Visualizando o Efeito do Acréscimo de um Zero e um Polo no LGR

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En provenance du cours de Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle de Sistemas no Plano-s

52 notes

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle de Sistemas no Plano-s

52 notes

Após esse curso você será capaz de esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR - Root Locus) do denominador da Função de Transferência em Malha Fechada a partir dos polos e zeros da Função de Transferência em Malha aberta. Você também será capaz de projetar controladores de avanço de fase para atender simultaneamente requisitos de desempenho de amortecimento e de velocidade da resposta. Você também será capaz de projetar controladores de atraso de fase para atender requisitos de erro em regime permanente sem alterar as características de estabilidade e da resposta transitória do sistema. Você verá que os controladores PD e PI podem ser considerados como casos especiais dos controladores de avanço e de atraso de fase e verá também que você pode combinar os dois tipos de controladores em controladores de avanço e atraso de fase ou em controladores PID. Por fim você será capaz de modelar o efeito do atraso de transporte em um sistema com realimentação e de contrapor esse efeito projetando um controlador ou fazendo ajustes em um controlador já projetado. Desso modo dado um sistema linear e invariante no tempo e requisitos de amortecimento, velocidade e erro em regime permanente você será capaz de projetar um controlador que fará com que o sistema em malha fechada atenda simultaneamente a esses três tipos de requisitos. E você aprenderá tudo isso usando o MATLAB, uma ferramenta computacional extremamente útil para a análise, projeto e simulação de sistemas.

À partir de la leçon

Controlador de avanço de fase

Neste módulo você aprenderá a projetar um controlador de avanço de fase, também conhecido como controlador lead, para atender a requisitos de desempenho que não poderiam ser atendidos com um sistema controle proporcional. Você aprenderá também o que é o controlador PD.

Impossibilidade de Obter o Tempo de Acomodação Desejado com Controle Proporcional7:05

Visualizando o Efeito do Acréscimo de um Zero e um Polo no LGR6:43

Rencontrer les enseignants

Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle

Após esse vídeo,

você será capaz de explicar o efeito do acréscimo de 0 e de polo no LGR.

Vamos mudar pouco nossa função de transferência e usar uma função de segunda

ordem mais o tipo 0, G de s é igual a 5 sobre s mais 1 s mais 5.

Você já sabe o que o LGR desta função de transferência é o eixo real entre menos

1 e menos 5 e a reta vertical com parte real igual a menos 3.

O que acontece com LGR se acrescentarmos polo e 0?

Vamos descobrir.

Vamos começar acrescetando polo menos 6 e 0 menos 8,

de modo que a função de transferência fica G1 de s igual 5 s mais 8 sobre,

s mais 1, s mais 5, s mais 6.

Vamos esboçar o LGR de G1.

No eixo real, os trechos entre menos 1 e menos 5,

e entre menos 6 e menos 8 fazem parte do lugar geométrico.

Temos duas assíntotas a mais e menos 90 graus que cruzam o eixo real menos 2.

Creio que está claro que os ramos do LGR saem do eixo real

algum lugar entre menos 1 e menos 5, e tendem para as assíntotas.

Não está?

Se você quiser você pode calcular exatamente qual é esse ponto.

Para nosso esboço vamos considerar que ele está próximo do ponto médio isso é,

menos 3.

Vamos mudar a cor desse segundo LGR para vermelho e sobrepor ele ao anterior.

Note que para atender as novas assíntotas que foram deslocadas para direita

relação as assíntotas do sistema original,

os ramos do LGR do sistema com o polo e os 0 adicionais foram para direita.

Vamos fazer uma análise literal do que acontece com o ponto de cruzamento

das assíntotas ao adicionarmos polo e 0 ao sistema.

Vamos analisar Ga de s é igual a 5s mais a sobre, s mais b, s mais 1, s mais 5.

Note que como acrescentamos polo e 0, a diferença n menos m continua a mesma.

Antes tínhamos 2 menos 0, agora temos 3 menos 1,

e o ponto de cruzamento das assíntotas será menos 1, menos 5,

menos b mais a, sobre 2 o que dá menos 3, mais a menos b, sobre 2.

Se a maior que b como nesse caso, o cruzamento das assíntotas é

deslocado para a direita, e quanto maior for a diferença entre a e b,

maior é esse deslocamento do ponto de cruzamento das assíntotas.

Se a diferença for maior que 6,

o cruzamento das assíntotas estará no semi plano da direita e o sistema

ficará instável se ganho suficientemente grande for utilizado.

Será mesmo?

Como exercício considere a igual a 20 e b igual a 10, e analise o

denominador da função de transferência malha fechada usando Routh Hurwitz,

você verá que existe limitante superior para o ganho.

Mas então se a menor que b o ponto de cruzamento das assíntotas será

deslocado para a esquerda.

E poderiamos por exemplo atender a requisito de tempo de acomodação que não

poderia ser atendido pelo sistema original.

Vamos inverter as posições do polo e do 0.

Agora o polo será menos 8, e o zero será menos 6.

E a função de transferência fica, G2 de s igual a 5,

s mais 6 sobre s mais 1, s mais 5, s mais 8.

Vamos esboçar o LGR de G2.

No eixo real, os trechos entre menos 1 e menos 5 e entre menos 6 e menos 8.

Duas assíntotas a mais e menos 90 graus que cruzam o eixo real menos 4.

Completando o LGR mudando a cor para vermelho e sobrepondo ele ao original,

e como previsto os ramos do LGR foram mais para a esquerda.

Você pode confirmar essa alteração do LGR usando o Matlab.

Novamente nem vou me dar ao trabalho de executar o Matlab.

Digite as seguintes instruções na linha de comando G igual a zpk nenhum 0,

polos menos 1 e menos 5 e ganho 5, e G1 igual a zpk 0 menos 8,

polos menos 1 menos 5 e menos 6 ganho 5.

E então rlocus G, G1.

Você vai ver os lugares geométricos das raízes de G e G1 no mesmo gráfico.

Depois você pode digitar G2 igual a zpk, 0 menos 6,

polos menos 1, menos 5 e menos 8 ganho 5, e rlocus G, G2.

Você notará que o ponto de saída também se desloca para a direita ou para a esquerda,

acompanhando o deslocamento do ponto de cruzamento das assíntotas.

Se quiser achar o ponto de saída do eixo real

função de a e b e verificar que ele se desloca para direita se a maior que b,

e para esquerda de a menor do que b fique a vontade.

Eu não vou fazer isso não,

crie também a função de transferência com a igual a 20 e b igual a 10.

E verifique que para k elevado o sistema terá polos malha fechada no

semi plano da direita, Ga igual a zpk menos 20 menos 10,

menos 1, menos 5 e 5, rlocus G, Ga.

Lembra do efeito do terceiro polo de 0 na resposta ao degrau?

O terceiro polo deixa a resposta mais lenta e mais amortecida e o 0 deixa

a resposta mais rápida e menos amortecida, se tivermos terceiro

polo e 0 quem está mais próximo da origem influencia mais a resposta.

No LGR temos efeito parecido ao adicionarmos polo e 0 alteramos o LGR.

O 0 tende a fazer com que LGR se deforme para a esquerda e enquanto o

polo tende a fazer com que ele se deforme para a direita.

E o elemento que estiver mais a direita ou mais próximo da origem,

se ambos forem negativos, influencia mais o LGR.

Assim, adicionando o polo mais a direita que o 0, o LGR vai ser deformado para

a direita e a adicionando o 0 mais a direita que o polo o LGR vai

ser deformado para a esquerda, uma forma fácil de lembrar esse efeito,

é pensar que o LGR se deforma na direção do polo.

Polo mais a direita deformação para a direita,

polo mais para a esquerda deformação para a esquerda.

Agora você já é capaz de explicar o efeito do acrescimo de 0 e de polo no LGR,

e você já deve ter imaginado que acrescentando polo e 0 podemos deformar o

LGR e fazer com que seus ramos passem pela região de desempenho desejado.

Assim, acrescentado polo e 0 de forma adequada seremos capazes

de atender requisitos que não poderiamos atender apenas ajustando o ganho de

controle proporcional.

No próximo vídeo, você verá como calcular a contribuição de fase necessária

para possibilitar que os requisitos de desempenho sejam atendidos.

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