На примере следующей задачи давайте научимся вычислять тензор инерции.
Задача следующая.
У нас есть цилиндр, масса задана, радиус основания известен,
и высота тоже известна — это m, R и H.
Необходимо вычислить тензор инерции для центра масс,
для осей, как показано на рисунке.
То есть ось z вдоль оси симметрии цилиндра, ось x, y — в плоскости,
перпендикулярной оси симметрии цилиндра.
Давайте вспомним определение, по которому нужно вычислять моменты
инерции для тензора, составляющую для тензора.
Момент инерции относительно оси z вычисляется по формуле — интеграл
по твердому телу, (x² +
y²) * элемент массы.
Элемент массы через объем выражается при помощи плотности.
Плотность: считаем, что цилиндр однородный, поэтому плотность постоянна,
можно вынести за знак интеграла.
И интеграл преобразуется к такому виду — (x² + y²) * dv.
Этот интеграл можно вычислить разными способами — можно взять
концентрические окружности, можно сделать замену переменных.
Мы сделаем замену переменных — перейдем к полярным координатам.
x — это rcosφ, y = rsinφ,
и z = z.
В этом случае
элемент объема через дифференциалы dr,
dφ и dz запишется как r dr dφ dz,
где r — это якобиан преобразования между координатами.
Теперь перейдем к тройному интегралу.
ρ интеграл
от 0 до R, r в кубе, dr,
интеграл от 0 до 2π по dφ,
интеграл от −H/2 до H/2 по dz.
Плотность цилиндра — это масса цилиндра разделить на его объем,
то есть масса разделить на πr квадрат H.
Интеграл первый — это R в четвертой разделить на 4,
второй интеграл равен 2π, третий интеграл равен H.
Вычисляем и получаем, что момент инерции
относительно оси z — это mR² / 2.
Первый ответ мы получили.
Теперь найдем моменты инерции относительно осей x и y.
Заметим, что оси x и
y у нас равноправны, поэтому моменты инерции в силу симметрии цилиндра
относительно оси x и относительно y должны быть равны друг другу.
Поэтому мы знаем,
что Ix = Iy и для вычисления момента,
например, относительно оси x воспользуемся тем,
что это 1/2 от суммы моментов относительно оси x и относительно оси y.
По определению заменим момент относительно оси x и относительно y,
получим следующий интеграл.
y² + z² — это для момента относительно оси x, + x²,
+ z² — относительно оси y, на элемент массы.
Смотрите, для x² + y² мы уже
вычислили выражение и получили, что это момент инерции относительно оси z,
то есть момент инерции относительно оси x — это 1/2 момента
относительно оси z плюс 1/2 от следующего интеграла.
Интеграл по всему твердому телу, двойка вылазит
из-под знака интегрирования, z² * dm.
Нам необходимо вычислить вот этот интеграл — z² * dm.
Вычислять будем точно таким же образом.
Интеграл z² * dm —
это плотность выносим за знак интегрирования,
z² * dV.
Точно таким же образом переходим к полярным координатам
и от объемного интеграла переходим к трем одинарным,
то есть ρ умножить на интеграл от 0 до R,
r dr, r из якобиана отображения.
Интеграл от 0 до 2π по dφ и
интеграл от z² по
dz от −H/2 до H/2.
Опять же, подставляем плотность — это масса
разделить на объем,
πR²H.
Первый интеграл — это R² / 2,
второй интеграл — 2π,
третий интеграл — это 2
* (H³ / 3 * 8).
Преобразуем, сокращаем, например,
π, H, R² и получаем в ответе mH² / 12.
В результате момент инерции относительно
оси x равен моменту инерции относительно оси y и равен mR²
/ 4 + mH² / 12.
Теперь нам осталось вычислить только центробежные моменты инерции — Ixy,
Ixz и Iyz.
Если вы вспомните формулу для центробежных моментов инерции,
то вспомните то,
что там будет входить перекрестные произведения xy, xz, yz.
То есть под знак интеграла у вас обязательно попадет произведение cos,
sin на что-нибудь — друг на друга, либо на константу.
В этом случае при интегрировании от 0 до 2π этот интеграл будет равен 0,
поэтому центробежные моменты инерции равны 0.
Выпишем здесь.
Теперь выпишем итоговый тензор инерции.
Тензор инерции для центра масс
в координатах x, y,
z равен масса *
H² / 12 +
mR² / 4 — первый элемент.
Второй диагональный элемент — mH² / 12 + mR² / 4.
И третий диагональный элемент — mR² / 2.
Не диагональные элементы равны 0,
так как это центробежные моменты инерции.
В результате мы непосредственными вычислениями нашли тензор инерции.
Спасибо за внимание.
Задача решена.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
