Infinitas Soluções, Soluções Mais Adotadas

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En provenance du cours de Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle de Sistemas no Plano-s

52 notes

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle de Sistemas no Plano-s

52 notes

Após esse curso você será capaz de esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR - Root Locus) do denominador da Função de Transferência em Malha Fechada a partir dos polos e zeros da Função de Transferência em Malha aberta. Você também será capaz de projetar controladores de avanço de fase para atender simultaneamente requisitos de desempenho de amortecimento e de velocidade da resposta. Você também será capaz de projetar controladores de atraso de fase para atender requisitos de erro em regime permanente sem alterar as características de estabilidade e da resposta transitória do sistema. Você verá que os controladores PD e PI podem ser considerados como casos especiais dos controladores de avanço e de atraso de fase e verá também que você pode combinar os dois tipos de controladores em controladores de avanço e atraso de fase ou em controladores PID. Por fim você será capaz de modelar o efeito do atraso de transporte em um sistema com realimentação e de contrapor esse efeito projetando um controlador ou fazendo ajustes em um controlador já projetado. Desso modo dado um sistema linear e invariante no tempo e requisitos de amortecimento, velocidade e erro em regime permanente você será capaz de projetar um controlador que fará com que o sistema em malha fechada atenda simultaneamente a esses três tipos de requisitos. E você aprenderá tudo isso usando o MATLAB, uma ferramenta computacional extremamente útil para a análise, projeto e simulação de sistemas.

À partir de la leçon

Controlador de avanço de fase

Neste módulo você aprenderá a projetar um controlador de avanço de fase, também conhecido como controlador lead, para atender a requisitos de desempenho que não poderiam ser atendidos com um sistema controle proporcional. Você aprenderá também o que é o controlador PD.

Calculando a Contribuição do Controlador9:25

Infinitas Soluções, Soluções Mais Adotadas7:55

A Necessidade do Ganho Exato11:49

O Controlador PD, Proporcional-Diferencial11:57

Rencontrer les enseignants

Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle

Após esse vídeo,

você será capaz de mostrar que existem infinitas possibilidades para posicionar

polo e zero de modo a ter a contribuição de fase necessária.

E será capaz também, de citar e de explicar as soluções mais adotadas.

Vamos usar a seguinte função de transferência de terceira ordem do tipo

1: G de s é igual a 200 sobre s, s mais 10, s mais 20.

E vamos partir diretamente do nosso polo desejável malha fechada que, nesse caso,

será quadradinho d, igual a menos 5,

mais 7 j, que foi obtido a partir dos requisitos de desempenho.

Precisamos verificar se quadradinho d faz parte do LGR.

Se isso ocorrer, só precisamos calcular o ganho k necessário para posicionar

corretamente os polos malha fechada.

Nós temos a fase de G de quadradinho d é igual a menos a fase de quadradinho d,

menos a fase de quadradinho d mais 10, menos a fase de quadradinho d mais 20.

Substituindo o quadradinho d, esta fase fica menos a fase de menos 5 mais 7 j,

menos a fase de 5 mais 7 j, menos a fase de 15 mais 7 j.

Calculando as fases, nós temos menos 125,5 graus, menos 54,

5 graus, menos 25 graus, o que dá menos 205 graus.

Então, precisamos ter a fase de C de quadradinho d igual a 25 graus.

E a fase de C de quadradinho d é a fase de quadradinho mais a,

menos a fase de quadradinho mais b.

Então, precisamos ter a fase de quadradinho mais a igual a fase de

C de quadradinho d, mais a fase de quadradinho mais b.

No nosso exemplo, a fase de a menos 5 mais 7 j,

tem de ser igual a 25 mais a fase de b menos 5 mais 7 j.

Vamos supor que, tanto a quanto b sejam maiores do que 5.

Nesse caso, nós temos arcotangente de 7 sobre a menos 5 igual a 25,

mais o arcotangente de 7 sobre b menos 5.

Se usarmos b igual a 12, nós teremos arcotangente de 7 sobre

a menos 5 vai ser igual a 25 graus mais 45 graus, o que dá 70 graus.

Então, a será 7 sobre tangente de 70 graus mais 5.

Efetuando as contas chegamos a a, aproximadamente, 7, 55.

Por outro lado, se usarmos b igual a 75, teremos: arcotangente

de 7 sobre a menos 5 é igual a 25 mais 5,7 graus que dá 30,7

graus e o a será 7 sobre tangente de 30,7 graus mais 5.

Efetuando as contas, chegamos a a aproximadamente 16,8.

Temos, então, infinitas possibilidades para escolher b entre 12 e 75

e seremos capazes de calcular valor de a, tal que a fase de C de quadradinho d seja

igual a 25 graus, mas não estamos restritos a valores entre 12 e 75.

Existem outros valores de b,

para os quais também podemos ter fase de C de quadradinho d igual a 25 graus.

Mas, existem algumas escolhas que facilitam a nossa vida.

Para entender melhor duas dessas escolhas, vamos desenhar o polo desejado no Plano-s.

Temos, aqui o polo desejado menos 5, mais 7 j.

O zero de nosso controlador será igual a parte real do polo desejado.

Nesse caso, menos 5.

Traçamos uma reta vertical, do polo desejado até o zero que definimos e

verificamos que a fase de quadradinho d mais 5, que é a fase de 7 j é 90 graus.

Desse modo, precisaremos que a fase de quadradinho d mais b seja 65 graus,

ou que a fase de b menos 5 mais 7 j seja 65 graus.

Note que, para que isso aconteça,

precisamos ter tangente de 65 graus igual a 7 sobre b menos 5.

Vamos desenhar polo à direita do zero.

Note que a distância entre a parte real do polo desejado e a posição do novo polo,

é b menos 5.

E vamos traçar uma reta unindo o polo menos b ao polo desejado malha fechada.

Note que, se tivermos posicionado menos b corretamente,

o ângulo formado entre quadradinho desejado, menos b e menos a será 65 graus.

E, como temos triângulo retângulo, podemos calcular a distância entre menos b e menos

5, como 7 sobre tangente de 65 graus que é, aproximadamente, 3,3.

Então, temos menos b é igual a menos 5, menos 7 sobre

tangente de 65 graus, o que dá aproximadamente, menos 8,3.

Então, b é igual a 8,3.

Podemos generalizar esse resultado.

Já sabemos que a fase de quadradinho d mais a vai ser igual a 90 graus.

E lembrando que a fase de C de quadradinho d é menos a fase de G de quadradinho d,

menos 180 graus e que a fase de C de quadradinho d é a fase de quadradinho mais

a, menos a fase de quadradinho mais b, Podemos escrever que a fase de quadradinho

mais b é igual a 270 graus, mais a fase de G de quadradinho d.

E. finalmente,

podemos escrever que b será menos a parte real do quadradinho desejado,

mais a parte imaginária do quadradinho desejado,

dividido pela tangente e 270 graus, mais a fase de G de quadradinho desejado.

Podemos também posicionar o polo e o zero

equidistantes da parte real do polo desejado.

Vamos chamar os ângulos questão de alfa e beta, isso é, a fase de quadradinho

desejado mais a será alfa e a fase de quadradinho desejado mais b será beta.

Note que temos triângulo isósceles e a soma dos ângulos internos de

triângulo é 180 graus.

Então, chamando o ângulo superior de gama, temos: beta mais gama,

mais 180 menos alfa, igual a 180, ou, gama é igual a alfa menos beta.

E essa é, justamente, a contribuição angular do nosso controlador,

que, nosso exemplo, deve ser 25 graus.

Note, agora, pelo desenho que a reta entre o polo desejado e a sua parte real

é a bissetriz do ângulo gama e podemos determinar a distância entre o polo ou o

zero e a parte real do polo desejado, usando a tangente de gama sobre 2.

Nosso exemplo, gama sobre 2 é igual a 12,5 graus e temos:

a igual a 5 menos 7, vezes a tangente de 12,5.

E b igual a 5 mais 7 vezes a tangente de 12,5.

O zero é menos 3,4 e o polo é menos 6,6.

Podemos generalizar esse resultado, também.

O a vai ser menos a parte real do quadradinho desejado,

menos a parte imaginária do quadradinho desejado,

vezes a tangente de menos a fase de G de quadradinho desejado,

menos 180 graus sobre 2 e o b será menos a parte real do quadradinho desejado,

mais a parte imaginária do quadradinho desejado, vezes a mesma tangente.

Temos, ainda, outra opção bastante interessante,

que é posicionar o zero na mesma posição de polo malha aberta do sistema

ou posicionar o polo na mesma posição de zero do sistema.

Desse modo, só precisamos calcular a posição do outro elemento.

Se cancelarmos polo com zero do controlador, só precisamos calcular

a posição do polo do controlador e se cancelarmos zero do sistema com

polo de controlador, só precisamos calcular a posição do zero do controlador.

Tente fazer isso com polo menos 10 e com polo menos 20.

Agora, você já é capaz de mostrar que existem infinitas possibilidades para

posicionar polo e zero, de modo a ter a contribuição de fase necessária e também

é capaz de citar e de explicar as soluções mais adotadas.

No próximo vídeo, você verá como calcular o ganho para que os polos

malha fechada estejam nas posições desejadas.

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