Trattiamo il caso più generale dell'accelerazione. Sappiamo che l'accelerazione ha due componenti: accelerazione vettoriale si può sempre scrivere come somma di un'accelerazione tangente e un'accelerazione normale; accelerazione tangente lo dice il termine stesso, è parallela alla traiettoria cioè diretta lungo la tangente e sappiamo, dalla cinematica scalare, che l'accelerazione tangente ha un modulo pari alla derivata prima della velocità, e alla derivata seconda dell'ascissa curvilinea. Quindi l'accelerazione tangente è responsabile della variazione del modulo della velocità cioè in un esempio dell'automobile possiamo vedere l'accelerazione tangente osservando il tachimetro. Ci sarà accelerazione tangente positiva o negativa se il tachimetro ruoterà in senso orario o antiorario, cioè se il modulo della velocità aumenta o diminuisce. Il secondo termine dell'accelerazione normale è responsabile, invece, della variazione della direzione della velocità. Anche questo l'abbiamo nel nostro formulario. E' stato derivato per un caso semplice di moto circolare uniforme cioè dove non c'era l'accelerazione tangenziale ma solo quella normale. L'accelerazione normale ha modulo pari a v_0²/R, dove Rè il raggio della circonferenza che viene percorsa. Ora mettiamo insieme questi pezzi per capire, nel caso più generale, come avviene il moto, e quindi l'accelerazione tangente normale, quando il moto non è né rettilineo né circolare ma un moto generale vario. Allora, consideriamo una traiettoria generica nello spazio. Potrebbe essere fatta in questa maniera. Ad esempio posso fare un tratto con una certa curvatura e poi un altro tratto con un'altra curvatura. Questa è la mia traiettoria. Le do una lettera, la linea γ e un verso. Allora man mano che il corpo percorre questa traiettoria, per esempio nel verso positivo dell'ascissa curvilinea, cioè diretto come la traiettoria, abbiamo un primo tratto dove vediamo che la velocità varia. Sicuramente in direzione e verso sto curvando verso destra. Il versore normale è sempre diretto perpendicolarmente alla traiettoria e quindi, man mano che il corpo si muove in avanti, ruoterà, insieme alla traiettoria, in questa direzione. Più avanti, il volante sarà diretto in direzione opposta, il moto curverà verso sinistra e quindi il versore normale piegherà in questo altro senso, sarà sempre perpendicolare alla traiettoria e sarà, quindi, orientato dall'altra parte. Allora, il concetto di accelerazione normale, che abbiamo visto nel caso semplice di un moto circolare, può essere recuperato in un moto vario in quanto punto per punto, istante per istante, il moto può essere sempre approssimato ad una circonferenza. Questa circonferenza viene chiamata cerchio osculatore. Il cerchio osculatore è il cerchio che meglio approssima la circonferenza punto per punto e può essere interpretato, sempre con l'ausilio dell'esempio dell'automobile, pensando di bloccare lo sterzo in un certo istante. Ad esempio, se noi ci troviamo, in un certo istante, in questo punto P_1, stiamo percorrendo la traiettoria con una certa velocità, con una certa curvatura, quindi lo sterzo è orientato secondo una certa direzione, se noi ora blocchiamo lo sterzo cosa facciamo? Beh, in una città sappiamo che iniziamo a percorrere una circonferenza che potrebbe essere, ad esempio, una rotatoria. Quindi questa rotatoria sarà il cerchio osculatore. Lo possiamo disegnare qui come un cerchio, in questo caso è molto grande perché la traiettoria non è molto curva, questo cerchio è, appunto, il cerchio osculatore, che approssima la traiettoria in questo punto. Avrà una certa curvatura, un certo raggio di curvatura, il raggio di curvatura lo indichiamo con R_1, in quanto è il raggio nel punto P_1. Più avanti, invece, il cerchio osculatore potrebbe essere più grande o più piccolo oppure potrebbe essere orientato, invece che su questo lato della curva, sull'altro lato. Ad esempio, se andiamo qui avanti in questo punto P_2, ecco che l'automobile sta percorrendo una curva con lo sterzo dall'altra parte, girato verso sinistra, e, quindi, se noi ora bloccassimo lo sterzo in questo punto e percorressimo una rotatoria, la percorreremmo in senso antiorario, visto dall'alto, prima era un senso orario, visto dall'alto, è una rotatoria molto più stretta perché, ora, la circonferenza è questa. Quindi il raggio di questa circonferenza, del cerchio osculatore è ora R_2, minore del raggio precedente R_1. Si chiama raggio di curvatura R_1 e R_2, si chiama curvatura l'inverso del raggio, quindi 1/R, è la curvatura. Quindi nel punto P_1, abbiamo un raggio di curvatura grande, quindi una piccola curvatura, in P_2, il raggio di curvatura è piccolo quindi abbiamo una traiettoria ad alta curvatura. E poi nel punto P_1 lo sterzo era girato verso destra, per cui stavamo percorrendo una traiettoria dove l'accelerazione centripeta, cioè diretta verso il centro del cerchio osculatore, quindi accelerazione normale è diretta in questa direzione, come la freccia rossa, dall'altra parte, invece, l'accelerazione centripeta, invece, ha cambiato direzione, è diretta verso il centro del cerchio osculatore, dall'altro senso. E quindi mettiamo insieme questi due concetti dicendo che punto per punto, istante per istante, lungo la traiettoria, il corpo ha accelerazione tangente e normale. Tutte le volte che la traiettoria non è rettilinea esiste l'accelerazione normale e poi, quando varia anche il modulo della velocità, abbiamo anche accelerazione tangenziale. Ad esempio, nel punto P_1 potremmo avere un'accelerazione normale diretta in questa direzione, verso il centro del cerchio osculatore. Se per di più ipotizziamo, facciamo un esempio, che in questo punto, il modulo della velocità stia aumentando, perché, comunque, la curva è abbastanza dolce quindi acceleriamo, schiacciando sull'acceleratore, quindi la derivata della velocità in modulo è positiva allora l'accelerazione tangenziale è diretta come la direzione tangente, stessa direzione e anche, stesso verso, e quindi avremo un'accelerazione tangenziale che sarà diretta così. Se poi ora la sommiamo a un'accelerazione centripeta, normale, abbiamo un'accelerazione totale che è la somma vettoriale di queste due componenti, tradi loro perpendicolari, e quindi andiamo a chiudere questo rettangolo e quindi, in questo istante, l'accelerazione vettoriale sarà diretta così. Facciamo un altro esempio. Andiamo in P_2. Ipotizziamo che nel punto P_2 l'automobilista dica: "Devo decelerare. Schiaccio sul freno perché la curva è molto stretta" quindi, in questo caso, la derivata della velocità è negativa quindi stiamo diminuendo il modulo della velocità, allora l'accelerazione tangenziale, che è sempre diretta come la traiettoria, ora però, avrà verso opposto, e quindi sarà diretta così, indietro, questa ora la sommiamo all'accelerazione normale, che è diretta verso il centro del cerchio osculatore, c'è sempre un angolo di 90° tra le due accelerazioni, sommiamo le due accelerazioni e quindi l'accelerazione totale, in questo punto, ad esempio, potrebbe essere questa, a.
