Итак, что такое группа?
Группа.
Группы разными буквами называются.
Давайте вот таким большим G.
Группа G — это множество каких-то объектов, каких угодно.
Вот здесь степень абстракции нужна следующая: когда вы переходили к
названию буквами движений или иксами чисел, это как бы первая степень
абстракции — какое-то число можно назвать x и потом с ним работать.
Следующая степень абстракции — это рассмотрение сразу всех чисел и сразу всех
преобразований, сразу всех каких-то объектов.
И вот если мы не фокусируем наше внимание на том, что это за объекты,
а только на том, что над ними можно производить какие-то действия,
то мы сразу приходим к понятию группы.
Итак, группа — это множество объектов, в котором
есть спаривания:
∀ (знаете такой значок для любого?
∀) любым двум элементам этого множества,
то есть любым двум объектам ставится
в соответствие новый объект,
который вот так вот обозначается, из группы G.
То есть из того же самого множества.
Для любых двух объектов определен третий,
который называется их спариванием, или их произведением,
или их композицией, операцией над ними — очень много имен для одного и того же.
Просто факт тот, что мы любым двум сопоставляем какой-то третий.
Причем заметьте, если я поменяю, то это будет какой-то, вообще говоря,
возможно, не тот.
То есть я от того, что я поменял их местами, вот g2 на g1,
может быть каким-то другим.
Я даже напишу: «Необязательно,
чтобы g1 ○ g2 совпал с g2 ○ g1».
Необязательно.
Это может иногда происходить.
Даже в любой группе это так или иначе иногда происходит,
но этого не требуется в определении, и в некоторых случаях это будет,
как у нас здесь в этой табличке видно, что в одном и в другом порядке даже
одни и те же два движения могут давать разные результаты.
Вот, но этого, конечно, мало.
Аксиомы.
Вот я просто рассмотреть множество, в котором есть спаривания,
и ничего невозможно доказать, ничего разумного доказать нельзя.
Что-то общее и какое-то общее поведение объектов в этом множестве наступает,
если наложить некоторые аксиомы.
Ну вот сразу пробегая мимо всяких понятий типа моноид,
полугруппа, не буду вообще этого касаться, сразу иду к группе.
Группа — это довольно много аксиом.
Полный список здесь.
Значит, первое: существует нейтральный
элемент e, такой,
что как его ни компонуй,
все равно получишь тот, с кем компонуешь.
То есть e ○ g — это g ○ e, и всегда равно g для любого элемента g,
какой бы вы ни рассмотрели, для любого g из g.
Это первое.
Второе: для любого
элемента g из нашей
группы существует обратный,
или нейтрализующий,
двоеточие:
такой h,
что h ○ g = g ○ h = e.
То есть здесь, опять же, здесь и здесь выполнена перестановочность,
но для произвольных не выполнена.
Но вот для этого нейтрального должна быть выполнена перестановочность.
То есть, есть элемент, которым можно с любой стороны нейтрализовать наш.
Он называется.
Как он называется?
Он называется g в −1-й.
И заметим, что для g в −1-й нейтрализующим является g просто строго по тому же самому
определению.
Если h — это g в −1-й, то ясно, что g его нейтрализует,
с любой стороны домножая, дает e.
То есть это по парам.
Элементы группы сразу разбиваются по парам: элемент и нейтрализующий его.
Иногда бывает, что элемент сам себя нейтрализует и не только для e.
Для e — это по определению верно, но бывает и не только для e.
Вот все отражения себя нейтрализуют в группе движений.
Ну и последнее — это, собственно, пресловутая ассоциативность,
без которой ничего нельзя сделать.
Точнее, можно, но это уже отдельная наука, очень сложная.
Неассоциативные структуры.
Ой, кошмар!
Не дай Бог!
Короче, для любых g1, g2, g3 будет g1-композиция с g2,
взятое на g3, совпадать с g1,
которую спарили с результатом спаривания g2 и g3.
То есть как бы мы спариваем все три в одном и том же порядке,
но в одном случае мы как бы два правых в начале спарили и тот элемент,
который здесь получился, спарили с g1 вот в этом порядке, а здесь мы в начале два
левых спарили, а потом как бы к ним «присобачили» справа g3.
И вот требование заключается в том, что это всегда для любых g1, g2, g3.
Вот и всё.
Вот как бы весь список аксиом.
Есть еще дополнительно группа, она называется...
Я сейчас проговорю.
Я сейчас не буду включать, чтобы не отвлекать от важного.
Группа называется коммутативной, или абелевой,
если вот это вот свойство выполняется всегда, то есть если оно похоже на числа.
Вот обычные числа при сложении или умножении вот так себя ведут,
что всегда в любом порядке одинаково будет, но наши, вот эти вот,
сразу мы «с места в карьер», наши движения так себя не ведут.
Поэтому далеко не все группы коммутативны, и интересные группы в общем, в основном,
не коммутативны, но хотя тут кому как нравится.
Групп много хороших и разных, и у нас отдельная целая неделя будет посвящена,
может, и больше недели, будет посвящена просто чисто теоретико-групповому ликбезу.
На этом, собственно говоря, вторую неделю можно закончить.
Я предлагаю всем слушателям самостоятельно понять,
что множество всех движений прямой образует группу.
Композиция как выглядит, мы уже видели, поэтому вам нужно только понять,
что такое нейтральный.
Ну это очевидно наверное уже всем.
И как выглядит обратный.
Это тоже почти понятно.
То есть это такое как бы упражнение на понимание материала этой недели.
Спасибо!
До встречи в следующей неделе.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
