה x,y,z תהיה שייכת לגרף של h שסימנו אותו ב-Gh. כאשר הנקודה בתחום x,y נעה במלבן שלנו, הגובה משתנה ומצטייר לנו כאן, בעצם, משטח, או מה שנהוג לקרוא לו בטופוגרפיה, מפת תבליט. יש לנו תוכנות נחמדות, כדוגמת התוכנה שאני הולך להצביע עליה עכשיו, שמתארות גרפים כאלה, תיאור תלת מימדי. הנה מערכת הצירים שלנו. הציר הפונה ימינה הוא ציר x, הציר הפונה קדימה אל תוך המסך הוא ציר y, והציר הפונה למעלה הוא ציר z. והגרף במקרה זה, של פונקציה שאני לא הולך לתת לכם את התיאור המפורש שלה, מתואר על ידי משטח. אני יכול לסובב בזוויות שונות את התמונה. אני יכול לסובב למשל את ציר x, כך שהוא יפנה אלינו ואז ציר y יפנה ימינה ואני יכול להטות את התמונה. דמיינו לעצמכם שאתם טייסים, טייסי מסוק וטסים מעל פני השטח, והתמונה המצטיירת היא אכן תמונה של פני שטח, של הר, שלוחות שיוצאות מן ההר, גאיות, עמקים, וכן הלאה. איך נשרטט גרפים כאלו ומה ניתן ללמוד מהם? בואו ניקח דוגמV פשוטה, הפונקציה h של x,y תהיה נתונה על ידי 10 פחות x בריבוע פחות y בריבוע. פונקציה שתלויה בשני משתנים, מה צורתה? מה צורת הגרף שלה? שימו לב ש-x ו-y, הם גדלים ממשיים, ריבועיהם חיוביים, ולכן בכל מצב הפונקציה הזה תהיה קטנה או שווה מ 10. כאשר x ו-y יהיו 0, היא תקבל c 10 ואחרי זה הערכים ילכו וירדו. אם ננסה לצייר את הגרף של הפונקציה, תתקבל המצגת שלפניכם. במצגת הזאת אתם רואים רשת של קווים ירוקים המקבילים לציר x ולציר y. קווים אלה מתקבלים כאשר אנחנו קובעים או את x או את y ומנסים לחשוב על הפונקציה הזאת כעל פונקציה של המשתנה שאינו קבוע, כפונקציה של משתנה אחד. כלומר, אחד התהליכים המנטלים החשובים בהבנת פונקציות של שני משתנים, וזהו התהליך שבעצם התוכנה עושה כאשר היא משרטטת את הגרף, הוא לקבוע, למשל, y0 כגודל קבוע, למשל 5, ולהסתכל על הפונקציה שמתקבלת כאשר מציבים את אותו גודל קבוע במקום y רק כפונקציה של המשתנה x. אם y הוא 5, יהיה כתוב פה 10 פחות 25, מינוס 15, מינוס 15 פחות x בריבוע. פונקציה כזו מוכרת לכם, זוהי פרבולה, ואפילו פרבולה, שנהוג לקרוא לה, פארבולה עצובה, כיוון שהמקדם של x בריבוע הוא שלילי והיא מופנית כלפי מטה. בשרטוט שלפנינו, הגרף הזה, כפונקציה של x בלבד, מתואר על ידי קו אדום. יותר נכון בשרטוט שלפנינו קבענו דווקא את x והסתכלנו על הפונקציה כפונקציה של y. כן, xהוא קבוע והפעם y משתנה, וקיבלנו פרבולה במhרכאות, "עצובה". מה קורה כאשר אנחנו מתחילים להזיז את ה-x0 הזה? בשרטוט, בואו נסובב אותו טיפה, אנחנו רואים שה-x0 היה פה בדיוק 0. זהו בעצם, הקו האדום הוא בעצם החיתוך של הגרף עם מישור yz. כאשר x0 שווה 0 מתקבל 10 פחות y בריבוע וזהו גרף של פונקציה של משתנה אחד, של פרבולה המבטאת את z כפונקציה של y, כאשר x0 הוא 0. מה קורה כאשר אנחנו מתחילים להזיז את ה-x0? בואו נזיז אותו צעד אחד ועוד צעד ועוד צעד ימינה. אנחנו מקבלים משפחה של פרבולות "עצובות", שכל אחת מהן נבדלת מקודמתה בהחסרה של הקבוע הזה, x0 בריבוע. שימו לב, שהשיאים של הפרבולות האלו ילכו וירדו. במקום 10 הם יהיו בנקודה 10 פחות x0 בריבוע, ואכן זה מה שאנחנו רואים בתמונה שלנו. אלו הן פרבולות שהולכות ויורדות. אנחנו מסוגלים למצות את כל הגרף על ידי משפחה של פרבולות, משפחה של גרפים חד מימדיים, שמשתנה כאשר אנחנו משנים את x. כמובן שיכולנו לעשות בדיוק את אותו תהליך, אני לא אעשה אותו כאן במצגת, על ידי זה שנקבע את y ונסתכל על פונקציות של המשתנה השני, x, ואז יתקבלו הקווים הירוקים המקבילים לציר x, ולא לציר y. נקודת מבט זו היא נקודת מבט מאוד חשובה, מפני שהיא מאפשרת לנו לעשות רדוקציה של הבעיה של הבנת גרף של פונקציה של שני משתנים לבעיה המוכרת יותר של גרף של משתנה אחד. מה ניתן ללמוד מהטופוגרפיה של גרף של פונקציה של שני משתנים אין ספק שניתן ללמוד על מקסימום או מינימום בדיוק כפי שלמדנו על מקסימום או מינימום בגרף של פונקציה של משתנה אחד, למשל בדוגמה שלנו נחזור אליה שוב יש לנו כפי שהערנו מקסימום באפס אפס זוהי פסגת ההר וכל שאר הנקודות נותנות ערכים יותר קטנים יכול להיות גם מקסימום מקומי, יכול להיות מקסימום שנקודה כמו האפס אפס הראשית כאן שבא הפונקציה תקבל ערך שהוא יותר גדול מכל הערכים בנקודות קרובות אבל הרחק מאוד בחרמון הגובה יהיה יותר גבוה מה לגבי מגמה עלייה או ירידה הפעם אנחנו זוכים לציין את הכיוון שבו אנחנו שואלים על המגמה הזאת אם אנחנו נמצאים במקסימום אנחנו יורדים ממנו לכל הכיוונים, אבל בדוגמה שנראה עכשיו דוגמה הנקראת אוכף פונקציה שהגרף שלה הוא X בריבוע פחות Y בריבוע ,תארו לכם שאתם נמצאים בראשית הצירים כאן אם אנחנו זזים בכיוון ה-X, אנחנו גדלים כאשר ה-X הוא אפס שאנחנו זזים שמאלה או ימינה אנחנו גדלים ואם אנחנו זזים בכיוון ה-Y, אנחנו יורדים, כן הכיוון של ה-Xהוא גב הסוס הכיוון הניצב ל-X, הוא הכיוון המאונך לגב הסוס שבו הרגליים שלנו תלויות, וזה האוכף המפורסם בואו שוב נסובב את הציור ונביט באוכף מכל מיני זוויות דבר מעניין נוסף שכדאי לציין לגבי האוכף הוא שאם אנחנו נמצאים על הישרים X שווה Y או X שווה מינוס Y אם בתחום שלנו אנחנו מצטמצמים לא לישר שהוא מקביל לציר X ולציר Y כפי שעשינו עד עכשיו אלא לישרים שהם אלכסוניים בזוית 45 מעלות לצירים במקרה הספציפי הזה מה יהיה Z ?Z יהיה אפס זה אומר שעל גרף הפונקציה אנחנו מוצאים שני ישרים שבהם Z שווה אפס אלה הם הישרים האדומים אני אסובב עכשיו את המצגת כדי לשכנע אותכם שאכן שני הישרים הללו הנמצאים במישוד Z שווה 0 שהמשוואות שלהם זה X שווה Y ו-X שווה מינוס Y אכן מונחים על הגרף אני מסובב את הגרף רואים את זה הכי יפה כאשר הישרים האלה באים ישר מולנו. והם אלה הישרים שבהם העלייה שנגרמת כתוצאה מהגידול ב-X והירידה שנגרמת כתוצאה מהגידול ב-Y מתקזזות. דבר אחר עליו ניתן ללמוד מהתבוננות בגרף של פונקציה הוא קווי גובה או כפי שהם נקראים לפעמים איזותרמות אם המפה מציינת טמפרטורה או איזוברות אם המפה מציינת לחץ המילה "איזו" משמעותה שווה, במפת טופוגרפית כידוע לכם לא ניתן בשני מימדים לצייר את כל מפת התבליט ועל כן מה שעושים במקום זה משרטטים קווים חומים עדינים שבהם גובה השטח מעל פני הים קבוע והקווים האלה נקראים קווי גובה. ואנחנו אמורים לדמיין לנו איזו שהיא תמונה תלת מימדית של הגרף בהסתמך על אותם קווים איך אנחנו נתאר את התהליך הזה מבחינה מתמטית? בואו נתבונן למשל בגרף של הפונקציה Z שווה H של XY שווה עשר פחות X בריבוע פחות Y בריבוע הוא תואר מקודם ככיפה. אנחנו יכולים עכשיו לקרוא לו גם כיפה פרבולואידית מפני שכל חתך שלו שמקביל לציר X וציר Y הוא פרבולה וננסה לשאול מתי הפונקציה הזאת שווה נגיד לשבע? כדי שהפונקציה הזאת תהיה שווה לשבע כן? כדי ש-Z יהיה שווה לשבע צריך להתקיים שעשר פחות X בריבוע פחות Y בריבוע שווה לשבע או אם תעבירו אגפים X בריבוע ועוד Y בריבוע שווה עשר פחות שבע שלוש וזוהי משוואה של מעגל ברדיוס שורש שלוש כלומר אוסף הנקודות במישור XY שבו הגובה של הפונקציה הזאת הוא שבע ובמקרה זה הוא מעגל, והוא יהווה קו גובה בגובה שבע אילו הינו משנים את המספר שבע לשש עשר פחות שש זה ארבע המעגל היה גדל. רדיוסו במקום שורש שלוש היה הופך שורש ארבע שתים. שוב אפשר לראות את קווי הגובה האלה אם אנחנו נחתוך את הגרף התלת מימדי של הפונקציה עם המישורים Z שווה שש, Z שווה שבע וכן הלאה, שהם מישורים מקבילים במרחב למישור XY. מקבילים לרצפה. במצגת שלפניכם חתכנו את אותה כיפה פרבולאידית ששירטטנו מקודם עם מישור מקביל לרצפה למישור XY. מישור מהסוג Z שווה שבע או Z שווה שש. ואני עכשיו הולך לשנות את המישור הזה ולהזיז אותו. וכפי שתראו, כאשר אני מעלה אותו המעגל שמתקבל כחיתוך של הכיפה עם המישור המעגל הזה משורטט פה בעצם בהקף של החלק השטוח הולך וקטן וככל שאני מוריד את המישור המעגל הזה הולך וגדל. ההיטל של המעגל הזה על מישור XY הוא אותו קו גובה שדיברנו עליו מקודם ושאת הביטוי האנליטי לו הצגנו כאן. אם דיברנו על כיפה ודיברנו על אוכף, עוד צורת טפוגרפית מוכרת היא שלוחה או גיא. בכיפה נהוג להגיד שממרכזה יורדים לכל ארבעת הכיוונים. במרכז האוכף אנחנו נמצאים ממנה עולים לשני כיוונים ויורדים לשני כיוונים אחרים כאשר אנחנו נעים על פני שלוחה של הר, אנחנו יורדים בשלושה כיוונים: ימינה שמאלה וכלפי מטה ועולים בכיוון אחד אחורה. ובגיא אנחנו עולים בשלושה כיוונים ויורדים בכיוון אחד, במורד הגיא. שוב ניתן לרואת את זה להמחיש את זה יפה מאוד בעזרת התוכנה שלנו אני לא אתן לכם את הביטוי האנליטי שבעזרתו שרטטתי את התמונה הזאת. אבל שוב יש לנו כאן שלוחה שעולה בכיוון בציר X וגיא ציר X החיובי וגיא שיורד בכיוון ציר X השלילי וכאשר אנחנו מסתובבים ומפנים את מבטנו מזוויות שונות אנחנו רואים ממש את התמונה שמצטיירת בדמיוננו אם אנחנו מטיילים בטבע. דרך אחרת לחשוב על התלות בשני המשתנים היא לייחס לאחד המשתנים תפקיד של פרמטר בואו נעשה את זה בדוגמה שמופיעה בשקף בדוגמא הזאת מופיעה הפונקציה של שני משתנים Z שווה Y בריבוע ואני מדגיש שזה פונקציה של שני משתנים אלא מה היא לא תלויה באקס ואכן מה שהגרף מראה לנו הוא שהגרף של הפרבולה Z שווה Y בריבוע לכל ערך של X ועל כן התמונה המצטיירת היא תמונת הפרבולה הזאת שמרחנו אותה בצורה מקבילה לעצמה, לאורך ציר X. אנחנו חושבים על X כעל פרמטר, אולי פרמטר של זמן ועל Y כעל המשתנה האמתי. ל-X אנחנו מייחסים תפקיד של פרמטר, ובמקרה הזה, הפונקציה לא תלויה בפרמטר. הפרמטר קיים, הוא נסתר, אבל הפונקציה לא תלויה בפרמטר, היא תלויה רק במשתנה Y. אבל בואו ננסה ונכניס תלות בפרמטר, על ידי שנסתכל בפונקציה Z שווה Y בריבוע, כפול סינוס של 5X. לפני שנעלה את המצגת, בואו וננסה לדמיין מה הפונקציה הזאת, מה התלות הזאת בפרמטר תעשה לנו. הסינוס יתנדנד כרגיל בין מינוס 1 ל-1. בשביל כל ערך קבוע של X, בשביל כל X אפס, הוא יהיה בין מינוס 1 ו-1. כאשר הסינוס יהיה 0, למשל אם X יהיה 0 הפונקציה הזאת תהיה זהותית 0, לא משנה מה Y. כאשר הסינוס יהיה חיובי, זאת תהיה פרבולה מחייכת, פרבולה פונה כלפי מעלה כפונקציה של Y, שתגיע לשיאה כאשר או לצורה הכי תלולה, כאשר סינוס יהיה 1 ואחר כך תלך ותדעך עד 0, וכאשר הסינוס יהפוך להיות שלילי היא תהפוך להיות פרבולה עצובה, פרבולה מופנית כלפי מטה. בואו נראה את זה שוב בגרף שלפנינו. בגרף שלפנינו, שינינו את הפונקציה המקורית והכפלנו אותה בסינוס 5X, ואכן התקבל מה שצפינו. כאשר ה-X הוא כזה שהסינוס הוא חיובי, מתקבלת פרבולה המופנית כלפי מעלה. כאשר ה-X הוא כזה שהסינוס הוא שלילי מתקבלת פרבולה המופנית כלפי מטה, וחוזר חלילה באופן מחזורי. בין לבין, ישנם קווים שבהם הפונקציה לגמרי אופקית כמו הקו הזה. אפשר לראות את זה על ידי שנריץ שוב קו אדום, שיופיע וירוץ על פני הגרף הדו-ממדי שלנו, ויבטא את ההשתנות ב-X. הגרף הזה הגרף האדום, הוא הגרף של הפונקציה בשביל X קבוע כפונקציה של Y, ואני מריץ את ה-X קדימה ואחורה. לקינוח נשאל את השאלה שוודאי עלתה בדעתכם. אם אנחנו עברנו מפונקציה של משתנה אחד לשני משתנים למה שלא נעבור מפונקציה של שני משתנים, לשלושה משתנים? מה אפשר לומר על הפונקציות Z התלויות ב-X, ב-Y, ובמשתנה שלישי שנקרא לו T? כאן צריך להפעיל טיפה את הדמיון. אם נרצה לתאר גרף של פונקציה כזאת, תחום ההגדרה שלה עכשיו יהיה קבוצה, קוביה במרחב התלת-ממדי ונצטרך ממד רביעי, שקשה מאוד לדמיין אותו בראשנו, על אחת כמה וכמה לשרטט אותו על לוח דו-ממדי כפי שעשינו מקודם כדי לתאר את הגרף. אבל ישנה אופציה אחרת, והיא טמונה בשם של המשתנה שבחרתי, והיא תתייחס למשתנה הזה כאל פרמטר זמן. אנחנו יכולים לחשוב על הגרף של פונקציה של שלושה משתנים כעל משפחה של גרפים התלויה בפרמטר הזמן של פונקציה של שני משתנים. לכל T קבוע, אם נחליט שהזמן הוא 1 אז מתוארת פה הפונקציה H של XY 1, הפונקציה שמתקבלת מהצבת T שווה 1 בנוסחה ל-H אם יש נוסחה כזאת וגרף של פונקציה כזאת אנחנו יודעים לצייר. רק כדי להישאר עם טעם טוב בפה, אני אציג לכם גרף של פונקציה של שלושה משתנים, שוב X ו-Y יתוארו כרגיל Z יתואר בעזרת הגובה והמשתנה השלישי יתואר בעזרת תלות בזמן. הנה הפונקציה. נסובב אותה טיפה. בכל רגע נתון יש לנו גרף שהוא משטח במרחב התלת-ממדי, והמשתנה השלישי, משתנה הזמן בואו נחזור על זה, משתנה הזמן מתואר על ידי השעון, אם אתם רוצים. עם התמונה היפה הזאת- ניפרד. תודה.
