[БЕЗ_ЗВУКА] Итак, классификация движений прямой. [ЗВУК] [ЗВУК] И тут я термин применю: прямую в принципе можно отождествить со всеми вещественными числами, если ввести какую-то систему координат, поэтому назову ее, как вещественные числа называются — буковкой R. Можно так даже назвать. Или другое название — малая теорема Шаля. Шаль классифицировал движение плоскости, и до этого мы еще дойдем. Мы обязательно с вами все движения плоскости классифицируем. А пока мы начнем с такого полигона, упражнения. Упражнение в классификации — это классификация движений прямой и потом окружности. А уже потом мы перейдем к плоскости и даже сфере. Ну и поговорим про какие-то более сложные объекты немножко. А сейчас в фокусе нашего внимания следующая теорема, которая нужна для классификации. Теорема такая: она называется «Лемма о двух гвоздях». Похожая лемма для движений плоскости называется леммой о трех гвоздях. Лемма о двух гвоздях. [ЗВУК] Она по сути утверждает следующее, что если при движении прямой две различные точки остаются на месте, то вся прямая обязана остаться на месте, то есть только Id (тождественное преобразование) сохраняет какие-то две точки на месте, ну и тем самым все остальные. И вообще классификация почти всегда проходит по одной и той же логической ветке рассуждений. Берется некоторое... Изучается, сколько неподвижных точек у движения, вот такая характеристика берется — количество неподвижных точек. Сколько их? Их может вообще не быть, значит их ноль. Может быть ровно одна? Хорошо, изучим этот вариант. Может быть ровно две? А может, и не может быть ровно две. Может быть, из того, что ровно две, сразу уже следует, что их какое-то такое большое множество. Ну и вот в соответствии с тем, какие возможны варианты, мы и проводим классификацию. И для прямой она будет очень просто выглядеть. Мы докажем, что если у движения есть две различные неподвижные точки, то на самом деле это движение является Id. Итак, лемма о двух гвоздях. Две части у нее. а: если движение... Вот тут мне сейчас придется придумать абстрактное имя для произвольного движения. Это та же стадия математики, как вот когда мы в пятом классе научились символу x, в четвертом или пятом классе. Мы говорили: мы хотим найти какое-то число, но мы не знаем. Давайте неизвестное нам число обозначим за x, если их два неизвестных — за x и y тогда. То есть какие-то два разных числа, мы их еще не знаем, мы на них будем выписывать уравнения и решать. И это очень важная ступень, которую, к сожалению, уже не все способны пройти, а те, кто как-то с горем пополам сдал в школе, часто ее потом забывают. Есть даже такой, простите за стёб. Бывают «содержательные» экономисты и экономисты, которые понимают формулы. Вот «содержательные» — это такое уважительный термин; человек, который знает какую-то область. Но на самом деле есть такой принцип, это эвфемизм, вот когда говорят про человека, что он содержательный экономист, это означает, что ему нельзя написать ни одну формулу с иксом, он сразу вырубается и ничего не понимает. Это взрослые люди, профессора, заслуженные ученые. К сожалению, так оно и есть, но ничего в этом страшного нет, зато он хорошо разбирается в каких-то отделах промышленности, в международных отношениях. То есть это не оскорбление. Я просто констатирую тот факт, что через программу пятого класса, где вводятся x и y уже далеко не все проходят даже из тех, кто потом становится нормальными выдающимися учеными. Мы с вами будем считать, что такое x и y, все слушатели когда-то пытались понять и поняли. Так вот, теперь мне нужно перешагнуть через этот психологический рубеж во множестве движений. Мне нужно назвать каким-то символом произвольное движение. Ну я назову буковкой g. Буду называть g, h (вместо x, y и так далее, будут g, h — вот такие символы). Так вот, если какое-то движение g, неизвестное нам, неизвестное движение оставляет на месте две различные точки, то есть какая-то там точка A и точка B разные, g(A) = A и g(B) = B, причем именно что A ≠ B, это не одна и та же точка, то g = Id, то есть имя этому движению Id, и оно ничего не меняет. Пункт (b), который я хочу сразу тоже добавить сюда, такой: если (ну как бы альтернатива) если есть минимум две, если какие-то две различные точки остаются на месте, то так. А какой другой может быть вариант? Либо всего лишь одна, либо вообще ни одной. И все, это просто логически, больше вариантов нет. Чем хороша классификация? Она может быть подчинена такому логическому ходу рассуждений: либо их там две и более, ну тогда вот, пожалуйста, либо она одна, ну либо их совсем нет. Так вот в лемме о двух гвоздях будет говориться о случае, когда точка неподвижная всего одна. Если ровно одна, например, это точка O, то тогда обязательно g = So. То есть утверждение, что абстрактное движение, сохраняющее ровно одну точку на месте, обязательно является отражением относительно этой точки. Это лемма о двух гвоздях. Но на самом деле полная теорема классификации отличается от леммы о двух гвоздях только одним пунктом, поэтому я сразу анонсирую теорему классификации. Это лемма о двух гвоздях плюс последний пункт, который говорит о том, что если нет неподвижных точек вовсе, нет точек, остающихся на месте, то g = T на некоторый вектор, где этот вектор не равен нулю. Ну если бы ноль, тогда это T было бы равно Id, это было бы неинтересно. Так вот, если нет неподвижных точек, то движение прямой является сдвигом на некоторый вектор. Вот и все, и других вариантов нет. Вот это полная теорема классификации. Кроме теоремы классификации у нас еще будет таблица композиций, которая будет выглядеть так: что может получиться, если применить в начале S, а потом еще какую-то S, вот это одна точка, а это какая-то другая. То есть что будет, если применить последовательно два отражения. Ну мы на самом деле уже знаем наперед, забегая, мы ответ знаем. Получится T, получится перенос. А если остальные писать все возможности: T на вектор v, а здесь на какой-то другой вектор w. Вот интересно заполнить все четыре клетки. Посмотрите внимательно, вот эта и эта клетка не обязательно дают одно и то же, потому что композиция переноса и отражения в одном порядке (перенос, а потом отражение), может отличаться от композиции в обратном, когда вначале отражение, а потом перенос. Мы будем выполнять композицию неправильным образом — не так, как хочется отсюда сюда, а вначале это, а потом это. То есть, например, здесь будет стоять результат выполнения вначале отражения относительно точки A, а потом отражения относительно точки B. А здесь будет результат выполнения вначале переноса на v, а потом отражение относительно некоторой точки B. А здесь, наоборот, будет стоять результат выполнения вначале отражения относительно A, а потом куда-то там переноса. Ну а здесь — композиция двух переносов. То есть после того, как будет доказано вот это, мы можем еще задаться вопросом о композиции — таблица композиций. Но на самом деле хитрость в том, что эту теорему удобно доказывать, одновременно выстраивая вот этот квадратик. То есть доказательство этой теоремы удобно проводить через постепенное выстраивание таблицы композиций движений. И всегда должны получаться тоже какие-то либо отражения либо переносы, ну вот это надо будет как раз тоже доказывать в рамках этой теоремы. То есть это единая такая программа для нашей прямой. Вот она вся выписана. Вот сейчас мы этим путем целиком и пройдем. То есть мы сейчас вначале докажем лемму о двух гвоздях и потом составим полную вот эту композицию наших движений. Ну давайте посмотрим на доказательство леммы о двух гвоздях в пункте (a).
