Vi sono alcune forze per cui il lavoro dipende dalla traiettoria. È un esempio l'attrito. Se io devo andare da un punto iniziale A ad un punto finale B e vado in linea retta, compio il lavoro minimo possibile dell'attrito dinamico, faccio ad esempio una cosa così. Se invece di andare da A in B in linea retta faccio una linea zigozago ecco che l'attrito è molto di più perché più è lunga la strada e maggiore sarà il lavoro della mia mano contro il lavoro della forza dell'attrito, per andare da A a B. Ci sono invece alcune forze per cui il lavoro compiuto non dipende dal percorso, dipende solo dagli estremi, A e B. Tali forze si chiamano forze conservative. In altri termini per una forza conservativa il lavoro compiuto per andare da A a B positivo o negativo che sia, viene recuperato tornando indietro da B ad A. Nel caso dell'attrito non si recupera niente, in quanto andando da A a B, lo spostamento è verso B e la forza è una forza che si oppone al movimento e quindi diretta in senso opposto. Quindi per l'attrito, se lo spostamento è verso destra la forza è verso sinistra, quindi il lavoro è resistente, quando torno indietro lo spostamento cambia direzione ma anche la forza cambia direzione. E quindi di nuovo il lavoro è negativo. Le forze invece conservative sono forze per cui in una direzione il lavoro è positivo nell'altra è negativo e alla fine il lavoro è nullo. Cioè per le forze conservative il lavoro compiuto su una traiettoria chiusa che partendo da un punto faccia un certo percorso e ritorni allo stesso punto è pari a 0. Si dice la circuitazione è nulla. Esempi di forze conservative sono la forza peso, e la forza elastica delle molle. Facciamo l'esempio della forza elastica. Allora ricordiamoci che la forza elastica è una forza ad esempio di una molla, disegniamo qui una molla attaccata ad una parete, fissa, e poi dall'altra parte attacchiamo una certa massa m. Il problema è unidirezionale, quindi scegliamo un unico asse x verso destra, con origine O nel punto in cui la molla si trova a riposo e non è né allungata né accorciata quindi la sua lunghezza è l_0 a riposo, e la massa è qui nel punto O. Sappiamo che la forza elastica è pari a -Kx u_x, cioè la forza è una forza di richiamo, se x è positiva la forza è diretta verso l'asse delle x con verso opposto con il meno, se la x è negativa meno meno fa più e la forza è verso destra. A questo punto partiamo dall'equazione, dalla definizione di lavoro, il lavoro è l'integrale della forza tangenzialmente allo spostamento per dl, in questo caso la forza e lo spostamento sono paralleli quindi la forza è già tangenziale, quindi la scrivo per esteso, integrale di -Kx*dl e dl è lo spostamento lungo la mia traiettoria, la traiettoria lungo l'asse x, e quindi è dx. l ed dx coincidono. Quindi il meno e la K sono delle costanti e le posso portare fuori, diventa integrale x in dx che fa x²/2. L'integrale è esteso tra una posizione iniziale che potrebbe essere x_A, e una posizione finale che è x_B. integrale di xdx fa x²/2, e quindi questo fa -(1/2)kx² nella posizione in alto B, e poi meno meno +(1/2)Kx_A². Quindi vediamo che il lavoro per una forza conservativa come è la forza elastica è pari alla differenza fra due termini, questi termini devono avere la dimensione di un'energia come il lavoro quindi si misurano in joule. Quest'energia è un'energia che potremmo chiamare posizionale in quanto dipende solo dalla posizione del corpo, in questo caso dall'ascissa x. Non la chiamiamo posizionale ma la chiamiamo potenziale, cosa vuol dire un'energia potenziale, è un'energia che potremmo dire virtuale, cioè un'energia che ha un corpo quando si trova in una certa posizione, non è ancora sviluppata in energia cinetica di movimento ma è un'energia che ha in sé la possibilità di diventare tale. Pensiamo all'esempio di un flipper, in un flipper abbiamo una molla, la molla la tiriamo, attacchiamo una pallina in fondo alla molla, e in quel momento la pallina è ferma, la molla compressa di un certo allungamento ha in sé una certa energia potenziale. Quando rilascio la molla ecco che allora si trasforma l'energia potenziale della pallina in energia cinetica e la pallina scatta e il gioco inizia. Ecco che allora possiamo dire che per la forza elastica esiste un'energia potenziale che chiamiamo U e questa energia potenziale è pari a un (1/2)Kx². Implicitamente abbiamo definito l'energia nulla in x=0. Cioè nel punto in cui la massa si trova attaccata alla molla, a riposo. Ecco quindi che possiamo dire in definitiva che W=-ΔU perché il meno, perché vediamo che il Δ è finale meno iniziale, finale è x_B e qua non è finale meno iniziale ma è iniziale meno finale, questo lo possiamo riportare nel nostro formulario, cioè possiamo dire che per una qualsiasi forza conservativa come la forza peso o come in questo caso la forza elastica, vale questo, cioè il lavoro di una forza conservativa è pari a -ΔU. Possiamo concludere dicendo che per la forza elastica che è una forza conservativa quando il corpo partendo da fermo ha energia nulla vada ad esempio in una certa coordinata x positiva, quindi ad esempio lo tiriamo fino a questa posizione, ecco che allora nello spostamento verso destra la forza di richiamo è verso sinistra, e quindi la forza elastica compie un lavoro negativo, un lavoro resistente. Quando poi invece torniamo indietro, quindi la massa torna nella posizione di partenza, lo spostamento cambia verso ma la forza non cambia verso, quindi quello che avevamo perso allungando la molla, cioè un lavoro negativo della forza elastica, viene recuperato tornando indietro perché diventa un lavoro positivo motore della forza elastica e quindi alla fine il lavoro è pari a 0.
