Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Ejemplo resuelto del teorema del valor promedio en una gráfica de velocidad
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GG
Jun 08, 2016
Muy buen curso para iniciarse en Física. Los profesores son magníficos, los ejemplos excelentes y los vídeos muy didácticos. Recomendable para todo el mundo
LG
Jan 03, 2019
Este curso ha enriquecido mi formación profesional y me ha permitido fomentar un verdadero aprendizaje significativo en nis estudiantes...excelente curso.
À partir de la leçon
Teorema del valor promedio e integrales
En este módulo nos enfocamos en la operación inversa de la derivada para calcular desplazamiento a partir de una función de velocidad; a dicha operación se le conoce como la integral definida y justificaremos su uso a partir de teorema del valor promedio. También usaremos la integral indefinida para obtener la función de posición a partir de una función de velocidad y una condición para la posición.
Enseigné par
Dr. Genaro Zavala Enríquez
Director del Departamento de Física
Ing. Rodolfo Fernández de Lara Hadad
Profesor del Departamento de Física
Ing. José Rodrigo Salmón Folgueras
Profesor del Departamento de Física
[MUSIC]
Hola de nuevo.
El tema de esta semana es el teorema del valor promedio de la velocidad.
En esta ocasión vamos a resolver un ejercicio de calcular el desplazamiento de
una partícula dada la función de velocidad versus tiempo.
Pero van a notar que en nuestro ejercicio la gráfica nos muestra líneas rectas,
por lo cual podemos deducir que la razón de cambio de la velocidad con respecto al
tiempo es constante al menos por intervalos de tiempo.
Vamos al ejercicio.
Ahora, en lugar de que nos den una función de posición para obtener la velocidad o
la razón de cambio vamos a partir de una gráfica de velocidad a obtener
el cambio de posición de la partícula.
El problema que vamos a resolver consiste en dos partes.
Uno es vamos a calcular
el desplazamiento de la partícula a partir de una gráfica de velocidad versus tiempo.
Y en esa misma gráfica vamos a hacer
el cálculo de la distancia total recorrida por la partícula.
Tenemos el siguiente problema en donde el tiempo está dado en segundos
y la velocidad está dada en metros por segundo.
De acuerdo a la teoría lo que necesitamos calcular
para calcular el desplazamiento total sería toda el área encerrada que hay
entre la gráfica de velocidad y el eje del tiempo.
Que es toda esta área sombreada aquí.
Por supuesto,
you vimos que es posible que la cantidad desplazamiento nos dé positiva y aquí en
la gráfica se va a ver cómo el área que está por encima del eje del tiempo.
Y negativa, esa cantidad es negativa,
en caso de que el área esté por debajo del eje del tiempo.
Entonces tenemos dos alternativas aquí.
Podemos usar el teorema de valor promedio de la velocidad para calcular el
desplazamiento.
O podemos utilizar el cálculo directo de las áreas para calcular el desplazamiento.
Vamos a emplear estas dos técnicas sólo que
para el inciso del cálculo del desplazamiento lo vamos a hacer con el
teorema del valor promedio de la velocidad.
Y para el cálculo de la distancia vamos a utilizar las áreas.
Correcto. Entonces el teorema del valor promedio de
la velocidad dice que si la velocidad de una partícula
cambia uniformemente en un intervalo de tiempo.
Entonces en ese intervalo de tiempo el desplazamiento se puede calcular
como el promedio de las velocidades inicial y final.
Noten que eso es velocidad inicial más la velocidad final en ese intervalo de
tiempo, todo multiplicado por el intervalo de tiempo y por supuesto dividido
entre dos para poder promediar esas velocidades inicial y final.
Bueno, pero hay que tener mucho cuidado con este teorema porque aunque aquí
notamos que la gráfica de velocidad está compuesta únicamente por líneas rectas.
El problema que tiene es que no es la misma línea recta para todos
los segmentos.
Tenemos de hecho tres diferentes
inclinaciones para las rectas que se ven aquí.
Así que sí podemos utilizar el teorema del valor promedio de la velocidad
pero lo vamos a tener que utilizar tres veces.
Una por cada una de las inclinaciones.
Que pues eso, a grandes rasgos quiere decir que es una para
cada valor de la aceleración que tiene la partícula de las 3 posibles
en ese total intervalo de tiempo que es 8 segundos.
Bien, vamos entonces al primer intervalo.
El primer intervalo es este,
que empieza en el instante 0 y termina en el instante 2.
Para ese intervalo de tiempo tenemos una velocidad inicial de cero.
Vemos como ahí el punto de inicio de la gráfica
está justo al nivel de la velocidad cero.
Y al final de ese intervalo,
que es a los dos segundos, la velocidad es tres metros entre segundo.
Entonces para el primer segmento,
llamémosle delta X1, el desplazamiento se va a poder calcular
como el promedio entre la velocidad inicial que es cero metros por segundo
más la velocidad final que es tres metros entre segundo, y eso dividido entre dos.
De esa manera podemos promediar las velocidades inicial y final.
Y el resultado lo multiplicamos por el intervalo de tiempo que dura ese
intervalo.
Que es de, como va de 0 a 2, pues es de 2 segundos.
Así que haciendo las cuentas, tenemos que el desplazamiento para ese primer
segmento, el primer intervalo que va de 0 a 2, es de 3.0 metros.
Noten que tiene sentido que las unidades sean metros,
aunque estemos hablando de un área.
Tomen en cuenta que esa área de la que hablamos no es el área
de la geometría plana o no es el área como del piso.
Ésta es una área cuya base está en la
dimensión longitud y la altura está en la dimensión longitud entre tiempo.
Así que la multiplicación nos tienen que dar algo lógicamente
de la dimensión longitud.
Muy bien, el segundo segmento.
El segundo segmento empieza en el instante dos y termina en el instante cinco.
Entonces en ese segundo segmento vamos a calcular el desplazamiento que tiene ahí.
Al inicio su velocidad es 3.0 y al final su velocidad es negativa,
es -2.0 metros entre segundo.
Y eso si lo dividimos entre dos nos daría el promedio de las
velocidades inicial y final.
Y todo debemos multiplicarlo por el intervalo del tiempo.
Como el intervalo del tiempo empieza en dos y termina en cinco segundos,
pues tenemos un intervalo que dura tres segundos.
Así que el desplazamiento en ese segundo segmento pues hacemos la operación
3 menos 2 eso nos da 1, dividido entre 2 eso nos da 0.5.
Y por 3 nos pues nos da una cantidad de 1.5 metros de desplazamiento.
Bien, notemos también que el tercer segmento es una misma línea recta,
por lo tanto, aquí podemos otra vez utilizar el teorema del valor promedio.
Y empieza con un valor de -2.0 metros por segundo
y finaliza con 0 metros por segundo.
Noten el nivel de la curva en ese punto está justo sobre eje.
Así que son 0 metros por segundo.
El promedio de esas dos velocidades nos va a dar menos un metro por segundo y
el tiempo que tarda ese intervalo, como va de cinco a ocho, es de tres segundos.
Así que el desplazamiento en el tercer intervalo es menos dos más cero entre dos,
eso nos da menos un metro por segundo, multiplicado por tres
Eso nos da -3.0 metros de desplazamiento.
Así que el desplazamiento total pues va a ser la suma
de lo que obtuvimos de desplazamiento para cada una de las partes.
Es decir, 3.0 metros, que fue la primera parte,
más 1.5 metros que fue la segunda parte y -3.0 metros, que es la tercera parte.
Eso da un total de 1.5 metros de desplazamiento.
¿Sí?
Bueno, ahora vamos a calcular la distancia que recorre la partícula.
La distancia que recorre la partícula recuerden que
no depende de qué dirección lleve la partícula.
Independientemente de la dirección que lleve la partícula,
se debe contar cada metro que recorre la partícula.
Entonces algo que nos conviene aquí,
y como en un ejercicio que se hizo anteriormente en los demás temas,
es que hay que tomar en cuenta los cambios de dirección de la partícula.
Entonces, vemos que esta partícula, de acuerdo a la gráfica,
hace un cambio de dirección aquí alrededor del instante 3.8.
Bueno, podemos discutir
un rato mientras vamos a calcular ese punto en forma exacta.
Pero por ponerle un valor de acuerdo a lo que podemos medir en la gráfica.
Alrededor de ese instante notamos que antes tiene una velocidad
positiva porque la gráfica de velocidad se ve por encima del eje del tiempo
y pasando ese instante ahora es negativa.
O sea que hubo un cambio de dirección.
Así que deberíamos tener cuidado porque el área que hay aquí
sí nos va a dar una cantidad positiva, lo cual nos va a dar la distancia que
en este caso sería igual al desplazamiento que tiene en este intervalo.
Pero pasando el instante al rededor de 3.8,
vamos a tener un área por debajo del eje del tiempo.
Entonces eso nos daría un desplazamiento negativo.
Calculamos el desplazamiento, y you después utilizamos este
desplazamiento en cada segmento en donde la
partícula tiene una misma dirección para entonces determinar cuál es la distancia.
Llamémosle a este primer triángulo el desplazamiento uno,
y ahora a este otro el desplazamiento dos.
Para poder calcular el área, como cada uno de esos es un triángulo,
pues ustedes saben que el área de un triángulo es la mitad de la base
multiplicada por la altura.
El problema con esto es que no sabemos en forma exacta la base.
¿Y sí sería correcto estimas ese valor?
Decir pues está más o menos como en el 3.8 o en el 3.7,
pero si quisieran calcularla en forma exacta,
algo que pueden aprovechar es algo que nos lleva a una regla de tres simple.
De acuerdo a la geometría plana,
si nosotros seleccionamos ese pedazo de recta como la hipotenusa de un triángulo,
ese triángulo sería semejante a este otro triángulo pequeño.
Y por lo tanto como esos dos triángulos son semejantes,
la altura del triángulo grande dividida entre la base de ese mismo triángulo.
Debe ser igual a la altura del triángulo pequeño dividida entre la base de ese
triángulo pequeño.
Muy bien, hagamos eso.
El triángulo grande tiene una altura de cinco unidades.
Y si la dividimos entre su base que son de tres unidades, eso debe ser igual, ahora
el triángulo pequeño que tiene una altura de tres unidades dividida entre la base.
Que a la base del triángulo pequeño la voy a llamar provisionalmente delta t.
Solo para saber cuánto tiempo hay desde el instante 2 hasta que la partícula
cambie de dirección.
Entonces si despejamos de aquí, notamos que el intervalo
de tiempo nos da 3 por 3 entre 5, o sea 9/5,
lo cual es 1.8 segundos.
Esos 1.8 segundos por supuesto son 1.8 segundos después del instante dos.
Por lo tanto el instante en el que cambia de dirección es el instante 3.8 segundos.
Entonces ahora sí you tenemos la base para este primer triángulo,
que va a ser una base de 3.8 segundos,
una altura de 3 metros entre segundo.
Y también, para este otro triangulito que está en la parte inferior,
y que nos va a dar un desplazamiento negativo.
También you podemos tener la base porque la base pues va desde 3.8 hasta
8 que nos da un total de 4.2 segundos.
Bien, hagamos las operaciones.
Para el primer segmento vamos a hacer el área de un triángulo es un medio de la
base, que you dijimos que es 3.8 segundos, multiplicado por la altura.
Está la base 3.8 segundos por la altura 3 metros entre segundo.
Y eso nos da un total de 5.7 metros.
Eso es el desplazamiento en el segmento
antes de que cambie de dirección la partícula.
Algo como pensar en que si la partícula se está moviendo en un eje vertical
recorre 5.7 metros hacia arriba
y lo que nos dé en el siguiente segmento es lo que recorre hacia abajo.
Luego vamos a calcularlo.
El cambio de posición en el siguiente intervalo pues es un medio de la base,
porque la base es 3.8 hasta 8.
Eso son 4.2 segundos.
Y por la altura que es -2.0 metros entre segundo,
dándonos un desplazamiento en ese segundo segmento de -4.2 metros.
Bueno, pero lo que queremos calcular es la distancia.
Así que pensando otra vez en que esta partícula se mueve en una línea vertical,
lo que nos están diciendo es que en los primeros 3.8 segundos se mueve 5.7
metros hacia arriba.
Pero después baja 4.2 metros.
Bueno, la distancia considera lo que sube y lo que baja también.
Así que la distancia total son los 5.7 metros que
sube más los 4.2 metros que la partícula baja.
Esto nos da un total de 9.9 metros.
Como nota adicional, noten que si hubiéramos sumado, o sea,
esta estrategia en particular
de calcular los desplazamientos también nos hubiera servido para el primer inciso.
Porque si ustedes suman 5.7 que tuvo en el primer segmento
Y le restan los 4.2 metros que se desplazó en el segundo segmento.
El resultado sería también 1.5 metros.
Que fue lo que obtuvimos utilizando el teorema
del valor promedio de la velocidad.
Muy bien.
Pues este es un ejemplo de cómo calcular a partir de una gráfica de velocidad versus
tiempo, el desplazamiento y también la distancia.
Para la cual you vimos que hay que tener un poquito más de cuidado,
siempre y cuando la partícula cambie de dirección en un momento.
Que en una gráfica de velocidad eso lo podemos ver cuando la gráfica
primero es positiva y después es de lado de los negativos.
Es decir, por encima o por debajo del eje del tiempo.
>> Bueno, pues esta es la forma de calcular
el desplazamiento de una partícula dada la función de velocidad
usando el teorema del valor promedio de la velocidad.
Y por supuesto también lo hicimos utilizando las áreas que hay encerradas
entre la gráfica de velocidad y el eje del tiempo y esto fue
particularmente útil para calcular la distancia.
Recuerden que distancia y desplazamiento no son las mismas cantidades,
cada una aunque tienen la misma dimensión se calcula de forma diferente,
se definen de forma diferente.
Bueno, pues hasta la próxima.
[MUSIC]
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