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En los siguientes tres vídeos vamos a ver cómo calcular expresiones logarítmicas.
En este primer vídeo, vamos a ver como en algunos casos podemos hacer el cálculo
exacto sin utilizar calculadora, simplemente utilizando la propiedad que
hemos visto en el vídeo anterior. En el segundo vídeo, veremos como obtener
un valor aproximado de un logaritmo haciendo primero un cambio de base y
utilizando luego calculadora. Finalmente, en el tercer vídeo veremos
como obtener el valor exacto de un logaritmo, aplicando algunas propiedades
algebraicas de los logaritmos. Empezamos viendo ejemplos de cálculo de
expresiones logarítmicas sin utilizar calculadora.
Para ello, utilizaremos la siguiente propiedad, que hemos utilizado you en el
vídeo anterior, y con la que podemos transformar una expresión logarítmica en
una expresión exponencial. Recordemos que esta propiedad simplemente
nos dice que el logaritmo en base b de un cierto valor y, es igual a x, o sea, al
exponente que hay que elevar a la base b para obtener el valor y.
A continuación vamos a ver algunos ejemplos, en este primero se trata de
calcular el logaritmo en base treinta y dos de uno dividido por ocho sin utilizar
calculadora. Para ello, escribimos logaritmo base
treinta y dos de uno divido por ocho es igual a x, y queremos obtener el valor de
x. Utilizamos esta propiedad en este
sentido, y podemos escribir que x es el exponente que hay que elevar a treinta y
dos para obtener uno dividido por ocho. Ahora vemos que tenemos una ecuación
exponencial que podemos resolver you que podemos conseguir una igualdad con dos
potencias que tengan la misma base. Vemos que treinta y dos es dos elevado a
cinco, tanto podemos escribir 2 a cinco elevado a x es igual a 1 dividido por
ocho y vemos que esto se puede expresar como uno divido por dos a la tres por lo
tanto dos elevado a cinco x es igual a dos elevado a menos tres.
Si tenemos una igualdad con dos potencias con la misma base, los exponentes son
iguales, por lo tanto podemos escribir que cinco x es igual a menos tres, y de
aquí obtenemos que x es igual a menos tres dividido por cinco, que es el
resultado de este logaritmo. Vemos un segundo ejemplo, en éste se
trata de calcular el logaritmo en base uno dividido por cinco de ciento
veinticinco. Para ello, primero escribimos esta
expresión igualada a x, donde x es el valor que queremos obtener.
Utilizamos esta propiedad en este sentido, y por lo tanto podemos escribir
que la base de cinco elevado a x debe ser igual a ciento veinticinco, o sea, el
valor del logaritmo es el exponente que hay que elevar a la base para obtener
ciento veinticinco. De nuevo vemos que podemos obtener a
partir de aquí, una igualdad con dos potencias con la misma base, para ello
vemos que uno dividido por cinco se puede escribir como cinco elevado a menos uno y
ciento veinticinco se puede escribir como cinco elevado a tres.
Una potencia, una potencia se multiplican los exponentes por lo tanto cinco elevado
a menos x es igual a cinco elevado a tres.
Tenemos una igualdad con dos potencias con la misma base por lo tanto los
exponentes deben ser iguales y podemos escribir que menos x es igual a tres de
donde obtenemos que x es igual a menos tres, que es el resultado del logaritmo
que queríamos calcular. Vemos un tercer ejemplo, en este se trata
de calcular el logaritmo en base once de la raíz cúbica de ciento veintiuno, por
lo tanto escribimos la siguiente igualdad, donde x es el valor del
logaritmo que queremos obtener. Utilizamos de nuevo esta propiedad, y
podemos escribir que x es el exponente que hay que elevar a once para obtener el
valor raíz cúbica de ciento veintiuno. De nuevo queremos obtener una igualdad
con dos potencias que tengan la misma base, para ello vemos que ciento
veintiuno es once al cuadrado, por tanto podemos escribir raíz cúbica de once al
cuadrado, y esta expresión también se puede escribir como una potencia de once
con exponentes fraccionarios, simplemente escribiendo once elevado a dos tercios.
you tenemos la ecuación con dos potencias con la misma base, de nuevo los
exponentes deben ser iguales, por lo tanto you podemos escribir que la x es
igual a dos tercios que es el resultado del logaritmo que queríamos calcular.
Finalmente, veamos un cuarto y último ejemplo, en este queremos calcular el
logaritmo en base uno dividido por seis de la ráiz séptima de doscientos
dieciséis, por lo tanto igualamos a x y x será el valor del logaritmo que queremos
calcular. De nuevo, utilizamos la propiedad en este
sentido y escribimos que la base de uno dividido por seis elevado a x debe ser
igual a la raíz séptima de doscientos dieciséis.
Factorizando doscientos dieciséis vemos que este valor es igual a dos elevado a
tres por tres elevado a tres, que se puede escribir también como dos por tres
elevado a tres, o sea, seis elevado a tres.
Utilizaremos esta expresión para unificar las bases y obtener una ecuación
exponencial con dos potencias con la misma base, uno dividido por seis se
puede escribir como doscientos dieciséis lo sustituimos por seis elevado a tres,
una potencia y una potencia, se multiplican los exponentes, seis elevado
a menos x es igual a seis elevado a tres dividido por siete.
Ahora you tenemos una igualdad con dos potencias con la misma base, por lo tanto
podemos decir que los exponentes son iguales, menos x es igual a tres séptimos
y de aquí obtenemos que x es igual a menos tres séptimos, y este es el valor
que queríamos calcular. Muchas gracias y nos vemos en el
siguiente vídeo.
Jaume PujolProfesor titular
Mercè VillanuevaProfesora Titular
