Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Situación: ¿Qué tienen en común el agua hirviendo, el coche andando y el escalador subiendo?
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Modelo Lineal
Comenzaremos este curso presentando la problemática que hemos planteado en nuestro prefacio: la predicción del valor de una magnitud que está cambiando. Estudiamos el caso más simple de variación posible, y con esto daremos lugar al establecimiento del Modelo Lineal.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues comencemos a hablar de cálculo.
Ya recuerdan ustedes como hemos dicho que vamos a hacer esta re-descubrimiento,
este re-descubrimiento del cálculo tomando en cuenta que queremos aplicar,
aplicar las nociones y las ideas de esta rama de la matemática.
Entonces el pasado no me deja mentir si ustedes se fijan ahorita
lo que podemos presentar aquí en el overhead,
esto es en donde nos quedamos en nuestra introducción del curso.
Lo que quería yo retomar con ustedes ahorita es esta palabra que está aquí.
El cálculo es la rama de la matemática que estudia el cambio, o sea la variación.
Las cosas que cambian, ¿no?
Este personaje f es nuestra función
que nos hablará de una magnitud que está cambiando.
Y aquí tengo el valor de esta magnitud en un cierto digamos tiempo b
que puedo calcularlo como el valor de la magnitud en un tiempo pasado
a al sumarle a ese valor el cambio que sufrió la magnitud.
Esta es la idea central del cálculo.
Una idea que está en el teorema fundamental del cálculo y que nosotros
hemos recuperado para darle un significado a esta revisita que haremos del cálculo.
Entonces empezamos con nuestro módulo uno hablando del primer tipo de cambio.
El cambio digamos que podría ser más sencillo desde el punto de vista
intelectual.
Más que sin embargo, aún y cuando es el más sencillo va a estar presente
en todos los cambios que veamos en la naturaleza cuando la vemos desde esta
perspectiva desde estos ojos del cálculo diferencial integral.
Entonces empezamos con el cambio uniforme.
En el cambio uniforme vamos a ver diferentes situaciones,
situaciones o magnitudes que van a estar cambiando,
obedeciendo con esta digamos forma de cambiar tan regular, ¿okey?
Si me acompañan ustedes en la, en la computadora aquí tengo unas imágenes.
Bueno, van ustedes ahorita a ver algo ahí que podrían decirme,
puedo jugar a las adivinanzas y decir qué están viendo, ¿verdad?
Y esperaría yo que dijeron bueno ahí se está hirviendo el agua.
Ya amaneció, ya puse la olla porque quiero hacerme un café instantáneo, ¿no?
Y entonces pongo el agua hervir.
O bien voy a hacer una ensalada del chef y quiero unos huevos, ¿no?
Que sean duros.
Entonces necesito que esa agua se ponga a hervir.
Y eso, ¿qué tiene que ver?
¿no?
Con lo que estamos estudiando,
pues, la cuestión es que yo quiero que vean en estas situaciones,
o sea situaciones de la vida real como ahí tenemos magnitudes, ¿no?
La magnitud que quisiera yo que vieran ustedes allí es la temperatura.
Y ustedes dicen, ¿cómo que verla?
¿Verdad?
O sea no se ve la temperatura, lo que se ve es el agua que está hirviendo, pues sí.
Lo que pasa es que la temperatura es algo que nosotros, ¿no?
Podemos bautizar de esa manera y es un evento que sucede en la naturaleza.
Ahí hay algo que está cambiando, la temperatura.
¿De qué depende esa temperatura?
Bueno pues me van a decir de la estufa de la llama, etcétera, etcétera, igual.
Ahorita lo que quisiera es que nos concentráramos y dijeramos bueno pues si
voy hacerme el café si voy a poner los huevos ahí a, a que este se cosan pues la,
la temperatura está dependiendo ahorita del, del tiempo.
O sea tengo que esperar un tiempo para que ya esté en su punto de ebullición, ¿no?
Entonces ahorita nos concentraríamos en que tenemos dos magnitudes.
La temperatura y el tiempo, ¿no?
Y esta temperatura depende del tiempo.
Pasa más tiempo el agua está más caliente y la temperatura es mayor.
Esa es una situación real en la que vamos a poder hacer una suposición
de que la temperatura aumenta uniformemente con respecto al tiempo.
O sea se puede probar prácticamente, ¿no?
Que cada minuto que pasa la temperatura aumenta unos seis grados,
unos seis grados centígrados, digámoslo así.
Recuperamos esto ya con números en un ratito más
porque antes de eso me gustaría presentarles otra situación real.
Si volteamos otra vez a mi computadora
ahí van a ver entonces cómo observamos el movimiento, ¿no?
El movimiento de un coche o de varios coches.
O sea es una situación real también que nos rodea.
Si salimos ahorita a la calle ya la vamos a estar viendo ahí y
más vale tener cuidado, ¿no?
Si vamos a cruzar la calle.
Entonces tenemos allí otra vez la presencia de objetos reales en nuestro
mundo real pero ahí en esa realidad hay magnitudes.
¿Qué magnitud quiero que vean ustedes ahorita en esta situación?
Bueno pues pensemos por ejemplo que fuese un coche
en una carretera recta sin baches.
O sea estoy poniendo las cosas muy difíciles, ya lo se.
Pero sea, se trata de una carretera recta, se trata de cada,
que cada digamos kilómetro de la carretera está bien marcadito, ¿no?
Y podríamos entonces pensar que empezamos a ver a ese
coche cuando estaba en el kilómetro 25 y después de ese
kilómetro 25 el coche mantuvo una velocidad constante, ¿no?
Vamos a decir que fuera medio lento qué unos qué
por decir algo algunos 52 kilómetros por hora.
Vamos a ponerlo ahí medio, medio lento al coche, ¿no?
Entonces la magnitud que estaríamos pudiendo, ¿no?
Captar que está cambiando es la posición del coche.
El coche se mueve, ¿cierto?
El coche no está cambiando físicamente ahí está lo que cambia es su posición.
La posición es una magnitud que ahorita podemos estudiar
como algo que depende del tiempo.
Pasa el tiempo y entonces la posición del coche cambia, ¿okey?
Esa sería nuestra segunda situación.
Podríamos hacernos preguntas como,
¿a qué horas va a llegar el coche a, a la gasolinera?
¿No? Que está a tal kilometraje, ¿no?
Cuestiones como esas son cuestiones que tienen que ver con la idea
esta básica del cálculo que estamos recuperando de su teorema fundamental.
O sea cuál es el valor que toma una magnitud que está cambiando.
En este caso la posición del coche.
Pero volvamos otra vez, este, sobre mi eh, imágenes y veamos ahora una
tercera situación y ahorita bueno podemos sentir algo de frío,
que bueno porque aquí está un poquito caliente.
Pero veamos ahorita, ¿no?
Situaciones en donde están los alpinistas subiendo, ¿no?
¿Qué pasa ahí?
¿Qué podríamos decir que está cambiando?
Ya se, a lo mejor están diciendo, no pues la altura del montañista
o del alpinista está cambiando con respecto al tiempo.
Y es cierto.
O sea es posible ver la situación desde ese punto de vista.
Pero fíjense que aquí pudiera yo darles otra eh,
situación otra manera de ver la situación.
Porque cuando uno sube, ¿no?
La temperatura en el medio ambiente está cambiando.
La temperatura disminuye.
Y es posible eh, suponer, o sea es práctico suponer que en una eh,
capa de la atmósfera esta disminución es uniforme.
O sea baja la misma cantidad de grados cada kilómetro.
Me parece que es como una, bajan seis punto cinco grados por kilómetro.
Entonces a medida que la persona va subiendo va sintiendo más frío, ¿okey?
¿Se fijan?
Ahí está la magnitud temperatura que está disminuyendo con respecto, ¿a qué?
Con respecto a la altitud.
O sea ya les quité el tiempo, porque quise nada más, porque realmente también
es una situación que se puede estudiar la altura que depende del tiempo, ¿no?
Pero ahorita podríamos pensar en que la temperatura que está sintiendo este señor,
¿verdad?
Que está subiendo es algo que depende de la altura a la que se encuentre, ¿no?
Les he presentado tres situaciones, ¿no?
Tres situaciones distintas, tres situaciones de la realidad
en las que vamos a poder hacer esta suposición de que la magnitud
que estemos estudiando varía uniformemente con respecto a otra magnitud.
Entonces ahorita que el pensamiento está allí me gustaría que lo retomaramos acá
pero en esta ocasión ahora sí metiendo números, ¿no?
Vamos a empezar a meter números, vamos a meter letras.
Y esto es pues hacer matemática.
Entonces si me siguen aquí en el overhead.
Aquí tengo una imagen estática de la temperatura que está,
bueno de la temperatura,
de la olla que se está calentando aquí del agua y entonces tenemos la temperatura y
entonces porque es temperatura pues le voy a poner la letra T mayúscula, ¿no?
Aquí tengo la temperatura que está cambiando con respecto, ¿a quién?
Al tiempo.
Otra vez volvemos con esto de las mayúsculas y las minúsculas pero
bueno, sí.
Aquí tengo la temperatura que depende del tiempo, ¿sí?
Y podríamos hacer algunas suposiciones.
Por ejemplo digamos que cuando pusimos el agua eh,
la temperatura que tenía el agua, le tomamos y era una temperatura, ¿de qué?
De, ¿28 grados?
Digamos que 28 grados tenía esta agua cuando la pusimos en el, en la estufa,
¿okey?
Y esa temperatura va a aumentar.
Supongamos ahora que aumenta seis grados cada minuto, ¿okey?
Si yo pienso que aumenta seis grados cada minuto entonces podría decir que
pasado un minuto ya no van a ser 28 grados los que voy a tener, ¿qué voy a tener?
Voy a tener 28 más otros seis grados que aumentaron por ese minuto que pasó.
¿Cierto?
O sea, tendríamos ahora unos 34 grados, ¿de acuerdo?
En la temperatura.
¿Qué pasaría si pienso en dos minutos?
Pasaron dos minutos.
Entonces ya esa temperatura inicial que era el 28 grados ya no
va a ser esa si no va ser 28 más seis, ¿por cuanto?
Pues por dos.
Porque cada vez que digo que aumenta seis grados por minuto, ¿se fijan?
Uno dice por minuto.
Deberíamos de decir cada minuto, ¿no?
Para que nuestra mente dijera, a pues multiplico seis por dos me va a dar un
12 que sumado con el 28 me va a dar los 40 grados, ¿no?
¿Sí me explico?
¿No? O sea, realmente vean ustedes que aquí
tengo productos, productos que estoy haciendo
a raíz de las cosas que estoy pensando acerca de la situación.
Y entonces en este momento, fíjense,
en este momento la matemática es una oportunidad de simbolizar,
es una oportunidad de generalizar las cosas y darle una expresión.
Eso es lo que vamos a hacer ahora.
Voy a decir la temperatura la puedo expresar simbólicamente como una
temperatura inicial más este número seis que
me está diciendo la razón a la cual cambia la temperatura con respecto al tiempo.
Ese seis se va a multiplicar por el tiempo que ha transcurrido, ¿no?
Entonces lo que hemos hecho es, tratado de hacer con ustedes
es esto de aquí que es en nuestro pensamiento una inducción.
O sea, pensar qué pasa aquí, qué pasa acá y tratar de pensar qué pasa en general.
Y entonces tenemos esta oportunidad de simbolizar matemáticamente un evento,
¿no?, que está ocurriendo en nuestra realidad.
Vean ustedes como la notación será un tema, también,
de nuestro siguiente video, ¿no?
Pero cómo en esta notación les respete esta multiplicación, pero al ratito
la matemática se ve más bonita así, ¿se fijan?
O sea ya le quité ese paréntesis, ¿no?
Y entonces este seis t que les, les leo, seis t, en realidad es un seis por t.
O sea, estoy haciendo una multiplicación aquí.
Pero la escritura es mucho más cómoda en este sentido quitando paréntesis.
Pues bien, esta fue nuestra primera situación.
Ya la retomamos.
Vámonos con una segunda situación y nos traemos un coche, ¿no?
Aquí está el coche y aquí recordamos lo que habíamos dicho que estábamos pensando,
que íbamos a considerar que la posición del coche.
Esa posición del coche le vamos a poner x ¿okey?
¿Porqué?
Pues por x porque nada más queremos ponerle un nombre, ¿no?
Una letra. Vamos a ponerle x a la posición.
¿Y esta posición depende de qué?
De t, del tiempo.
Así lo elegimos ahora, pero recuerden que las cosas pueden cambiar, o sea,
pudiera yo estar interesada en la cantidad de, de litros de gasolina que
trae este coche y pensar que eso depende de el kilometraje que ha recorrido, ¿no?
Esto es un dato importante en los coches.
Cuando uno compra un coche, uno se puede fijar en ese rendimiento, ¿no?
O sea, cuántos litros de gasolina voy a consumir por, por hora, por decir, perdón.
por hora, por kilómetro, okey estaba pensando en kilómetro y dije hora.
Entonces esa sería otra situación.
Puedo pensar en litros de gasolina dependiendo de el kilometraje.
No es ahorita el momento, lo estamos haciendo con la posición y el tiempo,
pero les estoy remarcando que las situaciones pueden ser
interpretables de distintas maneras.
Ahorita nuestra posición depende del tiempo.
Y vamos a hacer algunas, este, suposiciones Supongamos que cuando
empezamos a ver este coche estamos en la posición en el kilómetro 25, ¿no?
Entonces, y que el coche se está con moviendo, ¿a cuánto dije?
58.
Sí podría ser.
O 52. 52, ya me aclararon acá.
52 kilómetros por hora, okey.
Me están poniendo atención.
Entonces vamos a poner aquí, que después de que pasó una hora esos 25, ¿sí?
Esos 25 kilómetros donde estaba el coche ya no son tales.
Ya el coche ya no está ahí.
Volteo ahí, ya no está.
El coche está a 25 más 52 por una hora que pasó.
Estaría en este lugar 25 más 52.
Qué bonito número salió.
Salió en 77 verdad está en el kilómetro 77.
Y si digo, digo que pasaron dos horas y el coche se mantiene,
claro, con esa velocidad constante, esta de aquí, cosa que también estamos cosa que
también estamos suponiendo que, que está ocurriendo, ¿no?
Aunque, bueno, pues,
puede ser que hayan muchos cambios en la velocidad durante esa hora.
Son situaciones que estamos idealizando para poder ver cómo entra la matemática en
la modelación.
¿Okey?
Pensemos que fuera en una hora y media.
¿Qué pasaría acá?
Bueno, pues a los 25 kilómetros que tenía el coche le podríamos calcular
esta multiplicación por uno punto cinco para decir en una hora y media, ¿no?
Y entonces nos daría un cálculo que nos estaría diciendo la nueva posición del
coche, ¿okey?
Y así podemos seguir adelante hasta que nos atrevemos a hacer matemáticas.
¿Y qué quiere decir eso?
Vamos a generalizar.
Aquí hay un patrón de comportamiento y yo puedo inducir
cómo va a ser el que sigue y el que sigue y el que sigue.
De tal manera que podría decir que la posición del coche yo la puedo predecir
si al valor inicial que tenía ese, esa posición le agrego
el 52 multi, multiplicado por el tiempo que ha transcurrido, ¿no?
Y finalmente, una escritura más compacta me va a decir 25 más 52 t.
Y esta es una expresión matemática que me modela esta situación.
Podré decir dónde va estar el coche a la hora que quiera,
mientras mantenga esa velocidad, ¿okey?
Vámonos rápidamente a la tercera de la situación para poder concretarlo
y aquí tenemos, entonces, a nuestro alpinista, ¿y qué quedamos aquí?
Pues que ahora íbamos a considerar la temperatura, ¿verdad?
Pero esa temperatura va a cambiar en términos de la altitud, ¿sí?
Le voy a poner a altitud la letra h porque esta es una herencia no que tenemos, ¿no?
Todos los latinos del inglés, de altura,
y le vamos a poner h a altitud, no porque altitud tenga h, ¿verdad?
Y entonces vemos que la temperatura depende de la altitud
y les daba yo un dato, ¿no?
De que la temperatura disminuye seis punto cinco grados cada kilómetro.
Supóngase que cuando estaba acá en la base, ¿no?
cuando empezó a subir este señor,
la temperatura aquí abajo fueran unos 21 grados ¿okey?
Entonces la temperatura que él va a tener después de que ha
subido una, una, perdón, un kilómetro ¿sería qué?
A la temperatura que tenía le voy a quitar seis punto cinco
grados por ese kilómetro de altitud que ya está arriba, ¿no?
¿Sí?
Si fueran dos punto cinco kilómetros los que ya ha subido, pues la temperatura que
él sentiría en su cuerpo sería 21 menos seis punto cinco por dos punto cinco, ¿no?
Y así nos vamos, ¿no?
Finalmente, a la, a la matemática no le gusta ser compacta y entonces dice,
la temperatura es igual a 21 menos seis punto cinco
y aquí ya no voy a poner t, voy a poner h, ¿no?
Porque esta se me va a significar los kilómetros, ¿no?, en la altitud, ¿no?
Lo que ha subido este señor al estar, este, escalando la, la montaña.
Tenemos entonces nuestros tres eventos, ¿se fijan?
Tres eventos diferentes que tenemos en una misma filmina,
¿no?, puedo hablar de aquí del agua,
que dijimos que la temperatura era igual a, ¿cuánto?
A veinti, ya se me olvidó cuánto era la temperatura del agua al principio.
So sorry.
28 más seis t.
No me los aprendí.
28 más seis t.
Aquí tenemos este coche cuya posición va a ser, ¿qué dijimos?
25 más 52 t.
Y acá tenemos a este alpinista cuya temperatura va a ser
21 menos seis punto cinco t.
¿Sí?
Espero que más o menos ahí se note.
A lo mejor no lo hice muy bien con este color.
Pero bueno, vamos a generalizar con otro color.
¿Sí?
Después de que ya habíamos hecho una generalización la matemática llega
a otro nivel.
Volvemos a generalizar sobre estas tres fórmulas.
¿sí?
a la matemática en lugar de hablar de x de t y de t,
dice simplemente, y, ¿no?
Y en lugar del tiempo, tiempo o de la altitud.
Aquí me había equivocado, qué bueno que ya lo corregimos aquí como h.
En lugar de tiempo, tiempo o altitud, lo que va a decir simplemente es
x y entonces tenemos estas dos famosas, ¿no?
personajes del cálculo, la y y la x y la expresión de la función
que habíamos recordado en nuestra introducción es esta, ¿no?
Aquí estoy diciendo que la y es función de x.
¿Qué estoy diciendo con esto?
Que la posición depende del tiempo.
Que la temperatura es función de la altitud, ¿no?
Todo eso estoy diciendo con la misma fórmula.
Y esa fórmula por lo que hemos visto ahorita,
estaría expresada como un valor inicial, vamos a escribirlo de esta manera.
El valor inicial que tenía el coche en su posición o la temperatura acá, ¿no?
En estas situaciones más, y aquí va a ir un numerito, ¿no?
Un numerito que le voy a poner ahorita r porque va a,
bueno, vamos a utilizar la expresión razón de cambio para representarla.
Después de esta letra r podríamos nosotros a quién, a la x, ¿sí?
Fíjense que en este lugar de aquí tenemos este producto.
Fíjense aquí, que esta notación de la función no es un producto.
Aquí estoy diciendo, la función depende de x y acá estoy diciendo
que ese cálculo del valor es a través de un producto, ¿no?
¿Quién es esta r en el caso del coche?
Esta r viene siendo una razón de cambios.
En matemáticas la palabra razón no significa,
tienes razón, no, no, significa cociente, ¿sí?
Eso hace las cosas muy difíciles.
Cociente o diferencia.
Y el cambio se denota con este triangulito que es una letra griega delta.
Y entonces hablaríamos del cambio de la posición con respecto al tiempo.
Esa sería nuestra razón de cambio
de posición con respecto al tiempo que está señalada con este número 52.
Yo digo, velocidad constante, 52 kilómetros por hora
quiere decir que hay un cambio en la posición de 52 kilómetros cada hora.
La razón de cambio en esta situación que sería el cambio de la
temperatura con respecto al tiempo, ¿sí?
Y la razón de cambio en esta otra situación sería el
cambio de la temperatura con respecto a la altitud.
Entonces en todo esto fue importantísimo que ahorita concibiéramos este,
esta letra de aquí, que es un personaje importantísimo en cálculo
porque ella nos está permitiendo predecir los valores de la magnitud.
Creo que con esto es suficiente para haber arribado a nuestro modelo lineal
el cual vamos a retomar en su parte más simbólica y matemática en nuestro,
en nuestro siguiente video donde retomaremos todos estas razones de cambio.
Espero que me hayan entendido la idea y nos vemos en la próxima para que si no,
la aclaremos mucho más.
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