Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Situación: Hablemos de coches...
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Y muchas más aplicaciones
Este último módulo se retoma la problemática original de predicción aplicada a nuevas situaciones reales en las que la aplicación de los procesos de derivación e integración en Cálculo resultan de utilidad para analizar el comportamiento de las magnitudes involucradas.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues estamos entonces con nuestra baje de conocimientos,
todas estas fórmulas han sido organizadas durante el desarrollo del curso.
Siempre respetando una organización
como esta que les he propuesto desde un principio.
Vean ustedes como aquí, en este curso,
la función está en el centro y a esa función la hemos derivado.
Al derivarla se está cumpliendo esta flecha,
¿no?, obtenemos la función derivada que es a su vez un cociente de diferenciales
y es una razón de cambio instantáneo.
Al mismo tiempo en el curso hemos sido capaces de regresar con esta flecha,
porque si antiderivamos la derivada regresamos a la función.
Estamos haciendo uso del teorema fundamental del cálculo.
Siendo la función el personaje aquí en el centro,
¿no?, también podemos antiderivarla.
Ahora me estoy yendo por esta flecha, y entonces encuentro lo que se llama una
integral indefinida o la familia de antiderivadas.
Por su parte, estando en este renglón podríamos hacer la derivada y
recuperamos la función original.
Vean como este es un juego, ¿no?, es un juego digamos yo le llamo algorítmico.
Algo que uno puede empezar a hacer con las diferentes
fórmulas matemáticas que tenemos acá y entonces,
bueno pues todo se vuelve un lenguaje muy sin significado que a veces es complicado.
Yo acepto que este lenguaje es complicado pero
desafortunadamente a veces eso es lo que aprendemos de matemáticas,
y realmente eso es muy poquito de lo que la matemática significa.
¿Qué vamos a hacer en este curso?
Vamos a hacer una síntesis todavía mucho más concreta que esta para que ustedes se
queden con esa, una buena impresión, ¿no?, de que el cálculo es simple, ¿no?,
es una idea que se esta llevando, digamos a cabo en muchas,
muchas situaciones diferentes, pero la idea es una, ¿sí?
Entonces les propongo que comencemos aquí con una función.
Vamos a tomar y como función de x, ahorita recuerden ustedes que esa función está
representandome a una magnitud que está cambiando con respecto a la magnitud x.
Está función la podemos derivar y entonces hablaríamos de la derivada de y
con respecto a x, o el cociente de diferenciales.
Esto con la otra notación sería f prima de x, ¿no?
Y ahí vamos.
Después, lo que podemos hacer con esta expresión es,
viéndola como cociente de diferenciales, podemos despejar el diferencial de y.
Y entonces nos quedaría aquí f prima de x por el diferencial de x, ¿okey?
Este diferencial de y, lo que hemos dicho es que son los cachitos digamos,
infinitamente pequeños que conforman a la magnitud y.
Esa es una concepción, o sea, esa es una concepción en cálculo.
Mi magnitud está formada de diferenciales y entonces si quiero
recuperar la magnitud, si quiero predecir valores de ella,
lo que tengo que hacer es sumar sus cachitos, ¿no?
O sea, es una suma de diferenciales, eso es nuestra integral
y esto entonces se escribiría como la integral de f prima de x dx.
Vean ustedes que aquí apareció el personaje derivada y es en dónde se nota
que nosotros hemos tomado como base el teorema fundamental del cálculo porque lo
que es integra son derivadas, al integrar las derivadas entonces lo que estamos
haciendo es recuperar a la magnitud y entonces la respuesta aquí va a ser f de
x más c, ¿no?, la famosa c ha sido también, ¿por qué?
Por como consecuencia de distintos valores iniciales de la magnitud
y que tenga la misma derivada, aún y cuando tiene la misma derivada, ¿no?
Entonces teniendo esto en mente, me gustaría agregar un detalle aquí sobre
el teorema fundamental en donde diríamos nosotros que la integral desde a hasta b
de f prima de x dx es igual a, acuérdense cómo se escribe.
Ahorita ya no voy a escribir la c porque se va a cancelar.
Se escribe f de x evaluado desde a hasta b,
que no es más que una notación para f de b menos f de a,
y esto que tenemos aquí para nosotros, lo podemos reconocer que es el cambio, ¿no?
¿Qué es el cambio?
Es una resta de valores, ¿no?
Entonces realmente hemos estado jugando con el teorema fundamental del cálculo y
el juego consiste si tengo una función, puedo derivarla, puedo sacar
sus diferenciales, puedo integrar los diferenciales y regreso a la función y soy
capaz de predecir el cambio que sufre esa función en cualquier intervalo,
¿no?, de la magnitud de la cual depende, en este caso de la x.
Todo este juego lo podemos poner en distintos contextos, ¿okey?
Entonces les propongo el contexto que ha sido digamos,
para nosotros fundamental para poder transmitirles estas ideas.
No es porque sea un ejemplo y no es porque sea una aplicación.
Es simplemente porque ha sido un contexto que
históricamente nos ha ayudado a entender el cálculo.
Me refiero al contexto del movimiento.
Yo puedo hablar de una posición de un objeto, ¿no?,
que se mueve en línea recta, puedo hablar de su derivada,
derivada de x con respecto a t que en este caso tiene un nombre, se llama velocidad.
Podemos poner nuestra notación de la derivada
o podemos usar nuestra notación de la velocidad, ¿okey?
Puedo hablar de diferenciales de la posición,
para esto lo que tendría aquí sería el producto de x prima de t por dt o bien,
podemos escribirlo como v de t por dt.
¿De acuerdo?
Esa es la misma notación, digo, es la misma expresión para el diferencial de x.
Recuperar los valores de la posición sería integrar los diferenciales de x,
¿no?, o sea, estaríamos integrando, qué voy a hacer,
voy a sustituir esto y esto, lo que es el diferencial.
Tendríamos aquí la integral de x prima de t dt o lo que es lo mismo,
integral de v de t dt, y entonces eso es cuando uno recuerda de que
para encontrar la posición, lo que se hace es integrar la velocidad.
Esta integral nos va a dar entonces x de t salvo la constante aditiva c, ¿no?
Igual en este momento podríamos hablar del cambio de la posición y ese cambio de la
posición, en un intervalo de tiempo de a a b sería la integral desde a hasta b de
v de t dt o de x prima de t para que nos de esto como respuesta x de
b menos x de a, se los puse acá porque me estaba estorbando mi computadora, ¿no?,
pero eso es una resta, o sea, vamos a ponerlo mejor aquí.
Esto es la notación x de t evaluado desde a hasta b.
Se coloca primero x evaluado en b y se le resta el valor x evaluado en a, ¿no?
Este es un contexto, ¿sí?, este contexto inicial, nos ha servido mucho para apoyar
nuestras ideas porque todos nos movemos, todos nos movemos y entonces esa sensación
de movimiento es algo que nos permite trasmitirles todas estas expresiones,
¿no?, en un contexto se vienen a la generalización,
a la simbolización y de esta simbolización nos podemos ir al contexto que sea.
Me gustaría que en este video retomemos el contexto del movimiento.
O sea, vamos a plantear una situación en donde bueno, pues me gustaría que
viéramos algunos videos para recrear un poquito, ¿no?, lo que vamos a hablar.
Y entonces tendríamos ahorita, sí, si los pasamos, ¿okey?
Ahí tenemos esas imágenes, vean ustedes que nos estamos moviendo rápidamente, ¿no?
Ahí estábamos moviéndonos muy rápido, ya saliendo de la ciudad,
ya me va a dar aquí medio miedo, no vaya a ser que nos vaya a salir una vaca, ¿no?
Pero bueno, vamos a ver.
Seguimos adelante, seguimos adelante.
Vean ustedes, esas imágenes, lo único que quiero con ello es romper un poquito
estas fórmulas, ¿no?, matemáticas y pensar, qué bueno, esto es una realidad.
Ahí estamos en el movimiento, en una recta, o bueno a lo mejor no tan recta,
¿no?, pero es una cotidianidad, ¿no?
Es algo que nos pasa todo el tiempo.
Nuestro mismo coche es una sensación, ¿no?
Nos produce esa sensación del movimiento.
Vamos a estudiar otra vez entonces alguna situación que tenga que ver
con los coches y con el movimiento, ¿sí?
Les propongo, les traigo dos situaciones.
Ay, ya estuvo medio oscuro,
mejor ya nos salimos de allá y mejor vengámonos al papel, prefiero las fórmulas
ahora, nos venimos al papel y vamos a estudiar esta situación.
Se las voy a platicar un poco.
Esto tiene que ver con una acción muy matemática también.
Esta expresión g de v igual a e a la 0.01 v es una expresión que me está permitiendo
decir que algo depende de algo y que a medida que este crece, este también crece.
Tal vez sería bueno ahorita que les enseñara una imagen,
si me permiten pasar aquí a la computadora.
Traía un archivo en este software, el graphing
calculator que es muy bueno para esto, porque ahorita que estaba viendo yo,
les puse e a la 0.01 v y miren ustedes claro, aquí no puedo ponerle así,
tengo que ponerle y igual a e a la n x le puse, ¿okey?
Si ustedes alcanzan a ver la letrita que está acá abajo donde llevo el cursor,
esta letra n, sí, es un parámetro, ¿okey?
Lo que está pasando ahorita con este software es que
esta función se está viendo afectada por ese parámetro, ¿okey?
El parámetro provoca, como ustedes pueden percibirlo ahorita,
¿no?, visualmente que El gráfico sigue siendo algo que se levanta
pero a veces se levanta más rápido y a veces se levanta menos rápido, ¿no?
O sea si yo lo controlará por aquí, vean ustedes ahorita el parámetro está en 0.23,
o sea que estoy viendo e a la 0.23 por x, ¿sí?
Si lo pongo más acá es e a la 0.44 por x, ¿no?
Si lo pongo como el que queríamos ver ahorita es un e a la punto cero, a ver si
me deja, cero uno por x, ya se fue hasta el tres, ni siquiera, hasta ahí está.
Vean ustedes ahorita que realmente estaría yo viendo la,
la gráfica de e a la 0.01, 0.01 por x, ¿sí?
Entonces la expresión que teníamos en el papel es una expresión
de una función exponencial que, que crece lento, ¿se fijan?
O sea esa sensación de que no crece tan rápido.
A uno cuando le dicen en el lenguaje cotidiano, no hombre es que es exponencial
eso, crece exponencialmente, uno piensa no pues se va bien rápido, ¿no?
En finito, y no es cierto.
Realmente eso depende del parámetro, ¿no?
Si ustedes se fijan ahorita estoy manejándoles un parámetro n,
se los voy a mostrar.
En donde tomo valores desde cero hasta, vamos a ver aquí, desde cero hasta uno.
Haciendo valores desde cero hasta uno los gráficos están tomando esta forma, ¿no?
O sea están tomando esa forma y me puedo detener por ahí y ver que realmente
aún y cuando crece crece no como me lo esperaba, ¿no?
Si en el eh, parámetro les cambio y le pongo que el,
el valor menor sea un uno y que se vaya hasta incluso hasta 100 podríamos decirle.
Bueno no, no se vayan, nosotros vamos a ponerle hasta un 50 mejor, ¿okey?
Y entonces vamos a ver qué va a pasar, vean ustedes lo que pasa.
Ahora ya el gráfico se pegó tanto pero tanto al eje y que prácticamente no lo
vemos, ¿no?
Por tantos valores que le di pero llega hasta a la e a la uno por x, ¿no?
O sea ahorita el graficador está dibujando muchas gráficas pero todas están
de, del tipo que, que crece muy rápido.
Entonces, ¿qué era lo que yo quería con esto?
Quería mostrarles que esta expresión de e a la n por x,
esta expresión es una expresión que sirve para modelar matemáticamente muchas cosas.
Entonces ahorita si nos regresamos al papel.
Estamos viendo aquí que la función que tenemos e a la 0.01 por v
aún y cuando uno pensara ay es exponencial y crece bien rápido, no es cierto.
O sea es una expresión que sí permite decir que algo crece cuando este crece,
¿no?
Esta es una expresión que se puede, que puede estar representando lo
que vendría siendo el consumo de gasolina por, por hora, ¿sí?
O sea esto sería, esta expresión estaría diciéndome litros, este no escribió,
litros por hora, vamos a ponerle litros por hora, ¿no?
¿okey?
Entonces es un indicador de que a más, este, velocidad,
si la velocidad es más grande se consumen más litros por hora, ¿okey?
Esto es algo que, que podríamos pensar que es correcto.
Mayor velocidad, mayor consumo de litros, ¿okey?
Ahora si ponemos el cociente de g de v entre v lo que estaríamos
haciendo con esto es estar dividiendo litros por hora entre kilómetros por hora.
Y si hacemos esa división de litros por hora entre kilómetros por
hora lo que nos van a quedar son litros por kilómetro, ¿no?
Aquí no le puse la m, ¿no?
Litros por kilómetro.
Entonces sería como un consumo de litros de gasolina por cada kilómetro, ¿okey?
Entonces esta expresión, este modelo matemático me puede estar
representando el consumo de gasolina, este, por kilómetro.
Y entonces podríamos preguntarnos distintas cosas, ¿no?
Porque podría ser de interés saber, oye pues,
¿a qué velocidad me voy para que consuma menos gasolina?
¿No? ¿Cierto?
Antes de que hagamos esos cálculos, ¿no?
Eh, me gustaría mostrarles este graficador porque en este graficador
a diferencia del que les enseñé ahorita de Graphing calculator
en este graficador vamos a poder hacer algunas otras cosas, ¿sí?
Entonces si ahorita se puede ver a bien aquí la imagen vean ustedes que he puesto
e a la 0.01 por x sobre x es el,
la función que tengo señalada para hacer su gráfica y vamos ahí está la gráfica.
En esta gráfica estamos viendo que el graficador ahorita maneja una misma
escala, ¿no?
En el eje vertical y el horizontal.
Recuerden ustedes ahorita no estamos viendo esta parte de acá
no andamos de reversa no tenemos velocidades negativas.
Pero acá estamos hablando de este gráfico como que nos está representando
el consumo, ¿no?
De litros por hora.
Entonces uno pensaría no pues si vamos a pensar que hay un mínimo, ¿no?
De consumo pues tendría que andar por acá entonces voy a hacerme para acá.
Eso es lo que les digo que me deja hacer este graficador.
Y por más que me hago y me hago y me hago,
por eso quería enseñarselos, yo veo que las cosas van para abajo, ¿no?
¿Cierto?
La ventaja de este tipo de tecnología ahora
es que me va a permitir manipular gestualmente, ¿no?
Pero antes de hacer esa manipulación mejor me regreso, ¿sí?
Y quisiera yo mejor mostrarles que nuestra mente también es capaz de decir más
cosas de que lo, de lo que los graficadores nos pueden ofrecer, miren.
Nosotros estamos pensando que tiene que haber
un momento o un valor en donde el consumo sea mínimo.
Entonces si lo vamos a encontrar lo que hemos aprendido en este curso es pues
deriva, deriva para que veamos en dónde la derivada es cero porque ahí
tengo información de máximos y mínimos, ¿no?
Entonces, ¿qué vamos a hacer?
Pues vamos a derivar.
O sea nosotros estamos viendo que el gráfico viene de las de
acá pero todavía no sabemos qué va a pasar después pero intuimos,
intuimos que tiene que haber un valor mínimo.
O sea que esto tiene que hacer algo así.
Entonces andamos buscando este lugar.
Entonces vamos a derivar c prima de v,
para derivar c prima de v tendríamos que usar la regla del cociente, ¿cierto?
Entonces pondríamos el de abajo por la derivada del de arriba que es
e a la 0.01 v por 0.01 menos el de
arriba e a la 0.01 v por la derivada del de abajo que es un uno.
Afortunadamente porque ya no me cabía.
Y todo esto sobre el de abajo al cuadrado, ¿no?
¿Sí?
Entonces vamos a hacer nuestras operaciones un poquito más acá
y si les parece de una vez yo ya estoy viendo aquí,
dejen ver si tengo un marcador que me sirva, yo ya estoy viendo aquí que esto
es algo que está común en los dos términos que se están restando.
Entonces de una vez lo vamos a factorizar, ¿no?
Entonces ponemos e a la 0.01 v que multiplica
a 0.01 v menos y aquí habría un uno, ¿no?
Para que al multiplicar por menos uno me quede menos acá, ¿no?
Entonces esta es nuestra derivada, ¿cierto?
Y si esta función va a tener un mínimo va a ser en un lugar en donde la derivada
sea igual a, vamos a ponerle con el otro color, cero.
O sea quiero ponérselos con otro color porque para mi es otro pensamiento.
O sea una cosa es derivar,
okey ya derivé pero otra cosa es decir es la voy a igualar a cero.
¿Por qué?
Porque quiero encontrar un comportamiento de mínimo, ¿no?
En esta función.
Al igualar a cero entonces nos va a quedar la expresión, vamos a ponerla aquí,
e a la 0.01 v por 0.01 v menos uno igual a cero, ¿no?
¿De acuerdo?
En este momento yo los invito a que recordemos, ¿sí?
A que recordemos que cuando el producto de dos números va a dar
cero tiene que ser por culpa de uno de ellos, ¿sí?
O sea en esta expresión, la voy a poner aquí arribita, ¿sí?
En esta expresión lo que podríamos decir es o este da cero o este da cero, ¿cierto?
Y el primero dar igual a cero quiere decir que e a la 0.01 v sea igual a cero.
¿Okey?
Que el segundo sea cero sería poner 0.01 v menos uno igual a cero.
Quiero que me acompañen en este pensamiento.
Cualquier función exponencial elevada a la potencia que sea, que sea, ¿no?
Cualquier graficador que sea un buen graficador
les va a mostrar una gráfica arriba del eje horizontal.
¿Por qué? Porque e a la lo que sea siempre va a ser
mayor que cero.
A veces a mí me gusta escribirlo así como e a la
lo que sea siempre es mayor que cero, ¿okey?
Entonces para decir que esto sea igual a cero, pues no, no se va a poder hacer.
Entonces vamos a ponerle aquí nunca, nunca va a ser cero esto, ¿no?
Entonces lo único que podría ser cero es lo de acá.
Y en este momento 0.01 v es igual a uno, v es igual a uno entre 0.01.
Pero el 0.01 es uno entre, ¿qué?
Uno entre 100, ¿no?
Y entonces esta división nos va a dar igual a 100 y nuestra interpretación
sería, ¿quieres tener el mejor consumo de gasolina?
Vete a 100 kilómetros por hora.
Está medio drástico que ande yo diciendo esto porque se me hace que no estoy dando
buenos consejos, ¿verdad?
Porque realmente no debería de andar uno a los 100 kilómetros por, por hora, ¿no?
Pero bueno la idea está dicha.
O sea ahorita lo que podríamos
Nosotros decir del gráfico es que tiene que hacer a fuerza algo así ¿no?
A lo pinté muy bonito, les digo no todo lo que baja y sube es parábola ¿verdad?,
eso no puede ser una parábola.
No es parábola ¿no?, no es parábola.
Pero si sabemos que tiene que subir ¿no?
Entonces regresémonos a nuestro graficador porque algo tiene que pasar por aquí.
Déjenme lo abro nuevamente, aquí está.
Y como les digo la ventaja de estos graficadores,
es que uno puede hacer este tipo ¿no?
este tipo de acciones, dónde estoy modificando intencionalmente las escalas.
Entonces yo sé, voy con confianza ¿eh?
Voy con confianza.
¿Por qué? Porque yo sé, voy a moverme para acá.
Yo sé que tiene que subir, tiene que subir.
Y ahí está ¿no?
Vean ustedes como la gráfica tuvo que haber subido, voy a estirarla un poco de
acá para que se vea ya mejor y entonces ahí se ve como tiene ese,
ese mínimo ¿no?, que está más o menos pues por aquí, ahí.
Es en el 100 justamente según lo que descubrimos y le hago así,
ahí se ve que en el 100 está el valor mínimo.
Y recuerden como era la gráfica originalmente.
Con esto también lo que quiero transmitirles es que, no confiemos en que
porque ya tenemos la tecnología ya con eso tenemos todo resuelto, no es así.
Yo lo que estoy a favor es de que la tecnología me permite
profundizar en mi pensamiento.
Profundizar en mi aprendizaje ¿no?, sobre las curvas en este caso.
Siempre que esta curva tiene aquí una interpretación ¿no?
Entonces hemos llegado a una conclusión con este problema de el coche ¿no?,
hablábamos de la gasolina en el coche y el consumo.
Yo los invito a que hagamos un segundo problema en el contexto de coches,
para cerrar con broche de oro ¿no?
este contexto en nuestro curso.
Entonces lo que les voy a mostrar ahora es otra filmina que traigo por aquí.
Creo, aquí está.
Esta filmina, es la misma foto bonita ¿no?
que teníamos pero le puse ahí,
le quise poner esa fórmula ahí medio escondida casi no se ve.
Pero bueno sino se las pongo aquí afuerita ¿no?, dice algo así como
v de t igual a 220 t e a la, ay se me pego el cero con la t.
T e a la menos t cuadrada,
está peor que entonces que la que yo tenía aquí adentro ¿verdad?
Bueno, ahí se nota ¿no?
Esa va a ser ahorita nuestra hipótesis de que
el comportamiento de la velocidad es de este estilo ¿no?
¿Qué podríamos decir nosotros si conocemos ese comportamiento de la velocidad?
Pues podríamos decir varias cosas ¿no?
Por ejemplo, se me ocurre pensar por lo que les acababa de decir hace
ratito que e a la menos t cuadrada siempre es positivo, ya lo dije ¿no?
e a la lo que sea siempre es positivo.
Si eso lo multiplico por una t,
mientras esta t sea positiva significando el tiempo de aquí para adelante ¿no?
O sea, ya lo pasado pasado, no me interesa ¿okey?
Entonces toda esta cantidad sería positiva,
si toda esta cantidad es positiva entonces la velocidad siempre es positiva.
Y si la velocidad siempre es positiva, ese coche siempre va para adelante ¿no?
Siempre está avanzando ¿de acuerdo?
Entonces el coche está avanzando, el hecho de que avance cada vez más rapido,
cada vez más lento eso es lo que está por verse ¿no?
Y eso lo podremos descubrir si nosotros somos capaces de
interpretar esta expresión ¿no?
De hecho, podríamos incluso también hablar de la expresión ¿no?
de la posición.
¿Qué les parece si en primer lugar pensamos en, en la posición?
Vamos a poner, estoy organizando mi pensamiento también.
Y vamos a poner una primera pregunta, ¿sí?
para pasar ahorita a utilizar integrales en lugar de derivadas.
Vamos a preguntarnos, o sea,
¿cuál va a ser la expresión para la posición del coche en el tiempo t?
¿Okey?
Por lo que ya hemos visto ¿no?
con anterioridad,
resumimos aquí para esto necesitaríamos integrar la velocidad ¿cierto?
Entonces nos vamos a traer aquí la integral de 220 t
e a la menos t cuadrada dt ¿no?
Y en este momento entonces tendríamos que recordar
nuestra cambio de variable ¿no?, nuestro cambio de variable.
Voy a usar otro color, miren aquí.
Por ejemplo, yo estoy viendo menos t cuadrada
y estoy viendo la t con el dt ¿no?
O sea, esto de aquí me hace proponerles una u
como menos t cuadrada, porque yo veo que el du sería menos dos t dt,
que bueno le falta un menos dos aquí para que estuviera completito ¿no?
Pero igual se lo podemos poner ¿no?
y quitar si lo ponemos afuera de la integral dividiendo ¿no?
Esto es lo que hemos estado haciendo.
¿Podríamos sacar este 220 de la integral?
Ya nos queda nuestra integral de t e a la menos t dt más limpiecita ¿no?
Y ahora sí con este otro color le voy a poner el menos dos aquí
y aquí pondríamos uno entre menos dos para no afectar la cantidad.
Y entonces aquí nos va a quedar tanto como 220 entre menos dos,
pues sería un menos 110 ¿no?
Y aquí lo que estaríamos integrando es qué, e a la u,
acá ahora sí aquí está nuestro u ¿no?
Entonces tendríamos una e a la u y la parte que está
acá el menos dos t con el dt, eso es justamente el du.
Entonces la integral sería igual a menos 110,
integral de e a la u que es e a la u ¿verdad?, más la constante c ¿no?
Total, ¿cómo nos va a quedar esta expresión?
Me voy a ir aquí arribita, ¿sí?
para escribir la expresión.
Vámonos para acá y entonces tenemos que x de t,
es igual a menos 110 e a la u,
quería escribir la u como menos t cuadrada, e a la menos t cuadrada.
¿De acuerdo?
Más la constante c ¿no?
Y entonces ya tenemos nuestra expresión completa
menos 110 e a la menos t cuadrada más c.
Esta sería la familia de antiderivadas,
sería la integral indefinida que nos da este para la posición.
Necesitaremos tener nosotros un dato de la posición inicial
para poder determinar cual es el valor de esa c.
Vamos poniendo algún dato ¿no?
de esa posición inicial.
Me parece que sería bueno decir unos que, ¿20 kilómetros?
Vamos a suponer aquí que la posición inicial en la que vimos al coche fueron
unos 20 kilómetros ¿okey?
Entonces esos 20 kilómetros, este dato y esta velocidad
nos deben de permitir construir completamente esta función.
Entonces nos está faltando saber, ¿cuánto vale esa c?
Vamos a calcular ese valor de la c, a través de una hojita por aquí ¿no?
que vamos a poner aquí.
Vamos a poner entonces en esta hoja que sabemos que
x de cero es igual a 20 ¿cierto?
Y por otro lado tenemos nuestra x de t aquí arriba.
Entonces, si somos capaces de usar esta información en la fórmula de arriba
pondríamos x de cero es igual a menos 110 e a la menos cero al cuadrado, más c.
O sea, nos quedaría menos 110 e a la cero que es un uno ¿no?
Entonces ya no le voy a poner nada, le ponemos nada más la c ¿no?
Pero por otro lado, este x de cero es 20.
Entonces 20 es igual a menos 110 más c.
Y ya ahí finalmente podemos despejar la c, ya hice otra vez mi espejo ¿no?
ya vi este para acá y este para acá.
Y entonces nos queda que c es igual a 20 más 110.
O sea, tantos como 130 ¿no?
Y entonces nuestra expresión matemática ya nos quedó completita.
Va a ser acá, ya que sacamos la c, menos 110
e a la menos t cuadrada más 130 ¿no?
Hemos resuelto hasta ahorita la pregunta de conocer
sobre la fórmula para calcular la posición de este coche que decíamos ya,
hace ratito que iba siempre para adelante ¿no?
Un coche muy positivo ¿okey?
Ahora, pero otra cosa sería saber ¿cómo va el coche, no?
Cada vez más rápido, cada vez más lento.
Podríamos preguntarnos, o sea, podríamos preguntarnos o sea,
si este coche tiene una velocidad máxima o no.
¿Tiene o no tiene una velocidad máxima?
Podríamos hacerlo, ¿por qué no?
La velocidad también es una función, también es una magnitud.
Entonces puedo pensar si la velocidad es mínima o es máxima ¿no?
Entonces vamos a hacerlo, que les parece si lo hacemos en otra hoja y entonces lo
que tendríamos aquí es, vamos a cambiarle el estímil a amarillo ¿no?
Y entonces nos estamos preguntando,
tenemos esta velocidad que es 220 t e a la menos t
cuadrado y andamos buscando si tiene un valor máximo o un valor mínimo ¿no?
Entonces para eso lo que tendríamos que hacer es calcular su derivada.
O sea, la derivada la derivada de v con respecto a t que es lo mismo
de v prima de t que también es lo que se llama la aceleración, ¿no?,
en física y sería bueno pues derivar esto que tenemos acá, okey.
Ese número 220 yo creo que nos valdría más que lo dejáramos afuerita, a ver si
no se me olvida y que derivemos la parte que tenemos aquí de esta multiplicación.
Entonces que sería, para derivar un producto tendríamos el primero por la
derivada del segundo más el segundo por la derivada del primero que es uno,
verdad, porque la derivada de e es un uno entonces ya no escribimos nada, sí.
¿Ahora qué vamos a hacer después de esto?
Como buenos matemáticos ya vamos a observar que tenemos este término e a la
menos t cuadrada que también anda por acá y entonces lo podríamos factorizar
y entonces tendríamos aquí un 220 por e
a la menos t cuadrada que multiplica a t por menos dos t,
cuanto nos da, pues nos queda menos dos t cuadrada más e a la t cuadrada,
como ya lo sacamos acá aquí habría que poner más un uno, ¿no?
O sea lo que hicimos ahorita fue una factorización de este término que lo
encontramos aquí entre estos términos separados por este signo de más Entonces
ya tenemos nuestra derivada, para qué la queriamos, pues la queríamos para saber si
iba a haber un momento en que la velocidad fuera máxima, o fuera mínima, ¿no?
Hasta ahorita estaba yo pensando y por qué no mínima, por qué no, no
porque tendría el coche y ya sabemos que va eternamente para allá entonces tenemos
que tener otro mínimo y otro máximo para que se regrese, ahorita todas esas dudas
que me están saliendo al ver esto, las vamos a poder ver con el graficador, sí.
Entonces ahorita los invito a que nada más digamos vamos a hacer una acción,
quiero saber donde la velocidad es igual a cero, cierto,
con otro color porque es otra acción y esto para que sea igual a cero o este
me va a dar cero o este me va a dar cero pero e a la menos t cuadrada
nunca nunca va a ser cero entonces no nos queda de otra
más que decir que menos dos t cuadrada más uno es igual a cero
o sea que dos t cuadrada es igual a uno, ya hice mi espejo aquí, ¿no?
Y entonces t cuadrada es igual a un medio,
y si t cuadrada es igual a un medio entonces t cuadrada va a ser más menos
raíz de un medio que es lo mismo que decir más menos, es la parte del radical,
o sea como ponerle aquí más menos raíz de uno entre raíz de dos,
y como estamos hablando de tiempo positivo no negativo pues mejor ponemos el
menos y bueno todo quedó muy bonito a mi si me gusta, es uno raíz de dos.
Aunque tenga ese raíz de dos sí me gusta porque nosotros somos capaces de expresar
las cantidades como son en realidad.
Ahí está expresado este número irracional
con su cantidad infinita de decimales, ¿no?, entonces sabemos
que en el tiempo t igual a uno raíz de dos algo está pasando con esa velocidad.
Vamos a ver qué está pasando con la velocidad,
que les parece si usamos este graficador otra vez, nada más que yo creo que me
tengo que devolver en la escala porque ya la teníamos como que muy cambiada, verdad,
vamos a poner aquí la función, yo ya tenía aquí, si ustedes pueden verlo,
¿no?, este es 220 x por e a la menos x cuadrada,
tuve que decirle con x porque no me acepta que le diga t,
sí y después grafiqué también en este otro color verde menos
110 e a la menos x cuadrada más 135.
¿Qué estoy graficando aquí?
Si ustedes recuerdan donde está mi hojita, aquí está, se las voy
a bajar para que vean, este que está aquí es nuestra función de la posición cierto,
y si ya la tenía, todo va muy bien y luego tenemos nuestra función de velocidad,
son los dos valores que tengo aquí, esta es la velocidad, ¿no?, acuérdense de que
esta es la velocidad la azul y la verde es la posición porque aquí el graficador
no me permite decir cual es cual, cual es la función y cual es la derivada, okey.
Entonces en tono verde tenemos la gráfica de la posición y en el tono azul
el de la derivada y si vamos a las gráficas no vemos nada, verdad,
no se ve nada ahí, nada nada y entonces vamos a tener que empezar a manipular
y bueno pues igual puede resultar algo divertido, ¿no?
Ahorita como me quedé en la escala que teníamos antes qué ando buscando,
ando buscando que haya pues para la azul un mínimo, ¿no?
Vamos a ver, uno en raíz de dos, Patricia,
estás pensando en uno raíz de dos entonces tienes que andar buscando por acá.
Donde estamos en nuestra escala,
fíjense para que vean ustedes todo esto es en tiempo real.
Y entonces estoy logrando
que la curva se vaya, no no que no se vaya.
Luego no me vayan a cobrar por tanto tiempo que estamos invirtiendo aquí, pero
tiene que salir, tiene que salir, ya las cosas se ven un poquito más claras.
Qué les parece, qué está pasando aquí, ustedes
fueron testigos todo esto está filmado, nadie puede decir que hubo trampa.
Vean ustedes encontramos aquí un valor
máximo del azul, cuándo, cuando el tiempo es justamente uno raíz de dos,
andaba yo muy lejos, es que me quedé con la otra escala,
¿no?, de la gráfica anterior, y en ese valor máximo, okey,
tenemos un valor de la posición, cierto, aquí si uno piensa en el uno raíz de
dos ya ha de estar por aquí hay un cierto valor de la posición en uno raíz de dos,
que aquí si más o menos veo bien anda entre el 50, 60, no, 70,
por aquí debe de estar este valor de la posición en uno raíz de dos.
¿Cómo calculamos ese valor de la posición, nos despedimos con eso si les parece?
Ya tenemos el gráfico logrado, lo único que quiero ahora con este tono verde es
certificar en que posición estaba el coche que tiene que salir más
de 50, más de 50 o de más de 60, sí.
¿En qué posición estaba el coche a la uno de raíz de dos horas o minutos,
digo la unidad que hayamos tenido?
Entonces nuestra pregunta es ahorita en qué posición estaba el coche
a los uno raíz de dos minutos, horas,
lo que sea según la unidad de tiempo que estuviéramos nosotros utilizando,
¿cuál es la expresión para la posición?
La tenemos justamente aquí, me dicen a mi Paty
papelito porque me lleno de todos los papeles verdad, ahí está la posición
x evaluado en uno raíz de dos, por eso quería hacerlo porque yo dije sin miedo,
sin miedo aunque sean irracionales y estas sean exponenciales todo sale muy bien,
¿no?, vamos a ver x evaluado en uno raíz de dos sería menos 110 e a la
menos uno en raíz de dos al cuadrado más 130, ¿no?, okey.
O sea nos quedaría menos 110 e a la menos un medio,
van conmigo, el uno al cuadrado es uno, raíz al cuadrado es dos, okey más 130.
O sea nos quedaría aquí un menos 110 y ahora quiero
que interpreten conmigo este exponente negativo realmente está en el denominador,
o sea e a la menos un medio es lo mismo que decir uno entre e a la un medio,
de acuerdo, sí, más 130.
Y decir e a la un medio es lo mismito que decir,
que decir qué, menos 110, no eso no menos 110 por uno entre la raíz
de e, okey más 130.
¿Qué nos falta después de esto?
Bueno pues yo no me voy a quedar con la duda, tendría que salirnos como acá algo
que corresponda con esta gráfica, entonces lo que podríamos hacer es utilizar
una calculadora para hacer este cálculo, ¿no?
Estamos espando ansiosamente que salga bien porque sino sale bien
vamos a tener que volver a hacer todo el video, cierto.
Entonces vamos a poner aquí en la calculadora uno entre raíz de e,
¿cómo le podríamos decir?
Pues, en esta calculadora le puedo poner donde está el número e,
está el número e y le digo que le saque la raíz,
ya le sacó la raíz y luego le digo que divida uno entre ella,
ya está ahí, luego le digo que lo multiplique por 110, ya
está ahí el valor y después le digo que le cambie el signo, verdad,
porque aquí es negativo y luego le digo que le sume 130 y ahí está el valor.
Lo pueden ustedes ver,
o sea aquí podría yo decir aproximadamente igual siendo justos, ¿no?
a qué, 63.28162743161032 ¿Por qué no?
Pues vy a utilizar todos los decimales que me da la capacidad que tiene,
¿no?, este artefacto cierto, y bueno pues ahorita sí,
podemos ver que todo salió muy bien porque este 63 ahí se ve que está más o
menos ahí por el 63 donde está aquí este máximo de la velocidad,
por aquí anda el valor de la posición, ¿no?
Y pues bueno todo salió bien en esta ocasión, ya este coche hemos descubierto
varias cosas de él, sabemos que siempre va a irse, ¿no?, siempre hacia adelante,
¿no?, y esta curvatura que estamos viendo aquí que se pegue hacia cero seguramente
nos va a decir que ese coche tiene una estabilidad, ¿no?,
continua que se va a quedar digamos en una posición a medida que pasa el tiempo,
pero claro todo en nosotros es finito, ¿no?, mientras seamos finitos no podremos
ver lo que pasa más que en cosas como estas, ¿no?, y aquí lo dejamos este video,
los invito en que la siguiente ocasión vamos a ver otra aplicación más.
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