Accelerazione vettoriale: calcolo

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Introduzione alla fisica sperimentale: meccanica, termodinamica

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Politecnico di Milano

Introduzione alla fisica sperimentale: meccanica, termodinamica

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Il corso affronta le tematiche della meccanica e della termodinamica, fornendo le nozioni che risultano utili per affrontare insegnamenti di fisica di base, a partire dalla comprensione del metodo sperimentale per poi mostrare le grandezze fondamentali e loro relazioni in tali ambiti, imparando a identificarle, distinguerle e utilizzarle. Gli argomenti affrontati relativamente alla meccanica sono, divisi per settimane: · cinematica del punto materiale ed esempi di moti · dinamica del punto materiale ed esempi di forze · lavoro, energia, urti e gravitazione universale mentre per la termodinamica si ha · cinematica e dinamica dei liquidi ideali · temperatura, gas ideali, calore, macchine termiche ed entropia All’interno di ogni settimana si trovano video relativi a lezioni, esercizi ed approfondimenti su alcuni argomenti, nonché quiz a risposta chiusa allo scopo di fornire allo studente l’opportunità di un primo feedback di auto-valutazione. Ognuna delle tematiche si chiude poi con un quiz riepilogativo per verificare l’acquisizione delle nozioni presentate.

À partir de la leçon

Cinematica

La disciplina scientifica che tratta del moto in tutti i suoi aspetti prende il nome di meccanica, che viene suddivisa per comodità in tre branche: la cinematica (come descrivere il moto), la dinamica (capirne le cause) e la statica (come eventualmente impedirlo). Ciò che verrà presentato non è il moto di un qualsiasi corpo, bensì di un sistema semplice, il più semplice possibile: il punto materiale. Dicendo punto materiale non ci si intende riferire alle dimensioni dell’oggetto (come per il punto geometrico), ma al fatto che o si sta osservando il corpo da molto lontano relativamente alle sue dimensioni o se ne sta trascurando il moto proprio. I concetti presentati saranno quelli della posizione, della velocità e dell'accelerazione, nonché alcuni esempi di moti tra i più classici e ricorrenti nella vita quotidiana. Dopo aver descritto il moto dal punto di vista della traiettoria percorsa (cinematica scalare), lo si analizzerà come un osservatore esterno (cinematica vettoriale), cambiando prospettiva: il moto è lo stesso, ma descritto diversamente a seconda dell'osservatore.

Velocità vettoriale7:21

Accelerazione vettoriale: introduzione7:46

Accelerazione vettoriale: calcolo8:07

Accelerazione centripeta8:58

Accelerazione: interpretazione geometrica7:47

Traiettoria e legge oraria (Exe)6:02

Moto circolare (Exe)5:10

Combinazione di moti (Exe)6:08

Moto parabolico (Exe)7:46

Rencontrer les enseignants

Maurizio Zani
Assistant Professor
Physics Department

Parliamo di accelerazione tangente e accelerazione normale. Sappiamo che la velocità v può

essere scritta, vettorialmente, come v per il versore u_t

cioè la velocità, in generale, è tangente alla traiettoria ed avrà un certo modulo

v minuscolo, v. L'accelerazione a ⃗ è, a sua volta, la derivata prima della velocità,

v , tutto vettoriale Ora, se noi andiamo a sostituire questa, v

che si può chiamare rappresentazione intrinseca della velocità, all'interno dell'espressione

dell'accelerazione, a =(dv )/dt, abbiamo la derivata del prodotto tra due termini.

Entrambi, in generale, sono variabili nel senso che la velocità v può variare

in modulo, cioè il tachimetro può andare in senso orario, antiorario, aumentare la

velocità in senso stretto, oppure può variare la sua direzione, o verso, nel senso che io

posso sterzare verso destra, verso sinistra e quindi il prodotto fa sì che la sua derivata

si debba scomporre in due termini: la derivata del primo per il secondo non derivato, quindi

(dv/dt)*u_t, più un secondo termine che è la derivata del secondo per il primo non

derivato, quindi scrivo prima il primo, v, e poi la derivata del secondo u_t

Questo c i dice che l'accelerazione vettoriale consta di due termini. Il primo termine vediamo

che avrà un certo modulo, di dv/dt, e una certa direzione, o verso, data dal versore

u_t. Quindi questo primo termine è diretto come il versore u_t cioè tangente alla

traiettoria, quindi questo primo termine lo chiamiamo accelerazione tangente, a_t,

e sarà, punto per punto, tangente alla traiettoria. Il secondo termine avrà un certo modulo,

una certa direzione, o verso, e la direzione/verso è data dalla derivata del versore. Ora sappiamo

che i vettori che non possono cambiare modulo, ma solo direzione/verso, come i versori, avranno

una derivata che è sempre perpendicolare al versore stesso nel senso che, se la coda

è qui, la tengo ferma nella mia mano, e la punta è qui, e metto un fumogeno sulla punta,

a questo punto, se io posso solo ruotare, perché non posso allungare o accorciare il

vettore, la rotazione mi dà una derivata, diretta come la striscia del fumogeno, che

è, appunto, perpendicolare al vettore stesso. Se ruoto in questo senso, è perpendicolare

in questa direzione, se ruoto nell'altro senso, è perpendicolare nell'altra direzione. E

quindi il versore perpendicolare a u_t, sappiamo essere u_n, versore normale alla

traiettoria, e quindi questa componente dell'accelerazione, ora non ci addentriamo sul modulo, almeno

possiamo dire che la direzione/verso di questa seconda componente dell'accelerazione è normale,

cioè è perpendicolare alla traiettoria punto per punto. Vediamo di capire meglio cosa vuol

dire questo. Facciamo due esempi per poter analizzare separatamente i due contributi.

Iniziamo con il primo, cioè vogliamo analizzare il contributo di accelerazione tangente, cioè

tangenziale alla traiettoria, e quindi, per un momento, cerchiamo di dimenticarci del

secondo. Come facciamo? Per annullare il secondo contributo dovremo considerare una traiettoria

rettilinea, con un moto rettilineo, perché, nel moto rettilineo, la traiettoria, essendo

dritta, avrà un versore tangente che non ruota mai e quindi esiste solo l'accelerazione

tangente al più. E quindi in un moto rettilineo ma, in generale, non uniforme, possiamo avere

un caso, come il primo che disegno, in cui l'accelerazione tangenziale, a_t, è diretta

come u_t, quindi se mettiamo un'ascissa curvilinea sopra alla traiettoria diretta

verso destra, quindi la nostra linea γ, gamma, è questa traiettoria verso destra, possiamo

avere un primo caso dove la velocità aumenta in modulo, ad esempio abbiamo una prima velocità,

che è questa, piccola, poi una seconda velocità, che diventa più grande, una terza velocità,

che diventa ancora più grande, e quindi abbiamo, ad esempio, un automobile, che percorre un

tratto rettilineo accelerando, in senso stretto, allora, ni questo caso, lungo il moto rettilineo,

l'accelerazione tangenziale, parallela alla velocità, è positiva nel senso che accelerazione

tangenziale a_t è di dv/dt, ed è positiva e quindi il modulo aumenta. Potremmo fare

un secondo caso qui dove, invece, partiamo lungo la traiettoria rettilinea, lungo il

rettilineo, con l'automobile, ad alta velocità, che man mano rallenta, per fermarsi, ad esempio

c'è un ostacolo, quindi la velocità prima è grande, poi la velocità diventa più piccola

e poi più piccola ancora. Allora, in questo caso, l'accelerazione tangenziale, a_t,

è la derivata della velocità scalare e quindi è negativa, nel senso che sto fermandomi

E quindi, nel primo caso, a_t=dv/dt>0, l'accelerazione tangenziale, a_t è diretta come u_t,

ha stessa direzione e stesso verso. Nel secondo caso,

a_t=dv/dt<0, invece, l'accelerazione tangenziale, a_t ha stessa direzione ma verso opposto.

Quindi, andiamo a recuperare quello che abbiamo scritto nel Formulario

Nell'accelerazione tangenziale, a_t sappiamo che, in cinematica scalare, l'accelerazione,

vista lungo la traiettoria, cioè in funzione dell'ascissa curvilinea, l'accelerazione era

la derivata prima della velocità, quindi derivata seconda dell'ascissa curvilinea,

ora scopriamo che questa, in realtà, è solo una componente dell'accelerazione totale,

a, cioè è l'accelerazione tangenziale, a_t e, quindi, modifichiamo questa formula,

mettendo un pedice t per dire che l'accelerazione, vista come derivata prima della velocità

scalare e derivata seconda dell'ascissa curvilinea è, in realtà, l'accelerazione tangenziale,

a_t, cioè la componente, lungo la traiettoria, dell'accelerazione vettoriale

Adesso vediamo, invece, la seconda componente, accelerazione normale, a_n. Per osservare,

in dettaglio, questa seconda componente, dimentichiamoci della prima. Come facciamo? Prendiamo un moto

dove non c'è accelerazione tangenziale. Come si fa? Basta considerare un moto a velocità

costante, per cui la derivata prima della velocità, in modulo, è nulla. Velocità

costante in modulo vuol dire moto uniforme. Moto uniforme possiamo scegliere una traiettoria

qualsiasi ma imponiamo una velocità costante in modulo, quindi, ad esempio, prendiamo in

questo punto una velocità fatta così, v, in quest'altro punto un'altra velocità,

sempre tangente alla traiettoria, ma con la stessa lunghezza, quindi ha ruotato ma ha

la stessa lunghezza, e poi qua, ancora una volta, un'altra velocità di uguale lunghezza.

Allora, in questo caso, l'accelerazione normale ci indica che cosa? Ci indica in che direzione

è orientato lo sterzo di un automobile, cioè mentre l'accelerazione tangente ci dice come

varia il tachimetro, nell'accelerazione normale possiamo indicare come varia, com'è orientato

il volante, nel senso che la derivata della velocità, in questo primo tratto, è diretta

come il limite del rapporto incrementale ∆v/∆t, quindi sarà diretto perpendicolare alla traiettoria,

quindi ni questa direzione, e quindi questa è l'accelerazione normale, a_n, in questo

altro caso questa è l'accelerazione normale, a_n quindi nel primo tratto il volante

è orientato verso destra, nel secondo tratto il volante è orientato verso sinistra, e

in questo tratto centrale, dove la traiettoria è abbastanza rettilinea, l'accelerazione

normale, a_n è nulla, nel senso che non sto sterzando né verso destra né verso sinistra.

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