Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Teorema del valor promedio para aproximación numérica de integrales
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Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
264 notes
À partir de la leçon
Teorema del valor promedio e integrales
En este módulo nos enfocamos en la operación inversa de la derivada para calcular desplazamiento a partir de una función de velocidad; a dicha operación se le conoce como la integral definida y justificaremos su uso a partir de teorema del valor promedio. También usaremos la integral indefinida para obtener la función de posición a partir de una función de velocidad y una condición para la posición.
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Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Hola de nuevo.
Esta semana el tema ha sido el teorema del valor promedio de la velocidad.
Lo cual nos ha ayudado a calcular el
desplazamiento de una partícula a partir de un...
una función de velocidad versus tiempo.
En esta ocasión vamos a hacer lo mismo, sólo que ahora vamos
a utilizar dos técnicas, una es por medio de las integrales ¿sí?
las integrales que es un tema en el
cálculo, precisamente, en el cálculo integral; y vamos
a hacer también una aproximación numérica de este
desplazamiento que tiene ¿por qué tendríamos que hacer esto?
Bueno, pues por que no necesariamente para
todas las funciones que podríamos calcular integrales, pues,
hay una antiderivada que podamos utilizar, así que
hay la necesidad también de utilizar aproximación numérica.
Vamos a hacer entonces los dos ejercicios,
uno con integral y uno con aproximación numérica.
Vamos a calcular el desplazamiento de una partícula
a partir de su función de velocidad, pero
en esta ocasión la vamos a calcular en
forma exacta puesto que vamos a utilizar una integral.
Recuerden que cuando tenemos una función de velocidad dada
de esta forma, como la que nos muestra, que
es dos por el coseno de t más uno,
todo dado en metros por segundos, lo que tenemos que
hacer es calcular el desplazamiento de esta
manera: tenemos que realizar la integral de la
función de velocidad con respecto al tiempo,
desde algún instante inicial hasta algún instante final.
En esta situación en específico nuestra función de velocidad es dos por el coseno
de t más uno, y a eso diferencial de tiempo.
Y esto va a estar integrado desde cero hasta siete segundos.
Entonces recuerden que para calcular...
recuerden que, para determinar la integral de una
función, lo que tenemos que buscar es la
antiderivada, es decir ¿de qué función es derivada
esta función y esta otra que se están sumando?
Entonces, you sabemos que la derivada
del seno es coseno, por lo tanto, la antiderivada
del coseno pues es la función seno, así que
aquí la antiderivada sería: dos veces por el seno
de t más la antiderivada de uno que es t.
Si no estamos muy seguros de si calculamos
bien la antiderivada, lo que tenemos que hacer es
derivar de nuevo nuestro resultado y asegurar que
nos da la función que tuvimos que integrar inicialmente.
Bueno, pero ahora esto, como es una integral definida de
cero hasta siete, tenemos que ponerle los límites de integración.
Y entonces esos límites de integración, recuerden que, son para
evaluar esta función primero en el límite superior que en este
caso es siete segundos, y restarle lo que nos de
esa función evaluada en el límite inferior, que es cero segundos.
Así que tenemos dos por
el seno de siete más siete (noten que esto es la función evaluada en siete), menos la
función evaluada en cero dos seno de cero más cero.
Pero el seno de cero más cero nos va a dar en total cero.
Así que nos queda únicamente dos por el seno de siete más siete.
Así que, si ponemos estos,
resultados en una calculadora, por supuesto,
la calculadora, recuerden, que tiene que estar
en radianes vamos a obtener la cantidad de ocho punto treinta y un metros.
Por supuesto, aquí estamos redondeando a un número
de cifras significativas apropiado puesto que las cantidades
constantes que están en nuestra función original, esa
es la precisión con la que están medidas.
Vimos que en este caso fue muy sencillo calcular la integral porque fue
una función que estaba dada por dos, por coseno de t más uno.
Son antiderivadas que conocemos prácticamente
sin ver una tabla de fórmulas.
Pero, resulta que no todas las funciones tienen una expresión antiderivada
como para poderla evaluar y poder calcular el desplazamiento directamente por medio
de una integral definida.
En ocasiones vamos a toparnos con algunas funciones
en las que sí va a ser necesario aplicar
la aproximación numérica, y es más, en la
práctica se presentan, en la mayoría de los casos.
Por lo cual sería recomendable continuar
este ejercicio utilizando la aproximación numérica.
Antes que nada, debo aclarar que esta gráfica
nada más la vamos a utilizar para ilustrar
el método que tenemos que llevar a cabo.
Tomen en cuenta, y cualquiera que you haya hecho la gráfica de la función
que utilizamos para este ejercicio, pues, notará
que ésta no es la función, pero está...
en la forma en la que está nos permite
ilustrar un poquito más qué es lo que vamos a
hacer para calcular la velocidad, perdón, el desplazamiento de
la partícula utilizando la aproximación numérica y, bueno, tomando ventaja
de que nos dan una función descrita en forma compacta;
en este caso es dos por coseno de t más uno.
Bien, voy a basar esta explicación en un ejercicio que you hicimos, que fue
el de calcular de forma aproximada el área que hay debajo de una curva ¿sí?
utilizando el teorema del valor promedio de la
velocidad y ¿por qué el área bajo la curva?
Bueno, pues porque para este punto del curso you tuvieron que haber
entendido que, cuando calculamos una integral definida, lo que
hacemos es calcular el área que hay debajo de la
curva, o bien, entre la curva y entre el
eje del tiempo y lo hace en forma exacta ¿okay?
Bueno, nosotros vamos a hacer una aproximación a esto.
Para el ejercicio que vamos a resolver
no es necesario tampoco tanto, como esta gráfica
no es la de la función que vamos
a analizar tampoco es necesario dibujar la función,
si sabemos que esa función es contínua y
no va a tener algunas partes raras en ningún
instante de tiempo, que es lo que va a
pasar con la mayoría de las funciones de movimiento.
Bien ¿qué necesitamos hacer?
Bueno, ahora you no vamos a dividir el
segmento del que tenemos que calcular el área.
you no lo vamos a dividir en
partes diferentes, en el ejercicio anterior estuvimos separando
esto en pedazos que unos medían más de un segundo, otros que medían un segundo.
Bueno, para facilitar nuestro cálculo y hacerlo más eficiente, en esta
ocasión vamos a segmentar todo el tiempo del que queremos calcular
en forma aproximada el desplazamiento en un número de segmentos pero
de tal forma que todos los segmentos tengan el mismo tamaño.
Entonces, vamos a llamar a estos segmentos del tamaño
delta t.
Así que voy a escribir aquí, arriba en esta
celda superior, lo que va a tener nuestro delta t.
Ahora una pregunta es ¿en cuántos segmentos debería dividir mi
gráfica para poder hacer un cálculo lo más exacto posible?
Bueno, pues la respuesta muchos de ustedes la saben, la respuesta es que debemos
calcular esto en forma más aproximada si
aumentamos cada vez más el número de segmentos.
Bueno, para ilustrar
en este ejercicio, únicamente vamos a dividir en
seis segmentos, y para calcular cuánto miden seis
segmentos cuánto mide cada uno de esos seis
segmentos, pues lo que tenemos que hacer, obvio,
es dividir todo el intervalo de tiempo en
el que queremos calcular el desplazamiento, que el
enunciado del problema dice que lo hagamos para el intervalo que va de cero a siete.
Entonces, esos siete segundos los tenemos que dividir
entre los ocho segmentos, vamos a
utilizar ocho segmentos para resolver este problema.
Entonces, dividimos, siete segundos entre ocho segmentos y esto nos dice que cada
segmento va a tener un ancho de cero punto ochocientos setenta y cinco segundos.
Okay, vamos a dejar esta cantidad aquí por
un momento y vamos a continuar para generar el
resto de las cantidades que necesitamos para hacer nuestro cálculo.
Bueno, imaginemos que estos son los segmentos, aquí, por
ejemplo, para esta ilustración que you dijimos que no tiene
que ver mucho con la gráfica de lo que vamos
a hacer; noten que los segmentos son de dos segundos.
Ahora, noten que cada uno de estos
segmentos tiene forma de un trapecio rectangular, por
lo cual podemos utilizar para el cálculo de
esta área, el teorema de valor promedio de
la velocidad.
Pero ¿qué valores necesitamos para el valor...
para el teorema del valor promedio de la velocidad?
Bueno, necesitamos el valor de la velocidad al inicio del
segmento, y el valor de la velocidad al final del segmento.
Okay, entonces, como vamos a necesitar no nada
más el valor de la velocidad sino el tiempo
al que corresponde cada inicio y final, pues
vamos entonces a generar una columna que tenga los
valores del tiempo que necesitamos, vamos a poner aquí,
en una columna, como el título "el tiempo en segundos".
Y ese tiempo en segundos tiene como valor inicial el cero.
Bueno, no tenemos que estar sumando, a partir del cero, a
mano, hasta llegar a nuestro valor final que va a ser
de siete segundos, lo que podemos hacer es, a partir de
esta segunda celda (le ponemos un signo igual para dar a entender
que va a ser un cálculo), lo que podemos pedirle es que calcule, de la celda de
arriba, vamos a pedirle que sume el valor de
nuestro delta; sólo que, como vamos a copiar esa
celda a unos cuántos valores más hacia abajo,
lo que debemos hacer para que consistentemente esté calculando
lo que hay (sumando, perdón), lo que hay en
la celda b uno, pues debemos poner los signos
de dinero antes del b y antes del uno, de esta manera, si copiamos esta
recursión, que lo que hace es sumar a la celda anterior punto ochocientos setenta
y cinco, pues va a seguir sumando punto ochocientos setenta y cinco y no lo que
hay debajo de esa celda, entonces, nada más es cuestión de agarrar esta esquinita.
Por supuesto aquí me estoy pasando, debe llegar nada más hasta el siete,
entonces lo que podemos hacer es
simplemente borrar esas celdas que no necesitamos.
Así que, aquí you tenemos la columna en la que
tenemos una tabla con los valores del tiempo que necesitamos.
Miren, si vemos esto en una gráfica, estos valores serían, bueno, para el caso de
la función que estamos analizando son las orillas, por llamarlos de alguna manera,
las orillas de los intervalos de tiempo.
Claro, insisto, esto es otra función, no la que estamos analizando, esta nada
más nos está sirviendo como apoyo visual para ver qué estamos haciendo aquí.
Pero, las orillas en nuestra función, pues, como cada segmento mide punto
ochocientos setenta y cinco pues van en este orden, primero el cero,
el primer segmento termina en punto ochocientos setenta y cinco, el segundo
segmento termina en uno punto setenta y cinco y así sucesivamente hasta llegar
al siete.
Okay, entonces you tenemos nuestros valores
del tiempo, ahora, vamos a escribir
una columna en la que vamos a poner los valores de la velocidad
que depende del tiempo, por supuesto esta velocidad you sabemos que está en
metros por segundo por el enunciado del problema que nos acaban de decir.
Y bueno, lo que tenemos que hacer, noten,
que para cada uno de estos valores del tiempo
(vamos a la gráfica), hay un valor asignado de velocidad.
Y bueno, esto de calcular el valor de una función en un determinado instante de
tiempo lo hemos estado haciendo desde que empezó el bloque de movimiento.
Así que lo que tenemos que poner en estas celdas es el valor de la...
perdón, la función de la velocidad que dependa de cada uno de estos instantes
de tiempo, entonces, no tenemos que calcular eso
con una calculadora, Excel, lo va a hacer automáticamente.
Vamos entonces a escribir la función de velocidad
que, recuerden poner un signo de igual, dando
a entender que Excel no va a editar texto, sino que va a ser un cálculo.
Vamos a pedirle entonces que calcule la función.
La funcion es dos veces (más bien utilizar el signo de
asterisco para multiplicar dos veces el coseno) aquí la función coseno,
simplemente cos.
del argumento, nuestro argumento es uno por el tiempo.
Okay, el uno no va a ser nada, no es necesario ponerlo.
Pero el tiempo, recuerden que aquí a Excel no le
pueden decir t o x, o h, o variables así.
Tienen que decirle, para las variables tienen que
decirle el número o la identificacion de las celdas.
Por ejemplo el tiempo del que estamos hablando aqui esta en la
celda A4; miren es este tiempo.
Y que podemos, you sea escribir A4, o podemos
simplemente correr el cursor para que señale esa celda.
Ustedes van a ver cómo automáticamente en el prompt aparece la celda A4.
Entonces lo que queremos que se calcule ahí es:
dos veces el coseno del tiempo; pero nuestro tiempo siempre
va a ser la celda de la izquierda, que
en este caso es A4; cerramos el paréntesis ahí y
le tenemos que sumar un uno. Alli esta miren.
Si ustedes ven aquí en el menú en la parte, en la
barra de edición que está aquí arriba, van a ver la función escrita
como dos por el coseno de A4, en donde A4 es la celda
del tiempo; y más uno porque así es como está nuestra función original.
Y claro, no tenemos que teclear eso en cada una
de las celdas, basta con que agarremos esta esquinita y arrastremos
hasta el último valor que necesitamos.
Ojo, no es necesario redondear aquí estos valores,
y por comododad le voy a dejar como están.
Una nota también importante, es sobre el uso de radianes y grados hexagesimales.
Hemos estado insistiendo mucho en que su calculadora, durante
este bloque de nuestro curso, debe estar siempre en radianes.
Con Excel no tenemos que preocuparnos por eso, porque Excel está
por default en radianes.
Sí hay manera de cambiarlo a grados, no lo necesitamos en
este momento, pero nos está haciendo el cálculo you con los radianes,
por lo tanto no tenemos que hacer absolutamente ningún cambio para
hacer estos cálculos, por lo tanto estos cálculos deben ser los correctos.
Muy bien, entonces, you tenemos valores de posición, perdón, del instante
de tiempo y la velocidad que le corresponde para ese instante
de tiempo, que equivale a estos puntitos de aquí.
Este es el instante y este es el valor de la velocidad en ese instante.
Este es un instante y éste es el valor
de la velocidad en ese instante y así sucesivamente.
Bien, ahora vamos a regresar a nuestra gráfica de ejemplo.
Si esto fuera la gráfica, lo que tendríamos que hacer para
cada segmento sería para calcular este segmento de área es calcular el
valor promedio de la velocidad, que no es otra cosa como la
velocidad con la que empieza y con la que termina ese segmento.
Promediarlo y multiplicarlo por el intervalo
de tiempo, que para nosotros nuestro
intervalo de tiempo es de cero punto ochocientos setenta y cinco segundos.
Y lo que nos de se lo vamos a tener que sumar al siguiente segmento.
En el siguiente segmento ¿qué tenemos? En el siguiente segmento
pues también, vamos a calcular una velocidad promedio, que es el
valor con el que empieza la velocidad más el valor con el
que termina la velocidad en ese segmento entre dos y lo que
nos de (ojo de nuevo) lo vamos a multiplicar por el tiempo.
Pero noten cómo eso lo vamos a tener que hacer muchas veces, promedio,
velocidad promedio por intervalo de tiempo, más velocidad promedio por
intervalo de tiempo, más velocidad promedio por intervalo de tiempo.
Bueno, muchas veces, para nosotros va a ser ocho veces en total.
Bueno, pues la manera de simplificar algunas de las operaciones, por
lo menos el número de segmentos se lo van a ahorrar; el
número de segmentos menos uno se lo van a ahorrar en operaciones
de multiplicación porque noten que en todos los casos tenemos que multiplicar
por el intervalo de tiempo, que you sabemos que
va a medir cero punto ochocientos setenta y cinco.
Así que cero punto ochocientos setenta y cinco va a ser
un factor común, esa fue la intención de hacer que ese
delta t sea igual a un mismo valor siempre, que sea
igual para todos los posibles intervalos de tiempo que vamos a utilizar.
Entonces, eso nos permite, en lugar de estar multiplicando,
nos permite que en lugar de multiplicar en cada
caso la velocidad promedio, la velocidad promedio por el intervalo
de tiempo, simplemente sumemos todas las velocidades promedio y
al final hagamos la multiplicación por el intervalo de tiempo.
Okay, entonces, eso vamos a hacer, en lugar de multiplicar en cada caso la
velocidad promedio por el tiempo, mejor vamos a calcular la velocidad promedio.
Voy a abrir aquí una celda nueva que diga "velocidad promedio".
Y entonces vamos a empezar a calcular la
velocidad promedio para cada uno de los segmentos.
Para el primer segmento tomen en cuenta que ese primer
segmento empieza desde el primer instante de tiempo, es decir,
la velocidad al inicio es tres, y al final es
dos punto veintiocho, para la función que nosotros estamos utilizando.
Entonces tengo que promediar estos dos valores.
Y eso lo voy a hacer en esta celda, por eso
voy a dejar en blanco la primera por que la primera...
en la primera no tengo que promediar nada
you que nada más tengo el inicio del segmento.
Así que vamos a promediar este valor con este
valor y lo vamos a escribir en esta celda.
El promedio lo pueden hacer...
pues pueden simplemente hacer la suma de un valor más el otro y dividir
el resultado entre dos o pueden utilizar la
función "promedio" que hay you por default en el
Excel, si su versión en Excel es en
inglés pues podrían tener más bien la función "average".
Okay, para evitar confusión con el uso de funciones, si es
que alguien tiene un, Excel en un idioma u otro...bueno vamos
a utilizar simplemente la suma y la división entre dos y
eso va a ser sumar la celda, en este caso es
B5 porque es la velocidad final para ese primer segmento, más lo que
está en la celda B4, que es la velocidad inicial para ese segmento.
Bueno, pues ahí está, la suma de esas dos velocidades las tenemos que dividir entre
dos, olviden los paréntesis, para poder saber cuál
es la velocidad promedio para ese segmento ¿si?
que aquí está, miren, la velocidad promedio para el primer
segmento en la función que nosotros estamos
analizando es dos punto sesenta y cuatro.
No es necesario, todavía, no es necesario redondear.
Y bien, hay que hacer este cálculo para
todos los demás segmentos, que para nosotros son ocho.
Así que en lugar de estar escribiendo en cada iteración, un
promedio, lo que puedo hacer es simplemente agarrar esta esquinita
y copiar todo hasta el último segmento. Miren, cuenten.
Tenemos aquí uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho segmentos ¿okay?
Entonces, éstas son las velocidades promedio de cada uno de los segmentos.
Y recuerden que cada segmento, el área de cada
segmento, en forma aproximada, va a ser la multiplicación
de esa velocidad promedio, la que le corresponde a
un segmento, por el intervalo de tiempo que es
cero punto ochocientos setenta y cinco.
Y luego eso, siguiente segmento, súbelos en
promedio por punto ochocientos setenta y cinco.
Por eso decía que es mejor, nos simplificaría mucho
los cálculos, simplemente, sumar las velocidades promedio, aquí le voy
a poner a un lado y entonces lo que le voy a pedir a Excel es que sume, que sume.
Vean como, para la versión española es suma la función,
aquí es "sum", nada más, abren sus parentésis, y despues puedes
escribir los nombres de las celdas, de C5 hasta C12.
Pero también podrías simplemente con el, haciendo click con el mouse, sin soltar,
puedo señalar todas esas celdas para las que quiero que haga esa suma.
Así que miren, cuando hacemos eso you sumamos todas las velocidades promedio.
Lo único que nos hace falta para calcular el desplazamiento aproximado ¿sí?
es multiplicar esa suma de velocidades por el intervalo de
tiempo que mide cada uno de los segmentos que dividimos esta...
esta área.
Así que no hay que más perdile que multiplique la
suma de velocidades promedio, todo por nuestro intervalo de tiempo
que está aquí arriba, que es cero punto ochocientos setenta y cinco.
Damos enter y bueno, como nuestra función está originalmente escrita
con tres cifras significativas para las constantes que están ahí, pues vamos
a respetar la precisión con la que debemos dar los resultados
y vamos a decrementar los decimales hasta dos, nada más, de tal
forma que nuestro resultado tenga tres cifras significativas.
Por lo tanto, el área calculada para este
caso, en forma aproximada es ocho punto veintitrés.
Nótese que nosotros usamos apenas ocho
segmentos para hacer esta aproximación al área.
Recuerden que la integral, como hicimos al principio de este ejercicio, nos da
el área en forma exacta y esa nos dio, redondeada a tres cifras significativas,
ocho punto treinta y un metros.
Pero en esta ocasión, como estamos haciendo una
aproximación, el resultado nos dio ocho punto veintitrés.
Claro, en este caso nosotros estamos utilizando nada más ocho segmentos
para ilustrar en una manera más rápida y eficiente este método.
Pero, pueden hacer, de tarea, tratar de reproducir
este ejemplo, pero utilizando un número mayor de segmentos.
Por ejemplo,
unos cien; y van a ver cómo, si utilizan unos
cien segmentos, you la respuesta va a estar aproximada, al menos
en unos dos o tres decimales al valor exacto, que es
el que tuvimos al principio de este ejercicio utilizando una integral.
Bien, pues ésta es la forma de calcular el desplazamiento de una partícula a partir
de una función de velocidad; una manera es por medio de una integral definida y la
otra puede ser también por medio de una aproximación numérica, que
en muchos de los casos así va a tener que ser
porque, como mencionaba al principio, no siempre es posible encontrar una
antiderivada para una función cualquiera, entonces
hay necesidad de hacer aproximación numérica.
Hasta la próxima.
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