Após esse vídeo,
você será capaz de mostrar que existem infinitas possibilidades para posicionar
polo e zero de modo a ter a contribuição de fase necessária.
E será capaz também, de citar e de explicar as soluções mais adotadas.
Vamos usar a seguinte função de transferência de terceira ordem do tipo
1: G de s é igual a 200 sobre s, s mais 10, s mais 20.
E vamos partir diretamente do nosso polo desejável malha fechada que, nesse caso,
será quadradinho d, igual a menos 5,
mais 7 j, que foi obtido a partir dos requisitos de desempenho.
Precisamos verificar se quadradinho d faz parte do LGR.
Se isso ocorrer, só precisamos calcular o ganho k necessário para posicionar
corretamente os polos malha fechada.
Nós temos a fase de G de quadradinho d é igual a menos a fase de quadradinho d,
menos a fase de quadradinho d mais 10, menos a fase de quadradinho d mais 20.
Substituindo o quadradinho d, esta fase fica menos a fase de menos 5 mais 7 j,
menos a fase de 5 mais 7 j, menos a fase de 15 mais 7 j.
Calculando as fases, nós temos menos 125,5 graus, menos 54,
5 graus, menos 25 graus, o que dá menos 205 graus.
Então, precisamos ter a fase de C de quadradinho d igual a 25 graus.
E a fase de C de quadradinho d é a fase de quadradinho mais a,
menos a fase de quadradinho mais b.
Então, precisamos ter a fase de quadradinho mais a igual a fase de
C de quadradinho d, mais a fase de quadradinho mais b.
No nosso exemplo, a fase de a menos 5 mais 7 j,
tem de ser igual a 25 mais a fase de b menos 5 mais 7 j.
Vamos supor que, tanto a quanto b sejam maiores do que 5.
Nesse caso, nós temos arcotangente de 7 sobre a menos 5 igual a 25,
mais o arcotangente de 7 sobre b menos 5.
Se usarmos b igual a 12, nós teremos arcotangente de 7 sobre
a menos 5 vai ser igual a 25 graus mais 45 graus, o que dá 70 graus.
Então, a será 7 sobre tangente de 70 graus mais 5.
Efetuando as contas chegamos a a, aproximadamente, 7, 55.
Por outro lado, se usarmos b igual a 75, teremos: arcotangente
de 7 sobre a menos 5 é igual a 25 mais 5,7 graus que dá 30,7
graus e o a será 7 sobre tangente de 30,7 graus mais 5.
Efetuando as contas, chegamos a a aproximadamente 16,8.
Temos, então, infinitas possibilidades para escolher b entre 12 e 75
e seremos capazes de calcular valor de a, tal que a fase de C de quadradinho d seja
igual a 25 graus, mas não estamos restritos a valores entre 12 e 75.
Existem outros valores de b,
para os quais também podemos ter fase de C de quadradinho d igual a 25 graus.
Mas, existem algumas escolhas que facilitam a nossa vida.
Para entender melhor duas dessas escolhas, vamos desenhar o polo desejado no Plano-s.
Temos, aqui o polo desejado menos 5, mais 7 j.
O zero de nosso controlador será igual a parte real do polo desejado.
Nesse caso, menos 5.
Traçamos uma reta vertical, do polo desejado até o zero que definimos e
verificamos que a fase de quadradinho d mais 5, que é a fase de 7 j é 90 graus.
Desse modo, precisaremos que a fase de quadradinho d mais b seja 65 graus,
ou que a fase de b menos 5 mais 7 j seja 65 graus.
Note que, para que isso aconteça,
precisamos ter tangente de 65 graus igual a 7 sobre b menos 5.
Vamos desenhar polo à direita do zero.
Note que a distância entre a parte real do polo desejado e a posição do novo polo,
é b menos 5.
E vamos traçar uma reta unindo o polo menos b ao polo desejado malha fechada.
Note que, se tivermos posicionado menos b corretamente,
o ângulo formado entre quadradinho desejado, menos b e menos a será 65 graus.
E, como temos triângulo retângulo, podemos calcular a distância entre menos b e menos
5, como 7 sobre tangente de 65 graus que é, aproximadamente, 3,3.
Então, temos menos b é igual a menos 5, menos 7 sobre
tangente de 65 graus, o que dá aproximadamente, menos 8,3.
Então, b é igual a 8,3.
Podemos generalizar esse resultado.
Já sabemos que a fase de quadradinho d mais a vai ser igual a 90 graus.
E lembrando que a fase de C de quadradinho d é menos a fase de G de quadradinho d,
menos 180 graus e que a fase de C de quadradinho d é a fase de quadradinho mais
a, menos a fase de quadradinho mais b, Podemos escrever que a fase de quadradinho
mais b é igual a 270 graus, mais a fase de G de quadradinho d.
E. finalmente,
podemos escrever que b será menos a parte real do quadradinho desejado,
mais a parte imaginária do quadradinho desejado,
dividido pela tangente e 270 graus, mais a fase de G de quadradinho desejado.
Podemos também posicionar o polo e o zero
equidistantes da parte real do polo desejado.
Vamos chamar os ângulos questão de alfa e beta, isso é, a fase de quadradinho
desejado mais a será alfa e a fase de quadradinho desejado mais b será beta.
Note que temos triângulo isósceles e a soma dos ângulos internos de
triângulo é 180 graus.
Então, chamando o ângulo superior de gama, temos: beta mais gama,
mais 180 menos alfa, igual a 180, ou, gama é igual a alfa menos beta.
E essa é, justamente, a contribuição angular do nosso controlador,
que, nosso exemplo, deve ser 25 graus.
Note, agora, pelo desenho que a reta entre o polo desejado e a sua parte real
é a bissetriz do ângulo gama e podemos determinar a distância entre o polo ou o
zero e a parte real do polo desejado, usando a tangente de gama sobre 2.
Nosso exemplo, gama sobre 2 é igual a 12,5 graus e temos:
a igual a 5 menos 7, vezes a tangente de 12,5.
E b igual a 5 mais 7 vezes a tangente de 12,5.
O zero é menos 3,4 e o polo é menos 6,6.
Podemos generalizar esse resultado, também.
O a vai ser menos a parte real do quadradinho desejado,
menos a parte imaginária do quadradinho desejado,
vezes a tangente de menos a fase de G de quadradinho desejado,
menos 180 graus sobre 2 e o b será menos a parte real do quadradinho desejado,
mais a parte imaginária do quadradinho desejado, vezes a mesma tangente.
Temos, ainda, outra opção bastante interessante,
que é posicionar o zero na mesma posição de polo malha aberta do sistema
ou posicionar o polo na mesma posição de zero do sistema.
Desse modo, só precisamos calcular a posição do outro elemento.
Se cancelarmos polo com zero do controlador, só precisamos calcular
a posição do polo do controlador e se cancelarmos zero do sistema com
polo de controlador, só precisamos calcular a posição do zero do controlador.
Tente fazer isso com polo menos 10 e com polo menos 20.
Agora, você já é capaz de mostrar que existem infinitas possibilidades para
posicionar polo e zero, de modo a ter a contribuição de fase necessária e também
é capaz de citar e de explicar as soluções mais adotadas.
No próximo vídeo, você verá como calcular o ganho para que os polos
malha fechada estejam nas posições desejadas.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
