Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Situación: ¿Qué significa VECA?
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Valor Exacto Del Cambio Acumulado: Modelo Polinomial
La práctica de predicción de valores de una magnitud que está cambiando a través de la estrategia numérica del Método de Euler nos permitirá reconocer los modelos matemáticos polinomiales. Asociaremos con ellos los procesos de derivación e integración desde una perspectiva teórica y también algebraica.
Rencontrer les enseignants
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
La situación que vamos a ver en esta ocasión es una situación, yo pienso que,
con el video que les vamos a mostrar, es una situación muy agradable.
Si vemos nuestro video,
ustedes pueden ver ahí cómo se está llenando un recipiente de agua fresca.
Vean ustedes la situación,
esto no me pueden decir ustedes que no es algo de la vida real.
Cuántas veces hacemos esto, ¿no?, diariamente se antoja,
ya me está dando sed.
Fíjense ustedes ahorita, que en esta situación que les estamos recreando con
el video, bueno, pues es una situación en donde hay magnitudes presentes ¿Qué vemos?
Bueno, vemos el agua, sí.
Es así, hasta la podemos percibir y tocar, ¿no?
Pero también hay otras magnitudes que, matemáticamente, están presentes aún
y cuando no tienen ese tipo de percepción, ¿no?, sensorial, como el agua, ¿no?
Me estoy refiriendo, por ejemplo, al volumen, al volumen del agua, ¿no?
Al que está cayendo, al que se está acumulando, ¿no?, en ese recipiente.
Esa es una situación con la que nuestra mente puede trabajar cuando estamos
introduciendo, digamos, la matemática y este estudio del cambio, ¿no?
Entonces, una vez que ya hemos recreado cuál es la situación,
me gustaría que empezaramos a meter matemáticas.
Si me acompañan entonces en el papel, vamos a poner una situación,
la más sencilla de todas.
¿Si? Me traje aquí unas farajitas,
ya van a ver ustedes para qué van a ser.
Vamos a hacer una primera propuesta.
Vamos a suponer, ¿sí?, que en este tanque que se está llenando,
la razón de cambio de los litros que entran por minuto, es constante, ¿okey?
Osea, hay una llave ahí que está arrojando agua de tal manera que la razón
de cambio siempre va a ser constante y va a valer tres.
Que serían tres litros por minuto.
Vamos a ponerlo así, ¿sí?
Piensen ustedes que, a propósito, estoy usando esta notación de la función para
recordarles nuevamente, no es un producto.
Estoy diciendo la razón de cambio depende del tiempo.
Y, por otro lado, dije que es constante,
y van a decir ustedes pues entonces te estás contradiciendo.
O sea dices que depende del tiempo y sin embargo, ¿no depende del tiempo?
Porque siempre vale tres, siempre, siempre.
Realmente lo que estoy tratando con ustedes es de brincar, digamos,
esas dificultades de la notación matemática.
Esto es lo que se conoce como una función constante.
Aún y cuando ponga la variable t.
El hecho de que la variable t no está en esta expresión de acá,
quiere decir que siempre va a valer tres.
Si el tiempo es 1.5, la razón es tres.
Si el tiempo es 2.7, la razón es tres.
Si el tiempo es 100.44, la razón es tres.
Siempre tres.
La razón de cambio es constante.
Bueno, volvamos al tanque.
Está el tanque, está introduciéndose el agua y el agua se está introduciendo
de tal manera que, cada minuto, entran tres litros de agua.
¿De acuerdo?
Entonces, si eso pasa, supongamos una pregunta.
Pasó un minuto, ¿cuántos litros de agua hay en el tanque?
Tres, ¿no?
Pasaron dos minutos, ¿cuántos litros hay de agua en el tanque?
Pues si son dos minutos y cada minuto pasaron tres litros,
entonces serían, ¿qué?
Tres por dos.
¿De acuerdo?
Vamos ahora a otra situación, pasaron cuatro minutos,
para que no nos queden tres igual.
Cuatro minutos, y por cada uno de esos minutos, van a entrar tres litros ¿no?
Entonces tengo tres litros, pero eso pasa en cada uno de los cuatro minutos, ¿no?
¿Y entonces eso nos va a dar un qué?
Un tres por un cuatro, 12 litros dentro del tanque.
Todo esto en presencia del tanque, pero ahora en presencia del papel,
lo que podemos hacer es una simbolización, ¿no?
¿Qué es lo que podemos escribir entonces en nuestro papel?
Vamos a ponerlo aquí.
Con un color verde.
Vamos a poner el volumen, ¿no?, que depende del tiempo.
Y, ¿a qué va a ser igual este volumen?
Lo que dijimos ahorita, sería es el número de litros que entran por
cada minuto se multiplica por el número de minutos.
¿No?
¿Cierto?
Aquí, esta expresión ya me quedo ahora,
ya si se usaría esta t que intervendría acá, ¿no?
Cómo cuando les dije cuatro minutos entonces serían tres por cuatro,
serían 12.
Eso hubiera sido el evaluar la función en el tiempo t igual a cuatro.
Esos son entonces litros, ¿no?
Ya se hizo aquí una multiplicación de litros por minuto multiplicado por minuto.
¿Cierto?
Y fíjense como el lenguaje,
a veces ayuda, a veces no ayuda, así va a ser en este curso siempre.
Aquí dije tres litros por minuto.
Y realmente lo que tengo que pensar es litros entre minuto, ¿no?
Son tres litros sobre minuto por minuto,
se cancelan los minutos y se nos quedaron los litros.
¿Qué tal?
Osea, realmente aquí nuestro lenguaje, cuando decimos tres litros por minuto, así
lo decimos cotidianamente, pero se trata de una división, de una razón de cambio.
¿De acuerdo?
Acuérdense que razón, en matemáticas, es división.
Entonces, ahorita estamos haciendo la suposición ¿sí?,
de que en el tanque no había nada, ¿se fijan?
Porque no pusimos más que tres t.
Cuando les hice las preguntas era como si el tanque estuviera vacío.
¿Okey?
Está ahí una llave que, de repente,
apareció y que siempre está metiendo tres litros cada minuto, y entre esa situación,
digamos, idealizada, bueno pues fuimos capaces de generar una expresión.
Este volumen, ahorita, es el equivalente a hablar
del cambio del volumen en el intervalo que va desde cero hasta t, ¿no?
Osea, este cambio del volumen coincide con el valor del volumen,
porque estoy suponiendo ahorita que el volumen inicial era un cero, y entonces,
solamente estamos aquí tomando en cuenta el cambio del volumen, ¿no?
Osea cuanto cambió desde que, originalmente era cero,
lo que cambió es justamente lo que entró.
¿No? La cantidad de litros de agua
que entraron.
Esta es una primera aproximación a la situación.
¿Cierto?
Cuando una llave está actuando así,
con una razón de cambio constante de tres litros por minuto,
se genera, se construye una fórmula para el volumen, ¿no?
de agua en ese tanque que es igual a tres t.
Y entonces, si ustedes me dicen, pasaron 10 minutos,
¿cuánto volumen de agua hay en ese recipiente?
Yo puedo hacer una predicción, porque puedo meter ese número 10 aquí,
multiplicarlo por el tres y decir 30 litros.
Ahí va a haber 30 litros y no necesito esperar a que se llene el tanque y
a medir, ¿no?, para poder decir ese valor.
En ese sentido, estamos resolviendo el problema de predicción, ¿se fijan?
La función matemática está haciendo las veces de ese pensamiento que puede
anticipar lo que va a ocurrir.
¿Okey?
Esa fue nuestra primera aproximación.
Esta llave fue una llave, digamos, muy cómoda,
que siempre está arrojando tres litros cada minuto,
pero ahora vamos a suponer que la misma razón de cambio dependa del tiempo.
Osea, qué tal si, en lugar de r de t igual a tres,
ponemos r de t igual a dos por t.
¿Sí?
Este dos por t ya me está diciendo que ya depende del tiempo,
cada vez que el tiempo pasa, la r se hace más grande, ¿no?
Osea, si el tiempo es cero, a principio es cero.
Es como si tuviera una llave y estuviera cerrada, ¿no?
Ahorita está cerrada.
En el tiempo cero no entra nada.
Pero en el tiempo uno, ya puedo decir que entrarían, ¿qué?
¿Dos litros por minuto?
Y en el tiempo dos, entrarían cuatro litros por minuto, y en el tiempo tres,
seis litros por minuto, y así nos vamos.
Osea, cada vez están entrando más litros por minuto.
Pero no es así como de cortado, sino que es continuo, ¿se fijan?
Osea, en los 2.5 minutos, entrarían cinco litros.
¿Okey? Tendríamos que considerar todas las
posibilidades en los números reales.
Aquí, ya no es la razón de cambio constante.
¿Okey?
Y las cosas ya no son tan simples como esto.
Las cosas son simples cuando la razón de cambio es constante.
Y el cálcuúlo, entonces, es la materia que nos dice aquí no es constante la razón
de cambio, sin embargo, esa continuidad de la que les he hablado por encimita,
me asegura que puedo considerar la razón de cambio constante mientras considere
intervalos de tiempo, ahorita, que sean suficientemente pequeños, ¿no?
Claro, a decir suficientemente es algo que, dentro de eso,
la teoría tiene mucho que aportar.
Entonces, como no voy a poder hacer las cosas, digamos, así como lo hicimos aquí
en el papel porque, al estar haciendo multiplicaciones,
se puede empezar a complicar y yo no estoy dispuesta a hacerlas, entonces,
yo les invito a que vayamos con excel.
En excel, tengo aquí preparado un archivo,
si ustedes se fijan, ya tengo las variables,
la letra t de tiempo Tengo la v de t que está haciendo las veces del volumen, ¿no?
En el tiempo t que es un volumen que equivale al cambio, ¿no?
Acumulado, ¿no?
Que habíamos dicho ya.
La razón del cambio del volumen.
Y aquí, esto que está aquí es lo que ya habíamos visto con nuestro método
de Euler.
En esta columna estamos prácticamente como quien dice diciendo mentiras,
¿por qué estamos diciendo mentiras?
Porque estoy haciendo una suposición de que la razón de cambio acá en,
la calculada en la columna anterior fuese constante en un intervalo de tiempo.
Y en ese intervalo como es constante yo puedo hacer multiplicaciones
para calcular una aproximación del cambio de la magnitud, ¿okey?
También tengo declarado el intervalo de tiempo aquí que puse un punto uno.
O sea que ya estoy tomando como un décimo de minuto, ¿de acuerdo?
Un décimo de minuto vamos a considerar aquí para que
podamos hacer nuestros cálculos que al cabo,
este, bueno vamos a poder después mejorarlos cada vez más gracias a Excel.
Entonces si ustedes ahorita me acompañan podríamos poner aquí un
número cero porque estamos empezando en el tiempo cero.
Y en este lugar de acá en la siguiente celda lo que le diríamos nosotros a Excel
es toma el valor anterior y súmale el valor que tengo acá declarado de delta t.
Claro que recuerdan ustedes que aquí tenemos la precaución de poner un
signo de pesos para que los cálculos no se,
cuando hagamos la copia de la fórmula no se arrastren en los valores que están
aquí que no están previamente fijos sino que se queden en este valor.
Entonces ya hecho esto le doy un enter y miren que apareció el punto uno, ¿por qué?
Porque al cero le sumo punto uno.
Y así me puedo ir, ¿no?
Esta fórmula la puedo yo correr, ¿no?
A través de lo que hemos dicho del autofill, ¿hasta dónde?
Hasta donde quiera, ahí vamos a dejarla ahorita.
Y ya se están haciendo, digamos,
esas divisiones del minuto en partes de 10 en 10, ¿okey?
Los intervalos que estamos considerando son de un décimo de minuto, ¿okey?
La función v de t no la conocemos.
O sea eso es lo que andamos buscando.
Queremos predecir el valor del volumen, ¿cierto?
Pero lo vamos a poder predecir porque para eso vamos a usar la razón de cambio.
Ahí está precisamente, digamos, el buen ojo de Newton cuando
concibe este tipo de magnitudes que se llaman razones de cambio, ¿no?
Porque él sabe que a través de ellas uno puede construir a la magnitud misma.
Sabiendo cómo varía va a construirla, ¿no?
Entonces aquí en la columna de v de t no voy a poner ninguna fórmula, ¿okay?
Voy a decir primero un cero y este cero está indicando de que al principio en el
tanque no había nada, ¿okey?
No había nada de litros.
Y la razón de cambio que dijimos aquí es la que les estoy proponiendo,
¿se acuerdan?
O sea aquí sí voy a decirle a Excel toma dos veces y multiplica
eso por el tiempo t, ¿okey?
Aquí oprimí la tecla para la columna t y aparece el número A2, ¿no?
Aquí para hacer la multiplicación.
Ahí quedó un cero, ¿por qué?
Porque dos por cero da cero, ¿no?
Fíjense que esta razón de cambio dos t es como pensar que la razón de cambio es
proporcional al tiempo transcurrido, ¿no?
¿Se acuerdan como esas multiplicaciones también son maneras matemáticas de
representar una relación entre magnitudes?
El dos por t dice que la razón de cambio es proporcional al tiempo
transcurrido, ¿no?
Y la constante de proporcionalidad es un dos, ¿okey?
Entonces aquí tengo esta fórmula y se si fijan ustedes ahorita al correrla la
fórmula funciona, ¿verdad?
O sea me está calculando el doble de lo que está en la columna A, ¿okey?
Después en este lugar lo que hacemos son, ¿qué?
Decir mentiras, sí claro vamos a decir mentiras aquí, ¿por qué?
Porque vamos a decir mira toma el valor que tienes aquí y multiplícalo por,
para multiplicarle le hacemos así, por, ¿verdad?
El delta t que está acá, ¿okey?
Pero por favor no me lo cambies a los de abajo.
Ponemos un signo de pesos ahí, ¿no?
Para que no pase nada.
Y ahí ya Excel está haciendo automáticamente la multiplicación de la
celda de aquí con la celda de acá, ¿de acuerdo?
Si hacemos aquí digamos una copia de la fórmula,
vamos a ver que funcione, y sí funciona, ¿verdad?
Porque vean como ustedes esa cantidad se hizo 0.08.
Se multiplicó por punto uno, ¿cierto?
Ese punto uno, ¿a qué equivale?
Es como un décimo, dividir entre 10 una cantidad es mover el punto decimal, ¿no?
Hacia la izquierda, ¿okey?
Ahí lo está haciendo Excel.
Miren hasta aritmética estamos ahorita recordando, ¿no?
Con Excel.
Bueno, ahí tenemos construido toda nuestra información sobre la razón de cambio.
Y, ¿el volumen?
Van a decir y ese, ¿de dónde lo vas a sacar?
Lo vamos a sacar con el método de Euler.
O sea con esa estrategia numérica que estamos viendo en toda esta unidad.
¿En qué consiste ese método?
Pues consiste simplemente en decir esta idea tan fundamental pero tan simple.
O sea si yo tengo que el valor inicial era cero y quiero un
valor final entonces lo que tengo que hacer es al valor
inicial le voy a sumar el aprox de lo que cambió,
la magnitud, y ese aprox de lo que cambió está justamente aquí, ¿okey?
Y entonces me salió un cero, ¿por qué cero?
Pues porque ahorita no ha cambiado nada, ¿verdad?
Porque el primer dato de la razón de cambio que consideramos es justamente
cero, ¿no?
Pero vamos a hacerlo otra vez.
O sea supónganse ya tengo este valor de cero,
ya tengo uno nuevo dato de la razón de cambio o una nueva mentira acá que me va
a decir que cuánto va aproximadamente a cambiar la magnitud y entonces aquí
el nuevo dato sería al anterior le sumo el cambio, ¿no?
Claro que esto no lo tengo que volver a teclear sino que ya tengo aquí
una fórmula declarada en Excel y entonces simplemente le hago
así y tengo un nuevo valor para el volumen, ¿de acuerdo?
Y si le sigo más abajo y más abajo y más abajo ya tendríamos aquí esa listita, ¿no?
Que nos estaría diciendo el comportamiento del volumen a medida que
está pasando el tiempo pero no llevamos, ¿qué?
Ni un minuto, ¿cierto?
No llevamos ni un minuto apenas vamos en punto siete de minuto.
Entonces, ¿qué tendríamos que hacer?
Pues, decirle a Excel toma todo esto, ¿cierto?
¿Sí?
Y por favor vamos a decirle autofill, ¿okey?
Entonces vamos a ver, déjenme ver si me deja aquí arrastrar y arrastrar y
arrastrar y arrastrar y vamos a ver hasta donde somos capaces de llegar.
Yo digo que ahí, okey.
Ya me pasé de 10 minutos, ¿si?
Mi intención era llegar hasta los 10 minutos pero igual, no importa.
Veamos.
Tenemos esta lista de números y ahorita estamos viendo que a los cero,
en tiempo cero el volumen era cero, y después el volumen está aumentando
de tal manera que en el minuto uno el volumen es punto nueve litros, ¿cierto?
Vamos a ponerle un colorcito aquí a esta para que lo podamos
distinguir mejor, un verde.
Sí, igual que la tarjetita verde, ¿qué tal?
Entonces aquí nos va a quedar que el volumen en un minuto
es punto nueve litros.
Si le seguimos para abajo a los dos minutos el volumen es 3.8 litros.
A los tres minutos el volumen es 8.7 litros.
A los cuatro minutos el volumen es 15.6 litros.
A los cinco minutos es 24.5 litros.
Y a los seis minutos 35.4.
¿A dónde vas Patricia?
¿A dónde vas?
A los siete es 48.3.
A los ocho es 63.2.
A los nueve es 80.1.
Y a los 10 es 99 litros, ¿okey?
Esto es un aprox del volumen que hay en el tanque porque lo
hicimos tomando en consideración que la razón de cambio se mantuviera
constante en un intervalo de un décimo de minuto, ¿okey?
Pero las cosas pueden mejorar.
Estos cálculos los podemos hacer mejores si se nos ocurre decirle aquí a Excel,
por ejemplo, que no sea punto uno que sea punto, ¿qué?
¿Nos atrevemos?
Vamos a decirle un cero uno, un centésimo de minuto, ¿no?
Si fuera un centésimo, voy a dar enter, fíjense ustedes lo que va a pasar con el,
con el, con la hoja de cálculo.
Cambiaron los números, ¿vieron?
Claro que ahora ya no llegué al 10.
O sea, estoy segura, miren aquí apenas al uno.
Tendríamos que barrer las fórmulas hasta llegar más o menos a,
a ver déjenme ver si me deja pescar algo aquí, más o menos a la columna,
no perdón al renglón número mil, ¿no?
Rápido, rápido, rápido, rápido ahí vamos.
Y llegamos casi, casi, casi, casi al mil.
Ahí está, wow.
Miren ustedes a los 10 minutos el volumen es 99.9.
¿Okey?
Y si me fuera a los ocho minutos.
¿Dónde están los ocho minutos?
Ya los marée a los ocho minutos, es 63.92, ¿sí?
No sé si estén notando algo,
me voy a ir a los siete a ver si ya tienen ustedes alguna, ¿cómo se dice?
Una conjetura, ¿no?
A los siete minutos si, si han visto cálculo a lo mejor puede ser que sí,
miren este siete se acompone, acompaña con un 48.93.
¿El número seis se acompaña con quién?
Con el 35.94, o sea, casi casi 36.
En el cinco tenemos un, vamos para arriba, para arriba.
En el cinco tenemos un 24.95.
O sea, casi casi 25.
¿Sí?
Y así le podemos seguir, ¿ven lo que está pasando?
Ustedes son testigos de que yo no metí ninguna fórmula en Excel.
Y que aquí en esta columna B de alguna manera se
está generando una fórmula, ¿cierto?
En el número dos, en el número tres ya saben a quién se va a acercar ese número.
Ahí está 8.97, o sea casi nueve.
¿Y en el dos?
Casi, casi, ¿cuánto?
Casi cuatro.
Aquí está, ¿no?
Con este número de aquí ahí me metí 3.98, casi cuatro.
¿Qué hice, eh, con esto?
Hicimos, qué hicimos, una mejora, una mejora.
Ahorita tenemos mejores datos de volumen, cierto.
Y nada nos impide, em, meter aquí un 0.001 y hacer milésimas de minuto, ¿no?
Traigo preparada mi hojita.
Aquí está mi hojita donde está el 0.001.
Aquí está, y justamente en esta hojita ya hice, eh, una digamos,
una sombreo, ¿no?, del cero para que lo vean aquí.
Y de hecho, miren desde el cero hasta el uno.
En esta parte de aquí,
si llego yo hasta el uno y no me paso,
ya me pasé, ¿no es cierto?
Guao, está bien lejos el uno, apenas voy en punto cuatro,
punto cinco, punto seis, punto siete, punto ocho.
Esto es algo que les voy a encargar que ustedes hagan,
ya saben que estos archivos y su fabricación la tienen disponible, ¿no?
Miren lo que hice, botón derecho y le digo Hide.
Y entonces lo que hice con esto fue provocar que me
quede el uno después del cero.
Aquí adentro hay, uf, mil, mil renglones que escondí, ¿de acuerdo?
Y ahorita tengo una mejor percepción visual de lo que, eh,
se asigna a, en el tiempo uno, al volumen.
¿Lo hacemos otra vez?
Escojo, fíjense dónde está el cursor en el 1003.
O sea, en, en donde está la columna que me enumera las, los renglones.
Lo escojo, me voy hasta abajo, hasta abajo,
hasta abajo, hasta que llegue hasta, como el 2000, ¿no?
En eso del 2002 ahí, no me vaya yo a pasar.
Y entonces al llegar hasta el 2000, ya mero llegamos, ya merito.
Ahí estamos, ya tengo que concentrar, ahí estamos.
Y ahí digo botón derecho y le digo Hide.
Y ya tengo aquí lo que pasó en el dos.
¿Cierto?
Lo tengo más cerquita.
Vamos a hacer lo mismo, ¿no?, hasta el tres.
Probablemente ustedes se van a, a cansar de estarme viendo que yo esté haciendo
esto, pero podríamos a lo mejor hacer una oportunidad,
¿no?, de que me dejen hacerlo y cortamos aquí en un minutito para
enseñarles la lista completa, ¿qué les parece?
¿Estamos de acuerdo?
Ahorita los veo.
Pues listo, ya lo logramos, ahora déjenme enseñarles este archivo,
no, que he preparado escondiendo lo que,
la información que digamos no nos está ayudando como para hacer una
acción matemática muy importante que se llama inducción.
La inducción, voy a explicar en qué consiste, consiste en que uno
pueda ver estas fórmulas que están acá, bueno fíjense, ya dije fórmulas.
Que pueda ver en estos números que están acá fórmulas.
O sea, vamos a encontrar un patrón de comportamiento que nos diga,
las cosas van a funcionar así.
¿Okey?
En los, en t igual a cero el volumen es cero.
En t igual a uno el volumen es 0.9999.
En t igual a dos el volumen es 3.999.
Es más, se me está ocurriendo algo.
Miren, si yo señalo estos valores voy a decirle a Excel que me redondee.
¿Okey?
En esta acción que voy a hacer con Excel, yo lo que quisiera que pensaran ustedes
es ¿qué hubiera hecho que el delta t fuera más, y más, y más pequeño cada vez?
De tal forma que tengo muchas más cercanía a los números que
estaba ya medio visualizando.
¿Okey?
Entonces pensando que eso fuera algo, eh, que hiciéramos,
¿no?, hacer que el delta t tienda a cero.
Entonces le estaríamos diciendo a Excel, fíjense,
botón derecho me voy a esto que está aquí, dice Decrease decimal.
Igual también lo pueden hacer en Format cells, ¿no?
Pero le voy a decir quita decimales, quita decimales y quita decimales y no quiso.
Vamos a hacerlo otra vez.
Quiere hasta aquí, vamos a poner quitar decimales, ya quitó.
Otra vez, creí que me iba a dejar hacerlo varias veces.
Le vamos a decir quitar decimales, ya quitó otro.
Vamos otra vez, quitar decimales.
Hubiera sido más fácil con el Format cells.
En los que hagamos enseguida lo vamos a hacer así, okey, ya lo logré aquí.
Quitamos decimales y ya.
¿Qué nos quedó?
Yo creo que es más fácil.
¿Sí? Verlo de esta manera, ¿no?
Bien, lo que les decía de Format cells sería aquí, irnos aquí y entonces decirle
Number, decirle cero decimales, ¿no?, cero, okey.
Se ve mejor.
¿Sí?
En este lado tenemos el volumen que corresponde a los tiempos de al lado,
de la izquierda, ¿no?
En cero vale cero, en uno vale uno, en dos vale cuatro, en tres vale nueve,
en cuatro 16, en cinco 25, en seis 36, siete 49, ocho 64, nueve 81 y diez es 100.
Es una adivinanza, ¿no?, es como una adivinanza.
¿Cuál es la fórmula para V de t?
´Después de este proceso.
Después de este proceso uno puede inducir que la fórmula es,
vamos a anotarla acá, salió de haber estado trabajando ahorita con Excel, ¿no?
Y entonces la vamos a poder escribir acá, ¿no?
La fórmula que vimos en Excel es V de t igual a t
cuadrada litros, ¿no?, serían acá.
¿Sí?
Con ayuda del método de Euler, con ayuda de Excel también fuimos capaces
de hacer un razonamiento matemático que nos llevara a hacer esta inducción.
Cuando en Excel metimos la razón de cambio igual a dos t.
Y después hicimos el proceso de Euler, no, en Excel, trabajamos
un poquito el archivo para poder ver mejor, ¿no?, los números que estaban ahí.
Nos percatamos de que allí hay una fórmula escondida
correspondiendo con esta r de t igual a dos t hay una fórmula,
un v de t igual a t cuadrada que nos está resolviendo el problema de predecir el
volumen de agua en ese tanque cuando han pasado tres minutos y cuando
la razón de cambio era una razón de cambio dada por la fórmula r de t igual a dos t.
Empezamos un poquito con esta simbología.
Ya los invito en el siguiente video donde vamos a poder poner todavía muchas
más letras dentro de este análisis que partiendo de
lo numérico nos está llevando a lo algebraico.
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