Ну что же, вооружившись этим замечательным приобретением,
мы можем продолжить наш анализ этой таблицы и заодно доказательство
теоремы классификации, то есть доказательство того, что любое движение
без неподвижных точек обязательно является переносом.
Итак, пусть дано некоторое движение без неподвижных точек.
Назовем его g.
Пусть g (это имя нашего, ну, вроде, икса,
как я уже объяснял) — это какое-то
движение без неподвижных точек.
Тогда давайте
просто любую вообще точку на прямой возьмем и посмотрим, куда она перешла.
Ну, куда-то перешла.
Тогда A куда-то перешла в g(A).
Иногда, кстати, вот так пишут просто gA, скобки даже не ставят.
Но это может привести к некоторой путанице,
потому что g — это имя для движения, а A — имя для точки.
Ну, при определенной привычке можно так написать — gA.
Давайте привыкать к такому ущербному обозначению.
Если я точку ставлю после преобразования, значит, я имею в виду, что это новая
точка, которая является образом старой при команде g, куда «командир» заслал.
«Командир» по имени g куда-то заслал точку A.
Так вот, что здесь важно понимать?
Что раз не было никаких неподвижных точек, значит A и gA — это две разные точки.
Ну тогда мы возьмем между ними вот такую вот серединку.
Можно взять середину между ними и назвать точкой O.
Можно? Можно.
Ну, в принципе, это можно было бы сделать, даже если бы они одинаковые были, не суть.
У нас речь идет о том, что A куда-то переместилась.
Теперь я обозначаю за O середину между ними и образую новое движение.
Тогда образуем движение по имени h,
которое по определению будет состоять в том,
что мы в начале применили g, а потом применили So.
Понятно, да?
То есть вот мы g применили, при этом gA перешла в gA, а потом So.
Тогда h * A равно, конечно же, A.
Ну потому что это что такое?
Это по определению So * g(A).
То есть это результат применения So к g(A).
Но g(A) по построению равно gA,
поэтому это So от вот этого gA, оно...
Извините, а O — это середина между этими двумя точками,
значит точка gA при преобразовании So вернулась назад.
Прекрасно!
Значит, что мы получили?
Мы получили, что преобразование h как минимум одну неподвижную точку уже имеет.
Вот это новое наше построенное преобразование имеет неподвижную точку A.
А следовательно, по лемме о двух
гвоздях есть такая альтернатива: либо она имеет еще какую-то неподвижную точку
— ну тогда это просто Id, либо она ровно одну точку A имеет — тогда это Sa.
То есть только два варианта возможны для h.
Поэтому либо h = Id,
либо h = Sa.
Дальше пойдет опять арифметика движений,
то есть мы будем сейчас искусственным образом брать какие-то композиции.
Значит, итак, первый вариант.
Сейчас рассмотрим в последовательности много вариантов.
Первый вариант — это h = Id.
А h определяется как So * g.
Значит, So в композиции с g (но в обратном порядке: вначале g, потом So) равно Id.
Но тогда я выполняю теперь So
вслед за этими двумя, ну и вслед за Id.
То есть я домножаю на некоторое дополнительное движение So,
то есть я пишу: тогда So, которое выполнено после композиции So
и g, должно быть равно So, выполненному после Id.
Ну смотрите!
Привыкайте к этому: если какие-то два движения одинаковы, то выполнение
вслед за ними какого-то третьего движения не должно привести к разным движениям.
Эти движения тоже одинаковы, то есть все точки переводят в одни и те же.
Ну, одним и тем же образом меняют.
Но смотрите: вот это уже сразу So, правда?
Мы уже привыкли к тому, что если какой-то полковник ничего не менял,
то следующий за ним и будет результирующим приказом последовательного выполнения.
Id, потом So — это So.
Прекрасно, а вот это что?
Это я, пользуясь ассоциативностью, перепишу наоборот.
Итак, следовательно, So, которое мы здесь получили,
оно должно быть равно вот этому, но это равно также и наоборот выполненному,
потому что мы можем в силу ассоциативности этой операции поменять скобки,
не меняя порядок самих вот этих движений, поменять скобки.
Но поменяв скобки, здесь-то мы сразу имеем Id, не правда ли?
А So и потом еще раз So ничего не меняет.
Самообратное преобразование.
Поэтому внутри скобки слева стоит Id.
Ну и если мы вслед за g выполним Id, то есть ничего не выполним, мы получим g.
Поэтому в первом варианте неизменно,
обязательным образом будет, что g — это So.
Но, извините меня, So имеет неподвижную точку,
а g по условию не имеет неподвижных точек.
Значит, этот вариант невозможен.
Мы получили противоречие.
Здесь надо понимать, что произошло.
Произошло логическое противоречие.
Если бы первый вариант был выполнен, то тогда на самом деле само g было бы So,
но оно не может быть So, потому что у So неподвижные точки есть, а значит,
обязательно, в обязательном порядке выполнен только второй вариант.
Вот второй вариант тогда и расписываем теперь.
Значит, на самом деле все не так.
И вот эта наша h, на самом деле, h — это Sa.
Откуда опять получается некоторая арифметика в группе движений.
Получается, что h, которая по определению So * g,
должно быть равно Sa, но тогда опять, я же опять имею право слева на So домножить.
То есть вот есть два преобразования, одно из них — это просто отражение от A,
а другое — это композиция неизвестного нам и So.
Ну если они равны друг другу, то и прекрасно.
Значит, я могу еще одно применить,
и от этого равенство не перестанет быть равенством.
Значит, тогда вот такое преобразование равно So * Sa.
Так, ну, в общем-то, всё.
Потому что мы уже много раз это делали и уже два раза делали,
и видим, что после изменения скобок что у нас получается?
Что реально здесь-то стоит просто g.
So * (So * g).
So * So можно в скобки заключить, и потом g, здесь Id.
Друзья, я последний раз так внимательно это делаю, так подробно.
Потом я уже сразу буду писать: сократим слева на So и домножим здесь.
Вот, а справа у меня стоит композиция двух отражений, про которые мы уже все знаем.
Мы доказали в предыдущем сюжете,
что это перенос, причем на двойной отрезок AO.
Вот такой перенос и есть.
Ну, понятно, на тот же самый, который ведет из точки A в точку gA.
А вы что ожидали увидеть?
Поэтому это перенос на 2AO.
Он же перенос на один конкретный вектор из A в gA.
Всё!
Лемма о двух гвоздях и пункт C, добавочный к ней,
которые вместе составляют полную теорему классификации движений, доказана.
И мы теперь знаем, что любое движение прямой
обязательно является либо каким-то переносом, либо каким-то отражением.
В частности, мы знаем, что здесь,
здесь и здесь тоже будут жить какие-то переносы и отражения.
Какие именно?
А вот в следующем сюжете посмотрим.
