Ну что же, после того как у нас есть классификация, осталось составить таблицу композиций. В школе все учат таблицу умножения цифр, а в абстрактной алгебре есть операции в группах, и эти операции нужно научиться, выполнять. Ну вот мы исследуем детальные исследования группы движений. Кстати, в этом сюжете я как открою, наконец, секрет, что такое группа. В этом детальном изучении группы движений прямой нам не хватает того, чтобы всегда знать сразу же, что такое композиция каких-то двух движений, какому движению оно равно. Мы уже знаем, что какие движения не брать, всегда в композиции будет либо отражение, либо перенос. Ну и среди переносов будет тождественное Id — это перенос на нулевой вектор. Составляем и начинаем заполнять. Я бы хотел на этот раз начать с переносов по причинам, которые, надеюсь, вскроются в течение этого сюжета. Итак, вот перенос на v, а это — на w — какой-то другой вектор. Там это одно число, а это другое число, по сути. На прямой это числа просто. Вот здесь относительно какой-то точки O, а здесь относительно какой-то точки A, необязательно одинаковых, то есть, в принципе, если они одинаковые, то мы понимаем, какая будет композиция, если разные, тоже уже понимаем. Давайте сразу напишем, где все понятно. На самом деле, вот здесь абсолютно все понятно: если вы сдвинули прямую на какой-то вектор, а потом еще на какой-то вектор, то это перенос на суммарный вектор, не правда ли? Это всегда верно, если вы сдвинули в одну сторону, а потом — в другую, то это все равно перенос на суммарный вектор, как сумма двух чисел. Вы можете для себя открыть сейчас, что вообще сложение чисел — это выполнение параллельных переносов один за другим. Вот просто взять и так считать, что 0 — это когда вы прямую не меняете, например, 3 — это сдвиг вправо на три, а −2 — это сдвиг влево на 2. И тогда композиция переноса на 3 и переноса на −2 — это просто перенос на 1 вправо. И очень вот, я считаю, в школе вот этот вот материал, вы меня простите, какого-то совсем первого класса, вот если с буковками не вводить — что числа это переносы. И тогда ясно, что 3 + (−2) — это 1. Направо на 3, и потом налево на 2. Или направо на 1, потом налево на 4. Что это такое? Это −3, потому что 1 + (−4) = −3, точнее, 1 + (−4) = −3 именно по этой причине. Потому что если вы поехали на 1 направо, а потом на 4 налево — это все равно, что вы на три поехали налево. Поэтому я здесь ничтожесумняшеся пишу сумму векторов и все. И эта сумма векторов — это просто сумма вещественных чисел со знаком. И, в частности, если это перенос на два, а это — −2, то здесь Id, но отдельно эту ситуацию я не должен выделять, потому что Id — это частный вид переноса, и все нормально. Так же, как и здесь, мы уже знаем, что произойдет при композиции вначале относительно точки O, потом относительно точки A. Это приведет к двойному вектору OA, то есть к переносу на двойной вектор, и опять я мог бы, конечно, написать либо Id, если O = A, но это нужно делать, потому что если O = A, то вектор OA — это вектор O, то есть нулевой вектор, и удвоенный вектор тоже будет нулевым. То есть я экономлю бумагу или доску — спокойно пишу здесь T, все равно это всегда будет T, но в некоторых случаях будет вырождаться к Id. Вот! А вот здесь мы пока не знаем — это вот то, что мы должны сейчас сделать. Мы должны понять, а чему равна композиция вначале отражения, а потом переноса? Ну-ка, чему? Или, наоборот, если мы берем вначале какой-то там перенос, а потом какое-то там отражение, то это что? И вот именно этими двумя вопросами мы сейчас, прежде всего, и займемся, то есть мы замкнем таблицу композиций. Это абсолютно необходимый материал, чтобы понимать вот самую базовую математику движения, геометрию — это вот эта таблица. Давайте поймем. Итак, что мы делаем? Мы рисуем прямую, выделяем на ней нашу точку O — это я про вот этот первый вариант говорю. Ну и рисуем какой-нибудь вектор w, например, вот так он выглядит или в обратную сторону, но это совершенно не важно. И вот сейчас, смотрите, сейчас нас должна осенить некоторая догадка. Прежде всего, ясно, что не Id. А, кстати, а почему ясно, что это не Id? А знаете почему? Потому что если — опускаю все эти нижние всякие символы, — если это равно Id, ну и ладно, давайте Tv × So, то домножаем справа на So, то Tw × So, то есть вначале So, а потом вот это все, должно быть = Id, примененное вслед за So, то есть So Но это мы уже много раз с вами делали — это Tw, потому что вот эти два So сократятся после перемены скобок местами в силу вот этой ассоциативности. Все, значит, если бы вот это было равно Id, это бы означало, что T и So — это одно и то же, что перенос совпадает с отражением. Но это очевидно не так: у переноса нет неподвижных точек или вообще все. А в отражении всегда ровно одна неподвижная точка, поэтому этого быть не может, следственно, Id мы здесь не получим. Мы здесь получим либо настоящее отражение, либо настоящий перенос. Давайте поймем, это отражение или перенос. Посмотрим. Здесь нужна догадка. Нам надо угадать точку, которая при этой композиции останется на месте. И тем самым, конечно, я открываю завесу, что это будет именно S. Если бы, если мы сейчас найдем точку, которая остается на месте, переносом уже композиция быть не может. А по теореме классификаций у нас либо либо отражение, либо перенос — другого ничего нет. Либо Id, Id уже запретили, и вот сейчас давайте угадаем, давайте угадаем, что остается на месте при отражении на [НЕРАЗБОРЧИВО], а потом перемещении на вектор w. Ну я вот так строю вот здесь этот вектор w, и я хочу так расположить, чтобы его начало и конец оказались слева и справа от точки O на одном расстоянии. Могу сделать? Конечно, могу. Взял и перенес так. Ну так вот вот эта точка и останется на месте, не правда ли? Какая кстати? Вот эта, правая. Вот эта вот точка A, она останется на месте при этой композиции, потому что при преобразовании So A прыгнет вот сюда, а далее при преобразовании Tw съедет на w направо. Но она тогда, съехав, она же просто в A и приедет обратно. То есть мы нашли одну точку, которая осталась на месте. Все, больше ничего не надо делать — остальное мы уже как бы получили в предыдущих сюжетах. Теперь мы точно знаем, что это Sa, потому что если бы была еще одна точка, было бы Id, а это мы знаем, что не так — вот доказательство. Ну, одна точка есть, все, значит, это единственный вариант, из всех наших вариантов для теоремы классификации у нас остается только один — это Sa. Ну и аналогично здесь. Значит, здесь пишем так: S, вот как эту точку A назвать? Смотрите, как я ее назову. Это к точке прибавлю половину вектора w. То есть я взял точку и теперь прибавил не целый w, а его половинку. Вот такие вот обозначения, они, конечно, вольные, но вполне понятные. Я к точке могу прибавлять вектора. Друзья, есть такая аффинная геометрия. В аффинной геометрии к точкам прибавляются вектора, вектора складываются между собой, а точки вычитаются одна из другой и получается вектор. Ровно этими правилами я здесь воспользовался. Это совершенно естественно: вычесть из точки точку — это тот вектор, который их соединяет. А если к точке прибавить вектор, будет точка, потому что я отложил вектор от этой точки и посмотрел на его конец. Вот такая простая арифметика точек и векторов. Ну и, соответственно, я это так назвал это преобразование. Ну а здесь совершенно по аналогии, правда? Ведь ясно, что это тоже будет S, если мы сейчас возьмем и угадаем, мы возьмем и угадаем. Вот новая картинка, а теперь есть какой-нибудь, например, v вот такой или тот же самый, может, в ту же сторону как-то торчащий, может, на другую длину. И есть какая-то точка A. Теперь смотрите. Теперь нам нужно угадать, какая точка останется на месте, если вначале сдвинуть, а потом отразить. Опять ясно, какая — слева находящаяся на половине расстояния. Вот вы ее берете, сдвигаете на v, потом отражаете от A, и вот она возвращается на место. Поэтому нужно как бы получить точку A − v / 2, вот так. От A отложить налево, как бы налево, если v смотрел направо. А если v смотрел налево, то это будет направо. То есть в направлении минус вектора мы откладываем и получаем SA − v / 2. Внимание: если я когда-нибудь стану министром математики, то эту таблицу умножения школьники второго класса будут знать так же, как знают таблицу умножения обычных цифр — наизусть. Это должно входить в школьную программу. Иначе люди не будут получать представления о современной математике. Ну вот теперь разные деликатесы. Прежде всего, давайте обратим внимание на замечательный факт: если мы живет внутри одних только переносов и забываем про отражения, то с помощью композиций мы никогда не получим отражений, то есть множество всех переносов образует то, что мы называем подгруппой — это я опять чуть-чуть забегаю вперед, но прямо сейчас я все секреты сниму. То есть это вот как бы множество всех переносов, оно само замкнуто относительно операций композиции — можно брать любые переносы в любом количестве, композиции друг с другом всегда будут давать переносы и никогда не будут давать отражения. А вот отражения не замкнуты, потому что отражения на отражения дают переносы. Дальше видна такая интересная структура, что вот у нас есть как бы как бы вот отображение класса «перенос» и отображение класса «отражение», и всегда если из разных классов берутся, то получается отражение, а если из одного класса, то перенос. Это нам должно напомнить одну табличку из школы. Чет-нечет, не правда ли? Вот я пишу чет-нечет и складываю. Вот плюс, не умножит, а плюс. И что я получаю? Вот чет + чет — всегда чет, но нечет + нечет — тоже всегда чет. А здесь и здесь — нечет: чет + нечет, или нечет + чет. Ну это для плюсов не важно, в каком порядке делать. Так же здесь: S × T — всегда S в любом порядке. T × T и S × S — всегда T. Это не случайно, это глубокий факт из теории групп. И к подробному анализу этого факта мы с вами вернемся после того, как проработам некоторую чисто теоретико-групповую как бы язык, символику, логику рассуждений в теории групп. Это очень важный факт, он связан с таким понятием, как факторизация в группах, то есть нам уже здесь чувствуется, что на самом деле очень нужно познакомиться с теорией групп поближе. Ну и давайте я сейчас, наконец, определю понятие группы, центральную для всего курса и, если честно, вообще для всей сегодняшней математики.
