[AUDIO_VIDE] Bienvenue dans cette leçon du cours d'économie du sol et de l'immobilier consacrée au calcul intertemporel et en particulier à l'actualisation. L'actualisation est au coeur des calculs immobiliers. Elle revient en fait à calculer pour chaque paiement futur, un paiement équivalent présent, actuel ou pour chaque revenu futur, un revenu équivalent présent, de façon à permettre l'addition ou simplement même la comparaison de ces paiements qui interviennent à des dates différentes. Or, des paiements futurs, il y en a beaucoup pour un placement immobilier puisque c'est un placement dont la durée de vie est particulièrement longue. Mais, reprenons ces choses une à une. Je commence par l'exemple le plus simple, celui du propriétaire foncier qui peut choisir de vendre son terrain aujourd'hui au prix PT0 ou bien dans une année au prix PT1. Quel est le meilleur choix? Et pour simplifier, je vais encore supposer que le terrain ne rapporte rien, que la rente foncière est nulle. Alors, dans ces conditions, on pourrait penser qu'il faut choisir l'option qui donne le prix le plus élevé. Par exemple, si le prix du terrain est plus élevé dans une année qu'aujourd'hui, mieux vaut attendre. Alors, ce n'est pas aussi simple, on s'en doute, ce serait faux de faire une comparaison de cette façon-là. Pourquoi? Imaginez que les deux prix sont égaux. Donc on peut vendre le terrain au même prix aujourd'hui ou dans une année. Dans ce cas-là, on a vite compris qu'on a intérêt à choisir de le vendre tout de suite puisque la somme ainsi obtenue pourrait être placée dans le placement financier et on obtiendrait en plus un revenu financier qui serait égal à la somme placée multipliée par le taux d'intérêt du placement financier. Donc forcément plus que le prix final s'il est égal par hypothèse au prix initial, au prix de la date 0. Donc, on voit bien qu'il est erroné de comparer des prix qui interviennent ou des paiements qui interviennent à des dates différentes, il faut prendre en compte ce qui se passe avec l'argent d'une date à l'autre. Et ça, on l'avait déjà vu, on avait déjà vu que pour comparer le prix du terrain aujourd'hui et le prix du terrain dans une année, eh bien, la comparaison à faire, c'était entre les fortunes terminales, le montant dont dispose le propriétaire foncier dans les deux options à la fin de l'année. S'il vend son terrain tout de suite, eh bien, à la fin de l'année, il aura la somme, le produit de la vente augmenté de l'intérêt du placement financier alors que s'il attend, à la fin de l'année, il aura le prix du terrain réalisable à la fin de l'année. Et ce sont ces deux choses-là, ces deux montants-là qu'il faut comparer et on choisira de vendre tout de suite ou de vendre dans une année selon si le terme en haut est plus élevé, plus grand ou plus petit que le terme du bas. Alors, quand on a fait ça, quand on est passé de la date de la transaction, ou si vous voulez, du prix actuel à un prix futur, on a fait ce qu'on appelle une capitalisation. La capitalisation, c'est de reporter un montant à une date ultérieure en prenant en compte les intérêts qu'on peut obtenir sur ce montant dans l'intervalle. maintenant, ce qui est original, c'est de faire la comparaison à la date initiale. c'est-à-dire, on aimerait bien pouvoir faire cette même comparaison qu'on fait là à la fin de l'année, on aimerait pouvoir la faire ici au début de l'année. Et pour ça, on doit imaginer une somme que je note x pour l'instant qui capitalisée, me donnerait PT1. Ca veut dire, cette somme x, également multipliée par 1 plus i serait égale à PT1. Bien, on a vite compris que cette somme x qui nous intéresse, qui est la valeur actualisée du prix de vente dans une année, eh bien, c'est simplement ce prix de vente divisé par 1 plus i. Donc ici, on a PT1 sur 1 plus i. Et l'opération qui consiste à ramener un montant futur de cette manière à la date actuelle, c'est ce qu'on appelle l'actualisation. Le tableau supérieur montre la comparaison entre la vente immédiate et la vente dans une année qu'on peut faire à la fin de l'année par capitalisation, ou au début de l'année par actualisation. En fin d'année, la vente immédiate donne lieu à une fortune égale au produit de la vente immédiate augmenté des intérêts accumulés pendant l'année, qu'on peut comparer avec le produit de la vente dans une année, le prix du terrain dans une année plus la rente foncière obtenue pour cette année d'utilisation. Si on fait la comparaison en début d'année avec la rente foncière, ça ne change rien au niveau de la vente immédiate, évidemment, c'est le produit de la vente figure comme étant l'état de la fortune à ce moment-là alors que l'état de la fortune équivalente à la vente dans une année, eh bien, c'est le produit de la vente du terrain mais aussi la rente foncière actualisés à la date initiale au début de l'année. Or, la rente foncière n'est pas forcément versée à la fin de l'année, si elle est versée à la fin de l'année, alors on retrouve ce montant qui est la valeur actualisée de la rente foncière avec le terrain, produit de la vente du terrain ramené à aujourd'hui en divisant par 1 plus le taux d'intérêt. Par contre, si la rente foncière est obtenue, donc versée si on veut, au milieu de l'année, eh bien on va l'actualiser sur une demi année avec un demi taux d'intérêt comme ceci, distincte du prix du terrain qui lui est actualisé sur une année entière sous l'hypothèse que lui est vraiment obtenu à la fin de l'année. Finalement, si la rente foncière est versée d'avance, elle est versée en début d'année pour l'année qui vient, il n'y a pas d'actualisation, elle apparaît à sa hauteur pleine au moment initial, au début de l'année, et il n'y a qu'à actualiser le produit de la vente du terrain à la fin de l'année. Donc, on voit que le propriétaire foncier préfère recevoir la rente plus tôt puisque dans la comparaison de ces trois variantes, la plus intéressante, celle qui donne la valeur actuelle la plus élevée, c'est celle où la rente foncière est évidemment versée déjà en début d'année. De manière générale, mieux vaut être payé le plus tôt possible et payer ses factures le plus tard possible. Le propriétaire foncier parfois peut aussi attendre deux ans pour vendre son terrain. Dans deux ans, il le vend au prix PT2. Et la question, c'est comment comparer ce prix du terrain dans deux ans avec une vente immédiate, PT0. Une des réponses possibles, c'est de procéder par capitalisation sur deux ans, c'est-à-dire de regarder comment le placement financier évolue sur deux ans. Alors, au début de l'année 1, la somme placée dans le placement financier, dans le compte courant, c'est le produit de la vente du terrain à cette date, à cette date 0, A la fin de la première année, quelque chose qu'on connait bien, il a le produit investi dans le compte courant augmenté des intérêts. Maintenant, qu'en est-il à la fin de l'année 2? Eh bien, il faut comprendre que au début de l'année 2, la somme dans le compte courant, c'est ce qu'on avait à la fin de l'année 1, et cette somme va porter des intérêts pendant une année. Donc, on aura PT0 fois 1 plus i au carré. Alors, pour bien comprendre ce terme, je vais le décomposer. C'est juste une décomposition mathématique mais qui va nous aider à comprendre ce qui se passe dans un placement sur plusieurs années. Première chose, on aura toujours le montant initialement investi, PT0. Ensuite, on aura les intérêts de la première année, PT0 fois i. Ensuite, on a les intérêts sur la somme investie pour la deuxième année, et finalement, on a le terme quadratique que je vais noter de cette façon-ci, je vais noter PT0 fois i, donc les intérêts de la première année multipliés par les intérêts de la deuxième année. Donc ce sont les intérêts versés la deuxième année sur les intérêts gagnés la première année. Ce sont les intérêts sur les intérêts ou encore intérêts composés. La condition pour que le propriétaire, que l'investisseur touche des intérêts composés, donc des intérêts sur les intérêts, c'est évidemment qu'il laisse ces intérêts dans le compte courant. Il ne faut pas qu'il prélève l'argent, il faut bien qu'au début de la deuxième année, dans le compte courant, il y a la somme initialement investie augmentée des intérêts de la première année. Alors, ça, ça va nous aider pour envisager aussi l'actualisation. Ce qu'on vient de faire, c'est la capitalisation. On a vu que le produit de la vente initiale placé sur deux ans me donnent ce produit augmenté des intérêts sur deux ans, des intérêts composés, donc de 1 plus i au carré. Ca signifie que la valeur actualisée équivalente au produit de la vente dans deux ans, c'est ce produit de la vente dans deux ans, divisé par 1 plus i au carré. Donc, l'actualisation, ce procédé-là qui revient à ramener des résultats des revenus des charges futures, à la date actuelle, eh bien, sur deux ans, elle me détermine une valeur actuelle du prix de vente qui est égale au produit de la vente dans deux ans divisé par 1 plus i au carré. Ca, c'était mes calculs sans rente foncière. Maintenant, la rente foncière, elle vient chaque année. Donc on aura déjà une rente foncière à la fin de la première année qu'il faudra actualiser, qu'il faut ramener à la date initiale. Ensuite, on a en plus une rente foncière à la fin de la deuxième année, qu'il faut ramener à la date initiale et le produit de la vente du terrain au terme des deux ans qu'il faut aussi actualiser à la date initiale. Donc la valeur actuelle de tous ces revenus qu'on va appeler des cash flow, eh bien, cette valeur actuelle est égale à la valeur actuelle de la rente ou des revenus de la première année sur une année, divisés par 1 plus i et puis, les cash flow de la deuxième année donc le revenu ou la rente foncière pour la deuxième année, le produit de la vente également au terme de la deuxième année, actualisé à aujourd'hui en divisant par 1 plus i au carré. Alors j'ai fait la démonstration pour une année, j'ai fait la démonstration pour l'investisseur ou le propriétaire qui est prêt à attendre deux ans, il peut aussi être prêt à attendre trois ans voire n années, n'importe quel nombre entier d'années ; s'il attend deux ans, la valeur actuelle des cash-flows des revenus qu'il va obtenir, c'est la formule que nous venons de voir tout à l'heure, sur trois ans, eh bien on a la rente foncière de la première année actualisé sur une année, divisée par 1 plus i, la rente foncière touchée à la fin de la deuxième année, actualisée sur deux ans, 1 plus i au carré, et puis de la même façon, la rente foncière et le produit de la vente au terme de la troisième année, actualisé sur trois ans donc, un plus i au cube. Et pour n'importe quel nombre d'années qu'on attend, ou si vous voulez des nombres d'années pendant lesquelles on touche des cash-flows avant de vendre le terrain, eh bien la valeur actuelle de tous ces cash-flows c'est simplement la somme de tous les revenus annuels actualisés pour le nombre d'années qu'il faut attendre pour les obtenir, donc celui de la quatrième année serait divisé par un plus i à la puissance quatre, etc, et finalement, à la nième année, on a toujours la dernière rente foncière, ou le dernier revenu le produit de la vente actualisé sur n années, en divisant par un plus i à la puissance n. Donc on a une formule très très générale qu'on va même noter de façon un petit peu plus compact, comme étant la somme pour petit n égal à 1 jusqu'à grand N, ça va être mon curseur le n, de, des rentes foncières annuelles actualisées pour le nombre d'années qu'il faut attendre pour les toucher. Donc n égale à 1, on obtient ce terme ici, n égale 2, on a celui-ci, etc. Et avec ça je n'ai que les revenus, il manque encore le produit de la vente, le produit de la vente il vient en dernier, PT à la date N, actualisé en divisant par un plus i à la puissance grand N. Alors pour bien voir si on a compris le raisonnement, essayons un petit exercice. Imaginons qu'un investisseur cette fois pas le propriétaire foncier, l'investisseur peut acheter un terrain pour 1 000. Alors ce sera le prix d'achat PT 0. S'il achète le terrain il recevra une rente foncière de 45 supposée constant pendant 20 ans. Au lieu d'acheter ce terrain, l'investisseur peut placer cette argent dans un placement financier qui rapporte le taux d'intérêt i égale à 3,5 %. Quel est le meilleur choix? Alors, une première réponse naïve c'est de constater que l'investisseur a payé 1 000 pour l'acquisition du terrain si c'est ça qu'il choisit de faire, et en échange il reçoit 20 fois la rente foncière de 45, donc 900. Et sur cette base on a envie de dire investir 1 000 pour recevoir 900, c'est pas rentable. Eh bien ce calcul, ce raisonnement est faux. Et on va voir pourquoi. Il y a plusieurs erreurs, on va voir chacune des erreurs de raisonnement l'une après l'autre. La première erreur assez évidente, c'est qu'on a oublié la valeur terminale, après tout le terrain ne disparaît pas au terme des 20 ans. Il pourra être revendu pour un prix PT indice 20, pour l'année 20, indéterminé, on ne sait pas ce que c'est, mais par exemple, il est légitime dans ce cas de figure de supposer que ce prix de revente du terrain dans 20 ans est égal au prix actuel puisque ce terrain semble générer une rente constant pour l'infini du temps. Donc, dans ce cas, si on peut revendre le terrain pour 1 000, eh bien la somme des cash-flows, la simple somme c'est 20 fois les 45 rentes annules, 900, plus les 1 000 de la revente du terrain à l'année 20, soit 1 900. Alors tout à coup on a l'impression que c'est devenu une affaire extrêmement rentable. On a dépensé pour recevoir 1 900, pour encaisser 1 900. Notez qu'avec ce type de calcul, n'importe quelle rente foncière, mais elle aurait pu être beaucoup plus faible que 45, fait apparaître l'investissement comme rentable, ce qui n'est pas très plausible. Donc manifestement on a corrigé une erreur, mais encore pas toutes les erreurs du raisonnement. La deuxième erreur c'est d'avoir oublié la notion d'arbitrage, c'est-à-dire qu'il y a une alternative, elle a même été présenté, le placement financier qui permet aussi de toucher un revenu, et le placement foncier n'est intéressant que s'il rapporte plus que le placement financier. Et que rapporte le placement financier, eh bien si l'investisseur investit 1 000 à 3,5 %, on sait faire le calcul, c'est le calcul de la capitalisation avec les intérêts composés, ça nous fait la somme initiale, fois un plus i à la puissance 20, on résout ça on fait le calcul, ça fait 1 990, 1 990. Donc 1 990 plus grand que 1 900 on a l'impression que le placement financier est plus rentable. Et ça c'est quand même un petit peu étonnant parce que n'oubliez pas que le placement foncier lui, donne une rente foncière de 45 par an alors que le placement financier, 3,5 % sur mille, donne un intérêt de 35. Comment se fait-il que le placement financier apparaisse plus rentable que le placement foncier alors que le revenu annuel est plus faible? La réponse revient à corriger la troisième erreur, c'est l'erreur qu'on a commise en oubliant la temporalité des payements. Ce que j'ai introduit au début de cette leçon. Notez comme les 1 000 du placement financier font pour devenir 1990 sur 20 ans, puisque l'intérêt 3,5 % sur 1 000, payé pendant 20 ans, permettrait d'obtenir 1 700, les 1 000 du placement initial plus 20 fois l'intérêt de 35 égale 1 700. Or, la valeur du placement financier, au terme des 20 ans, c'est pas 1 700 c'est 1 990. Pourquoi? Parce que les intérêts reçus chaque année portent aussi intérêt jusqu'a l'année 20. C'est le phénomène des intérêts composés. Eh bien ce qui est vrai pour le placement financer est évidemment aussi vrai pour le placement foncier. La rente foncière obtenue à la première année reste, ou est versée dans le compte courant et va porter des intérêts pendant 19 ans, puisqu'on s'intéresse à la situation du compte immobilier au terme des 20 ans. La rente foncière obtenue à la deuxième année va porter des intérêts pendant 18 ans. Donc au bout des 18 ans, on aura dans le compte courant la rente foncière de l'année deux, fois 1 plus i sur 18 ans etc. Et même la rente foncière la dix-neuvième année, de l'avant dernière année, va encore porter des intérêts pendant une année, va un petit peu augmenter avec des intérêts à 3,5 %. Donc si je fais ça je fais la somme de ces cash-flows, capitalisés, la rente foncière de la première année, la deuxième année, etc, jusqu'à la dix-neuvième année, plus la vingtième année, et encore le produit de la vente de 1 000 à la vingtième année, j'additionne tout ça, et bien j'ai à la fin de mon compte immobilier, ou dans mon compte courant puisque j'ai vendu le terrain, j'ai 2 273, bien plus que les 1 990 du placement financier. Donc maintenant on voit clairement que le placement foncier est effectivement plus rentable que le placement financier, comme on s'y attendait dès l'énoncé du problème. Ce schéma permet encore mieux de comprendre ce qu'il se passe. D'abord, on a la représentation du placement financier. Les colonnes oranges représentent les intérêts. Sur l'axe de droite. Donc on part de 35, et on a des intérêts annuels qui sont de plus en plus important puisqu'ils intègrent les intérêts sur les intérêts, les intérêts composés. On arrive presque à 70 au bout de 20 ans. Le socle du compte courant part à 1 000, puisqu'on a c'est la somme qu'on a mise, qu'on a placé dans le compte courant pour le placement financier, et s'ajoute chaque année, sur l'échelle de gauche cette fois, les revenus annuels qui font que mon solde du compte courant atteint 1990, presque 2 000, au terme des 20 ans. Donc on voit bien la croissance des intérêts du placement financier qui sont le reflet des intérêts composés, on a 3,5 % d'intérêt chaque année, mais malgré ça le revenu annuel augmente, et puis on voit bien comme le solde du compte courant évolue de façon en fait presque exponentielle. Voila le même schéma pour le placement foncier. Ce qu'on voit, on trouve en orange, ce sont les revenus annuels qui partent de 45 sur l'axe de droite ils partente de 45 puisque c'est la rente foncière. Et les revenus annuels vont aussi augmenter, malgré une rente foncière constante à 45, pourquoi, ben parce que le, les 45 sont versés dans le compte courant, ils vont porter intérêt, un intérêt qui va s'ajouter chaque année à la rente foncière, de façon à avoir un revenu de plus en plus important. A l'année 19, la partie intérêt est presque aussi importante que la rente foncière. C'est-à-dire qu'on a presque doublé la rente foncière avec les intérêts sur le montant accumulé dans le compte courant. Le compte courant part de zéro, puisqu'on a utilisé tout l'argent, tout le capital pour acheter le terrain, mais, le solde du compte courant augmente assez rapidement, et il augmente plus rapidement que dans le placement financier, puisque les revenus annuels sont plus importants, et surtout à la dernière année il y a un revenu annuel extrêmement important, encore plus important que ce qui est représenté dans la barre la barre va plus haut en fait, puisqu'il y a là-dedans en fait le produit de la vente du terrain; en plus du revenu. Et donc on a une, on n'a pas 175, mais on a 1 000, un peu plus de 1 000 comme revenu, produit si vous voulez, de la vingtième année qui va s'ajouter dans le compte courant, et faire monter le compte courant à quelque chose comme 2 300 unités monétaires. On voit maintenant clairement l'avantage du placement foncier, des revenus plus élevés chaque année. Une autre façon de vérifier la rentabilité du placement foncier par rapport au placement financier, c'est de calculer la valeur actuelle de tous les cash-flows générés par le placement foncier. Donc les différentes rentes foncières et le produit de la vente à la fin de la vingtième année. Alors, les paramètres sont les suivants, la rente foncière est constante à 45, donc on a 45 chaque fois ici au numérateur, et puis le produit de la vente à l'année n égale à 20 égal à 1 000, donc c'est le montant qu'il faut inscrire ici. Le taux d'intérêt, qu'on appelle taux d'actualisation, c'est celui qui est utilisé pour ramener à aujourd'hui les montants futurs, ce taux d'intérêt c'est 3,5 %, c'est celui du placement financier, et si je fais ce calcul, si je calcule cette formule avec des rentes foncières ou des revenus annuels de 45 et produit de vente de 1 000 à l'année 20 et un taux d'intérêt de 3,5 %, eh bien cette somme est égale à 1 142. Donc on voit que la valeur actuelle des cash-flows du placement foncier actualisée au taux d'actualisation de 3,5 % est égale à 1 142, alors que la valeur présente, si vous voulez, du placement financier, ce qu'on a dans le compte courant, ce qu'on a dans le placement financier, c'est 1 000, à la date zéro. Par conséquent, cette manière d'actualiser les cash flow me montre que le placement foncier est plus intéressant effectivement que le placement financier. Non seulement les valeurs terminales par capitalisation sont différentes, elle est plus élevée pour le placement foncier, mais de la même manière, la valeur actualisée des cash-flows est plus élevée pour le placement foncier. Si vous voulez, vous pouvez faire l'exercice, calculez les intérêts, les revenus annuels du placement financier chaque année pendant 20 ans, au terme de la vingtième année on récupère simplement les 1 000, on actualise tout ça à 3,5 % et on trouve comme somme, comme valeur actuelle, exactement les 1 000. Dans cette leçon, nous avons vu l'actualisation et la capitalisation, qui sont deux opérations financières permettant de ramener les montants des payements à la même date. L'actualisation à la date présente, actuelle, la capitalisation à une date future, commune pour tous les payements. Nous avons aussi vu dans cette leçon la valeur actuelle des cash-flows, c'est-à-dire la somme des cash-flows générés par un immeuble ramené tous à la même date présente. Et cette valeur actuelle des cash-flows, c'est un peu le pendant de la valeur terminale du fond immobilier, nous avons vu dans une leçon précédente. Enfin nous avons vu que l'arbitrage devrait reposer sur la comparaison des valeurs actuelles de différents placements, de différentes alternatives de placement. Dans le module suivant, nous allons opérer des transformations, nous allons travailler avec cette formule de la valeur actuelle des cash-flows qui est si importante dans l'évaluation immobilière. Merci d'avoir suivi cette leçon, et rendez-vous dans la prochaine.
