我们现在要讨论的是把前面讲的东西给它归纳,理论化。
给它理论上能够最后 明确是个什么形式。也就是说我们前面讨论了
高斯定理和环路定理都是积分形式。那么 在这里讲到静电场基本方程的微分形式的时候。
我们要用到一些数学工具。这些数学工具也许你们还没有掌握好。
但是呢你可以认识到,在数学场论里
有两个非常重要的公式。这公式叫高斯定理 这个叫斯托克斯公式。
在赵凯华书后面的那个附录里边。
比较认真的讲了这个,而且是从物理的角度 来讲的。看起来也不是很难看,不是很难看。
那么总而言之像这个,是对于闭合曲面的
通量把它变成矢量的散度
对一个相应S的这个包围的这个体积的积分。
这实际上是一个面积分和 变到体积分的这么一个变化。
这个实质是一个 矢量的环量,沿着闭合回路的环量。
通过这个变换可以变成这个矢量的弦度。
对这个S度 决定的这个所对应的这个开面的通量。
啊,是线积分变成面积分。
那么利用这两个公式呢,我们可以对静电场的积分方程的积分形式。
进行变换,得到一组静电场的基本微分方程。
讲这段的目的
是把我们将来电动力学要学的东西,我在这里先端给你看一下。
啊,先端给你看一下。那么你们将来可能到了学电动力学,学过数理学物理方法以后。
再学电动力学,那么你就知道我在普物里边学过积分形式,老师也告诉我 微分形式是这样子的,那么你们就从这个地方接着往下学。
接着往下学。但是我们并不要求你在电磁学里就把微分方程 会解。因为他需要数学物理方程。
没有那些解偏微方程的办法,你是没有办法在我们这个层次里来解这个问题。
所以我们目前只是告诉你最后的结果在电动力学里 是什么表示。那么这样的话我们跟电动力学有了衔接。
这样你们学习不会觉得,怎么电磁学讲一套,电动力学讲一套。有一个互相的衔接。
这样的一个内容。好,我们现在
就来做一个变换,其实这个变换很容易,你只要承认这两个公式。
我们知道积分方程,E•ds等于闭合曲面的积分等于 ε0
分子 q。那么内容 数学场论的高斯定理当然可以变成
E的散度对S所框的这个体积的积分
对吧。所以呢它也等量,等价于这个形式,等于它。
那么这q是什么呢?q是闭合曲面所包围的电量。
这电量我可以用电荷密度对于体积积分来表示。
你有同学说,那你这个ρ是什么? 如果我是个点电荷,这个ρ就是什么,在这个点
上是ρ,是那个q,以外都是0。
对吧,我总可以想办法用一个函数来表示它。
如果是个氢原子,那么中间一个核是正电荷,核外有负电荷。
对吧,负电荷分布是沿 r 径向的,那么也可以写出一个ρ来。
这里呢闭合曲面包围的电量 我可以用一个三重积分,用体电荷密度来表示。
那么于是这两个体积应该是一样的。那么我们呢
在物理层面上来比较这个积分,我们可以得到
E的散度等于ε分之ρ,这就是高斯定理的微分形式。
高斯定理的微分形式。那么从这里可以看到,一个矢量的散度
不等于0就是有源,就是有源。
好。那么同样,我们对E•dl。
我用高斯公式给它换成了它的弦度的通量。
它本身就等于0。因此微积函数E的旋度等于0。
那么说明这是无旋。
所以这是高斯定理的微分形式,这是环路定理的微分形式。
所以我们可以写在一起,在静电场 我们说这两个方程就是场方程的微分形式。
我们学到现在,就是学了一个这个,一个 这个,然后再把它变换过来,浓缩下来就这么多。
那么大家要说了,你不还讲了个电势吗?
这些都是用场强来表示的,假如我用电势来表示可不可以呢?
其实也是可以。因为场强是一个基本的物理量。
它表示了单位正电荷所受的力。
那么电场也可以用电势来表示。
我们说呢电势呢我们说跟场强是有一定关系。
因此,我们把场强等于电势梯度的负值
带到这里去。那么于是就可以得到,代进去以后你看,它对
梯度再取点乘,于是得到什么,这是拉布拉斯。
是吧,就说这两个拉布拉斯
点乘,那么等到一个拉布拉斯平方,也叫拉布拉斯算子。
叫拉布拉斯算子,这个算子一直会伴随你们到 电动力学,量子力学,总会遇到它。
所以现在呢认识认识,先打个照面,熟悉一下,没关系。
那么也就是说这个电势梯,电势。
它的这个拉布拉斯算子作用在电势上。
负的啊,等于ε0分之ρ。这个就 构成了一个方程,叫什么方程,泊松方程。
在你们数学物理方法里边。
一开始就会分离变量,泊松方程,这是一个跟时间无关的。
在电动力学里边,一开始讲静电问题,就面对这个方程。
就面对这个方程。那么现在我们可以知道,它也是一个静电场的方程。
其实它怎么来的呢,它就是这两个方程利用了电势梯度得来的。
所以说这是泊松方程。那么如果
ρ是零,泊松方程这边是负的 ε0 分之 ρ。
如果ρ是零,那么这个方程就变成了 这样的一个方程,也就是说
拉布拉斯算子作用在电势上等于零,这是一个特殊的情况。
这叫拉布拉斯方程,拉布拉斯方程。那么我们说这些就构成了
静电场的基本微分方程。这个方程是它的特殊情况。
对吧。那么像这样的方程,它应该是普世的。
所以在数学物理方法里面,把这个方程 这种方程应该把它叫做什么呢?叫做范泛定方程。
[书写声音] [书写声音]
是普遍成立的,泛定。
所以光有这个方程是不能定解的。
那么你想确定某一个问题,比如你们。
我们,你们中学有时候搞物理竞赛可能会遇到,比如说我用
那个镜像法,我可以去猜到解。
那么一般有些问题不能用镜像法做怎么办?
它满足泛定方程,再有一定的边界条件,所以它再加上边界条件。
[书写声音] 这就构成一个定解问题。