Após esse vídeo,
você será capaz de explicar o efeito do acréscimo de 0 e de polo no LGR.
Vamos mudar pouco nossa função de transferência e usar uma função de segunda
ordem mais o tipo 0, G de s é igual a 5 sobre s mais 1 s mais 5.
Você já sabe o que o LGR desta função de transferência é o eixo real entre menos
1 e menos 5 e a reta vertical com parte real igual a menos 3.
O que acontece com LGR se acrescentarmos polo e 0?
Vamos descobrir.
Vamos começar acrescetando polo menos 6 e 0 menos 8,
de modo que a função de transferência fica G1 de s igual 5 s mais 8 sobre,
s mais 1, s mais 5, s mais 6.
Vamos esboçar o LGR de G1.
No eixo real, os trechos entre menos 1 e menos 5,
e entre menos 6 e menos 8 fazem parte do lugar geométrico.
Temos duas assíntotas a mais e menos 90 graus que cruzam o eixo real menos 2.
Creio que está claro que os ramos do LGR saem do eixo real
algum lugar entre menos 1 e menos 5, e tendem para as assíntotas.
Não está?
Se você quiser você pode calcular exatamente qual é esse ponto.
Para nosso esboço vamos considerar que ele está próximo do ponto médio isso é,
menos 3.
Vamos mudar a cor desse segundo LGR para vermelho e sobrepor ele ao anterior.
Note que para atender as novas assíntotas que foram deslocadas para direita
relação as assíntotas do sistema original,
os ramos do LGR do sistema com o polo e os 0 adicionais foram para direita.
Vamos fazer uma análise literal do que acontece com o ponto de cruzamento
das assíntotas ao adicionarmos polo e 0 ao sistema.
Vamos analisar Ga de s é igual a 5s mais a sobre, s mais b, s mais 1, s mais 5.
Note que como acrescentamos polo e 0, a diferença n menos m continua a mesma.
Antes tínhamos 2 menos 0, agora temos 3 menos 1,
e o ponto de cruzamento das assíntotas será menos 1, menos 5,
menos b mais a, sobre 2 o que dá menos 3, mais a menos b, sobre 2.
Se a maior que b como nesse caso, o cruzamento das assíntotas é
deslocado para a direita, e quanto maior for a diferença entre a e b,
maior é esse deslocamento do ponto de cruzamento das assíntotas.
Se a diferença for maior que 6,
o cruzamento das assíntotas estará no semi plano da direita e o sistema
ficará instável se ganho suficientemente grande for utilizado.
Será mesmo?
Como exercício considere a igual a 20 e b igual a 10, e analise o
denominador da função de transferência malha fechada usando Routh Hurwitz,
você verá que existe limitante superior para o ganho.
Mas então se a menor que b o ponto de cruzamento das assíntotas será
deslocado para a esquerda.
E poderiamos por exemplo atender a requisito de tempo de acomodação que não
poderia ser atendido pelo sistema original.
Vamos inverter as posições do polo e do 0.
Agora o polo será menos 8, e o zero será menos 6.
E a função de transferência fica, G2 de s igual a 5,
s mais 6 sobre s mais 1, s mais 5, s mais 8.
Vamos esboçar o LGR de G2.
No eixo real, os trechos entre menos 1 e menos 5 e entre menos 6 e menos 8.
Duas assíntotas a mais e menos 90 graus que cruzam o eixo real menos 4.
Completando o LGR mudando a cor para vermelho e sobrepondo ele ao original,
e como previsto os ramos do LGR foram mais para a esquerda.
Você pode confirmar essa alteração do LGR usando o Matlab.
Novamente nem vou me dar ao trabalho de executar o Matlab.
Digite as seguintes instruções na linha de comando G igual a zpk nenhum 0,
polos menos 1 e menos 5 e ganho 5, e G1 igual a zpk 0 menos 8,
polos menos 1 menos 5 e menos 6 ganho 5.
E então rlocus G, G1.
Você vai ver os lugares geométricos das raízes de G e G1 no mesmo gráfico.
Depois você pode digitar G2 igual a zpk, 0 menos 6,
polos menos 1, menos 5 e menos 8 ganho 5, e rlocus G, G2.
Você notará que o ponto de saída também se desloca para a direita ou para a esquerda,
acompanhando o deslocamento do ponto de cruzamento das assíntotas.
Se quiser achar o ponto de saída do eixo real
função de a e b e verificar que ele se desloca para direita se a maior que b,
e para esquerda de a menor do que b fique a vontade.
Eu não vou fazer isso não,
crie também a função de transferência com a igual a 20 e b igual a 10.
E verifique que para k elevado o sistema terá polos malha fechada no
semi plano da direita, Ga igual a zpk menos 20 menos 10,
menos 1, menos 5 e 5, rlocus G, Ga.
Lembra do efeito do terceiro polo de 0 na resposta ao degrau?
O terceiro polo deixa a resposta mais lenta e mais amortecida e o 0 deixa
a resposta mais rápida e menos amortecida, se tivermos terceiro
polo e 0 quem está mais próximo da origem influencia mais a resposta.
No LGR temos efeito parecido ao adicionarmos polo e 0 alteramos o LGR.
O 0 tende a fazer com que LGR se deforme para a esquerda e enquanto o
polo tende a fazer com que ele se deforme para a direita.
E o elemento que estiver mais a direita ou mais próximo da origem,
se ambos forem negativos, influencia mais o LGR.
Assim, adicionando o polo mais a direita que o 0, o LGR vai ser deformado para
a direita e a adicionando o 0 mais a direita que o polo o LGR vai
ser deformado para a esquerda, uma forma fácil de lembrar esse efeito,
é pensar que o LGR se deforma na direção do polo.
Polo mais a direita deformação para a direita,
polo mais para a esquerda deformação para a esquerda.
Agora você já é capaz de explicar o efeito do acrescimo de 0 e de polo no LGR,
e você já deve ter imaginado que acrescentando polo e 0 podemos deformar o
LGR e fazer com que seus ramos passem pela região de desempenho desejado.
Assim, acrescentado polo e 0 de forma adequada seremos capazes
de atender requisitos que não poderiamos atender apenas ajustando o ganho de
controle proporcional.
No próximo vídeo, você verá como calcular a contribuição de fase necessária
para possibilitar que os requisitos de desempenho sejam atendidos.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
