Após esse vídeo,
você será capaz de representar requisito de tempo de subida no Plano-s.
Você deve lembrar da fórmula para o cálculo de tempo de subida de 0
a 100% do valor final.
O tempo de subida é pi menos beta sobre ômega d, que é
pi menos arco cosseno xsi sobre ômega n raiz quadrada de 1 menos xsi ao quadrado.
O problema com esta fórmula é que ele não depende de apenas dos parâmetros da
nossa função de transferência de segunda ordem, como nos outros casos.
Então a fronteira da região que atenderia a requisito de tempo
de subida de 0 a 100% ficaria pouco mais complicada.
Ao invés de usarmos o tempo de subida de 0 a 100% do valor final,
podemos usar o tempo de subida de 10 a 90% do valor final e esse tempo
de subida pode ser aproximado por 1,8 ksi ao cubo menos 0,4 ksi
ao quadrado mais ksi mais 1 sobre ômega n ou 2,3 ksi ao quadrado
menos 0,08 ksi mais 1,1 sobre ômega n ou 2 ksi mais
0,65 sobre ômega n ou ainda 1,6 sobre ômega n.
Uma observação: essas são as, são as minhas aproximações aproximadas.
Pode ser que você encontre fórmulas com coeficientes ligeiramente diferentes,
com mais algarismos significativos, por aí.
Vamos dar uma olhada nessas aproximações quando comparadas ao valor
simulado do tempo de subida de 10 a 90% do valor final.
Eu simulei a resposta ao degrau para vários valores de ksi e calculei o
tempo de subida de 10 a 90%.
Na verdade o Matlab fez isso por mim e o gráfico de t r vezes
ômega n função de ksi é esse.
Estou multiplicando t r por ômega n para ter o mesmo gráfico
independente de ômega n.
Note que ômega n aparece no denominador de todas as fórmulas do tempo de subida,
então usando essas fórmulas t r ômega n é uma função apenas de ksi.
Acrescentando os tempos de subida calculados com as aproximações
temos esse gráfico.
No material adicional você encontrará o conjunto de instruções para
reproduzir esses gráficos.
A aproximação vermelho é a de terceiro grau e a verde é a de segundo grau.
Ambas aproximam bem os resultados simulados toda a extensão de ksi.
Magenta temos a aproximação de primeiro grau,
que é bem razoável para ksi entre 0,35 e 0,65.
Mas pode ser usada até para ksi entre 0,25 e 0,75.
E finalmente azul temos a aproximação que não depende de ksi,
que é aceitável para ksi próximo de 0,5.
Entre 0,45 e 0,55, ela é bem razoável e
até dá para usar ela com ksi entre 0,4 e 0,6.
Caso você precise usar o tempo de subida de 0 a 100% do valor final e não
possa substituir esse requisito por requisito de tempo de subida de 10 a 90%,
podemos também fazer uma aproximação da fórmula do tempo de subida.
Uma aproximação de primeiro grau é 3 ksi mais 1 sobre
ômega n e uma aproximação constante com relação a ksi é 2,4 sobre ômega n.
Vamos ver o gráfico do tempo de subida vezes ômega n calculado com
a fórmula exata e com essas duas aproximações.
Magenta temos a aproximação de primeiro grau,
que é bem razoável para ksi entre 0,3 e 0,65.
E azul temos a aproximação que não depende de ksi,
que é aceitável para ksi próximo de 0,5.
Você pode reproduzir esse gráfico fazendo algumas alterações no
conjunto de instruções usados para gerar os gráficos anteriores.
Para facilitar a apresentação do requisito do tempo de subida no Plano-s,
vamos usar as aproximações que não dependem de ksi, ou seja,
o tempo de subida de 10 a 90% será aproximado por 1,6 sobre
ômega n e o tempo de subida de 0 a 100% por 2,4 sobre ômega n.
A rigor essas aproximações seriam válidas para ksi próximo de 0,5,
mas vamos fingir que elas são válidas para ksi entre 0 e 1.
Então, dado tempo de subida máximo, temos ômega n mínimo.
Por exemplo, t r de 10 a 90% menor ou igual a X segundos,
resulta ômega n maior ou igual a 1,6 sobre X.
E o t r de 0 a 100% menor ou igual a Y segundos,
resulta ômega n maior ou igual a 2,4 sobre Y.
De qualquer forma, teremos ômega n maior ou igual a número Z.
No Plano-s essa restrição ou o requisito de tempo de subida, pode ser representado
por toda a região do semiplano esquerdo a uma distância maior que Z da origem.
Quanto mais afastado da origem o polo estiver, menor será o tempo de subida.
Agora você já é capaz de representar requisito de tempo de subida no Plano-s.
No próximo vídeo, você verá que alguns casos,
a resposta ao degrau de sistema de segunda ordem pode ser
aproximada pela resposta ao degrau de sistema de primeira ordem.