L'insieme di traiettoria e legge oraria ci permettono di descrivere completamente il
morto di un corpo. Possiamo, però, farlo anche da un punto di vista, ad esempio di
un osservatore posto fuori dal moto. Ad esempio, la velocità scalare ci indica, in analogia
con l'automobile, la lancetta del tachimetro quanto veloce stiamo andando però la velocità
può essere descritta anche vettorialmente, dando un'altra informazione, non solo la velocità
in senso stretto, cioè quanto rapidamente stiamo andando ma anche dove. L'indicazione
del dove è un'indicazione vettoriale. Vediamo un po' come si fa. Partiamo da una traiettoria,
una linea nello spazio, λ , come al solito. Questa traiettoria può stare, ad esempio,
in un piano xy, questo è x, questo è y. Il punto materiale P si può trovare, istante
per istante, ad esempio in questo istante t_1 in questo punto che chiamiamo P_1. La
posizione del punto P_1 nello spazio può essere descritta a partire da un vettore che
chiamiamo vettore posizione. Il vettore posizione, r minuscolo è il vettore che va da
un punto fisso, ad esempio dall'origine del sistema di riferimento, verso il punto materiale,
è questa freccia. Questo è r_1. In coordinate cartesiane, ovviamente,
r _1, ovviamente, lo si può sempre scrivere come x di t per il versore,
cioè il vettore di modulo unitario, u_x, parallelo all'asse x, più y di t più
u_y, che è il versore, cioè il vettore di modulo unitario, che indica la direzione dell'asse y.
x di t e y di t da sole sono quelle che si chiamano le equazioni parametriche del moto.
Ora possiamo descrivere lo spostamento del corpo utilizzando quello che si chiama il
vettore spostamento. Il vettore spostamento è ∆r ed è un vettore
che va dalla posizione P_1 in cui si trova il corpo in un certo istante ad una posizione
successiva, ad esempio P_2, ad un istante successivo. Ipotizziamo che il corpo si sia
spostato in avanti, ad esempio qui, e questo è P_2. Allora il vettore posizione si è
spostato da r_1 a un nuovo vettore, che ora disegno in blu, che è r_2. Il vettore
r_2, ad esempio, in questo caso è un po' più lungo e ruotato verso destra.
Ora il vettore spostamento è, semplicemente, la differenza fra il vettore finale meno il
vettore iniziale cioè r_2-r_1. Graficamente, la differenza di vettori si
fa andando dalla punta del primo alla punta del secondo e quindi il vettore spostamento
è il vettore che va diritto da P_1, a P_2, ed è questo disegnato in giallo. Questo è
∆r. A questo punto possiamo definire la velocità media come il rapporto tra il
vettore spostamento e il tempo intercorso tra l'istante t_1, dove il corpo si trovava
in posizione P_1, e l'istante di tempo finale P_2, in cui il corpo si trova in P_2. Quindi
la velocità media, v_m, è un vettore ed è pari al rapporto tra il vettore spostamento,
e ∆t, il lasso di tempo intercorso.
Il vettore velocità media, v_m, quindi, sarà diretto, come il vettore giallo che
ho indicato nel grafico, direttamente da P_1, P_2. Ovviamente, non ci dice esattamente qual'è
il moto reale del corpo essendo la velocità media, v_m diretta, come il vettore, da
P_1, P_2. In realtà, il corpo ha fatto una curva, vediamo, cioè P_1, P_2, la distanza
lungo la traiettoria è maggiore rispetto al modulo dello spostamento ∆r. Quindi
abbiamo bisogno di introdurre la velocità istantanea, che è la velocità calcolata
su un lasso di tempo abbastanza breve, in maniera tale che, spostando P_1 verso P_2,
e quindi facendo tendere al limite ∆t, a 0, possiamo andare a confondere l'arco con
la corda e così definiamo la velocità istantanea,v, come il limite per ∆t, che tende
a 0, della velocità media.
Ma il limite della velocità media, v_m, la velocità media, è un rapporto
incrementale ∆r/∆t, questa è la definizione di derivata e quindi la velocità
media, v_m è proprio la derivata del vettore posizione nel tempo.
Ora andiamo a guardare cosa vuol dire questo.
Vuol dire che la velocità media, che prima andava da P_1 a P_2, ora, facendo tendere
P_2 verso P_1, la velocità istantanea è diretta come la tangente alla traiettoria,
localmente, quindi, in questo caso su P_1, tratteggiamo la retta tangente e, quindi,
la velocità istantanea sarà diretta come questa tangente. Possiamo, quindi, definire
il versore tangente come quel versore, cioè vettore di modulo unitario, diretto proprio
tangente alla traiettoria punto per punto, e quindi, nell'istante P_1, la velocità, magari,
sarà diretta così, come un versore tangente in quel punto, magari in un altro istante,
in P_2, la velocità istantanea sarà così e via via, in un altro istante, la velocità
istantanea sarà un'altra. Allora, la velocità istantanea può essere
scomposta in due contributi. Possiamo scrivere la velocità istantanea come una
parte che contiene solo l'informazione spaziale, cioè che ci dice dove stiamo andando, ed
è l'informazione contenuta nel versore tangente, che indichiamo come u pedice t, appunto come
la parola tangente, e poi il modulo, cioè quant'è lungo questo vettore, e il
modulo è, esattamente, la velocità scalare istantanea, ds/dt. Questo
perché il modulo sarebbe il modulo ∆r/∆t, ma al limite ∆r è lungo quanto
∆s, perché al limite, quando P_2 tende verso P_1, la lunghezza del vettore
spostamento diventa una lunghezza sulla traiettoria perché arco e corda al limite si confondono
e quindi la velocità istantanea è pari alla velocità scalare per il versore tangente.
Questi risultati li possiamo recuperare sul nostro formulario. La velocità istantanea
ce l'avevamo già, ed è pari alla velocità scalare, e ora possiamo aggiungere
la definizione di velocità vettoriale. La velocità vettoriale istantanea come
la derivata del vettore posizione nel tempo e la sua rappresentazione intrinseca
come ds/dt, la parte del modulo cioè la velocità scalare istantanea,
per il versore u_t.
