Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Situación: El vaivén del resorte…
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
299 notes
Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Modelo Trigonométrico
El análisis de una nueva situación real cuyo comportamiento se asocia con la periodicidad, nos permitirá reconocer los nuevos modelos matemáticos: seno y coseno. Recordaremos aspectos de trigonometría para utilizarlos en el establecimiento de estos modelos, y analizaremos particularidades de su comportamiento gráfico asociado con diferentes aplicaciones.
Rencontrer les enseignants
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues estamos listos para mostrar esa situación diferente que va a hacer
que demos lugar a el reconocimiento de los nuevos modelos matemáticos.
Vamos a ver la situación si me acompañan aquí con la imagen,
ustedes están viendo a qué me refiero.
¿Se nota lo que es?
Realmente lo que estaba yo buscando era algo que evocara lo que pasa en este
tipo de situaciones donde hay cosas que se repiten y se repiten y se repiten,
se está repitiendo el video ya lo se pero ese video es de un resorte, ¿no?
Un resorte siempre da la sensación, ¿no?
De repetir y repetir y repetir.
Entonces realmente estuve buscando situaciones que evocaran esto de
diríamos matemáticamente de la periodicidad.
O sea algo que está constantemente repitiéndose y bueno encontré un video
también que me gustó mucho como para transmitirle esta sensación, ¿no?
Están viendo ahorita ustedes, ¿no?
Esas imágenes tan bonitas en donde el papá está jugando con su hijo, ¿no?
Pero en el momento de jugar, claro ya lo se
o sea ahí hay otro tipo de fuerzas actuando, es la fuerza de gravedad,
este hubiera sido un muy buen ejemplo para nuestro modelo cuadrático, sin embargo
pensemos ahorita que los brazos de ese padre son como un resorte, ¿no?
Y que lo está lanzando y lo está recuperando al hijo,
de hecho, de hecho me encontré un video que me gustaría que
pusiéramos ahora porque ese va a ir mucho más directo a lo que queremos hacer.
Si ustedes ven a este chico, ya todo está medido no me va a pegar,
ese chico está super divertido, ¿no?
Y está en un trampolín.
Ese trampolín bueno ya evoca al resorte y por otro lado tiene una posición en
la grabación que me invita a presentarles ahora sí el sistema masa resorte.
Entonces para este sistema masa resorte me gustaría bueno pues,
vamos a tener que volver nosotros acá a nuestra situación, ¿no?
Pero expresada de una manera un poquito aburrida, después de ver a ese
chico yo creo que sí es algo aburrido pero bueno aquí tengo mi ladrillito,
tengo mi resorte y entonces estamos viendo algo como lo que le pasaba a él, ¿no?
Si ustedes piensan ahorita en el movimiento del resorte,
estaríamos viendo como algo como lo siguiente,
vámonos a power point y estaríamos viendo una animación más de este estilo, ¿no?
Vean ustedes como se está moviendo el resorte, como estaba el chico en el
trampolín y bueno pues ahorita vamos a llegar a una imagen en donde tenemos
estas 3 situaciones en este movimiento de vaivén del resorte.
Esas 3 situaciones nos están evocando ese tipo de movimiento.
No es que sea un resorte y una masa es que quiero que
ustedes piensen en una situación que se repite y se repite y se repite,
sea del área que sea siempre va a estar en nuestra cotidianidad el
subir y el bajar del sol, o sea el día la noche, son cosas,
son eventos que se prestan a esta repetición y por tanto a una periodicidad.
Entonces viendo nosotros nuestra imagen aquí, yo lo que les estoy presentando
ahora es el lado matemático, esas expresiones matemáticas que ustedes están
viendo en la filmina son un sistema de ecuaciones diferenciales que nos dicen
o nos transmiten cómo se da ese movimiento, estamos hablando de la
derivada de la posición, estoy hablando de la posición de la masa, ¿no?
Y estamos hablando de la derivada, de la derivada, ¿no?
Que sería v prima de t.
La expresión que tenemos aquí, esta que les estoy ahorita señalando esta
expresión realmente es un fruto de la ley de Hook para la alargamiento de un resorte
que es proporcional al peso colocado y de la segunda ley de Newton que nos
habla sobre las fuerzas resultantes igual al producto de la masa por la aceleración.
Igual ahorita no es el momento de meterme en esas honduras solamente quiero
mostrarles el lado matemático de este fenómeno o de esta
situación real del movimiento, en este resorte, ¿no?
Y de esa masa en el resorte.
A lo mejor ahorita valdría la pena cambiarnos en el papel
para que ustedes vean cómo estamos haciendo, ¿no?
Eh, introduciendo las matemáticas.
Yo ahorita tengo este resorte puesto en su posición digamos de reposo, así estaba,
entonces aquí pensemos en el punto que está justo en el centro que sería
el centro de masa del resorte, aquí tengo un cierto valor que es mi origen, ¿no?
Ahora cuando ya se jaló el resorte hay una fuerza que lo jala,
entonces este centro se movió para acá,
en el momento en que regresa el resorte ese centro se movió para acá.
Entonces ustedes están viendo ahorita esos 3 puntos, ¿cierto?
Bueno a lo que los invito es a meter nuestro sistema coordenado,
meter todo nuestro pensamiento, pensar en la variable tiempo,
en la magnitud tiempo y entonces vamos a pensar en la posición x, ¿no?
Que tiene el objeto,
el centro de masa del objeto pero en función del tiempo, ¿okey?
Entonces pasa el tiempo y el resorte ya se movió,
vean ustedes entonces como esta longitud antes era este, ¿no?
Aquí tengo mi 0, vamos a poner en este sistema coordenado un 0,
pensemos que esta es la pared sobre la cual está el resorte, ¿no?
Anclado y entonces aquí está mi 0 y cuando el resorte ya se movió para
acá esta sería una nueva x del resorte y cuando ya se regresó
esta es una nueva x del resrote, ¿cierto?
Y podríamos hasta decir si yo pusiera aquí una raya aquí está el 0 esta es una
x positiva y esta es una x negativa, ¿cierto?
O sea estoy haciendo entonces que el resorte
provoque en la masa un movimiento que cambia su posición de valores
positivos a valores negativos pasando varias veces, ¿no?
Por el 0, ¿okey?
En esta forma ahorita lo que tendríamos es una situación en donde
el modelo matemático nos diría lo que nos decía nuestra power point, o sea,
¿qué nos decía nuestra power point?
Lo voy a copiar acá, nos decía que la velocidad que está experimentando, ¿no?
La masa, es igual, bueno pues eso ya lo sabemos todos,
a la derivada de la posición, ¿cierto?
Y aparte que la derivada de la velocidad
es igual a menos k entre m por x prima de t.
En este caso perdón, aquí no es x prima de t, es x de t,
en este caso vamos a, nosotros a tener que
considerar algunas condiciones que sean más simples, sí, más simples, ¿por qué?
Porque realmente no vamos a meter tantas letras, se acuerdan,
esta es una forma también de simplificarnos la vida en matemáticas,
o sea esta letra k y esta letra m vamos a hacer que realmente ahorita valgan un 1,
no, y entonces esto de aquí no lo vamos a simplificar con un número 1 o
sea que la k sea igual a la m, y entonces el sistema que vamos a tener por estudiar
es uno más simple que diría v de t es igual a x prima de t
y v prima de t es igual a menos x de t, ¿okey?
En este sentido podría yo justificarles un poquito, ¿no?
Cómo es que se está dando esta relación.
Vean ustedes como cuando la posición x es positiva como en el caso de aquí,
no una x mayor que 0, en este caso la derivada de la velocidad es negativa,
eso lo que me estaría diciendo es que la velocidad va a cambiar, ¿no?
Si el objeto estaba yendo hacia allá, este signo negativo que cambia la velocidad,
hará que la velocidad lo empuje hacia el otro lado, y al mismo tiempo
cuando el objeto está en una posición que es negativa, en ese momento, ¿no?
El cambio de la velocidad hará que
este objeto de estarse moviendo hacia acá se regrese hacia el otro lado.
O sea este signo negativo que tenemos aquí es un signo que está hablando del
comportamiento de la magnitud posición que es un comportamiento, ¿no?
Oscilatorio, ¿no?
Que estamos ahorita estudiando a través de este sistema de ecuaciones
diferenciales que es un sistema muy sencillo y con el cual vamos a ser capaces
gracias a nuestra estrategia, vamos a ser capaces de poder modelar.
Entonces si me acompañan ahorita por favor,
vamos a tratar de evocar eso que hacíamos, ¿no?
Con nuestro método de Euler metiendo algunos valores numéricos, ¿no?
Necesariamente.
Entonces yo propongo que pensemos que tenemos la magnitud tiempo,
tenemos la magnitud posición, tenemos la magnitud velocidad,
y aparte vamos a tener la magnitud derivada de la velocidad
que es igual a menos el valor en x.
Entonces, ¿qué vamos a hacer ahora?
Vamos a volver acá a excel para que podamos hacer un recuento, ¿no?
De estas magnitudes pero ordenadas en nuestro archivo.
Vamos a ponernos acá viendo el archivo de excel Si en el archivo de
Excel ustedes notan, o sea hice lo que hice aquí en mi papel tengo la magnitud t,
aquí está t, tengo la magnitud de X de t, tengo la magnitud V de t
que es igual a X prima de t, tengo la magnitud de V prima de t que es igual
a menos X de t y tengo también mi intervalo de tiempo de 0.1, ¿sí?.
O sea, ¿qué lo que vamos a hacer?
A lo mejor en este momento sería conveniente que podamos tener una imagen
en donde yo pudiera escribir y al mismo tiempo tener la imagen de Excel
para poder ir recuperando la información en Excel de lo que haremos en el papel.
Si ustedes observan ahorita teníamos aquí nuestras magnitudes cierto,
y entonces tenemos un valor inicial para la magnitud t que sería un 0, ese valor
es el que vamos a teclear en este momento acá, vamos a ponerle un 0 en Excel, okey.
Después de eso necesitaríamos un valor inicial de la magnitud,
ese valor inicial bueno pues es como, ¿qué está pasando al inicio?
Yo les propongo que al inicio estemos aquí cuando estábamos en
la posición 0, o sea con el ladrillo en la posición 0 con la masa,
entonces aquí el primer valor para X va a ser un 0.
Okey, estamos considerando nosotros que
estos el movimiento se está dando aquí de tal manera que bueno pues
puedo pescar digamos al ladrillo cuando iba hacia acá o cuando iba hacia acá.
¿No?
Les propongo que lo pesquemos cuando va hacia acá,
y entonces vamos a poner aquí que hay una velocidad inicial
que está haciendo que el objeto se mueva hacia la derecha.
Entonces ese valor nos va a quedar traducido acá como un valor
inicial para la velocidad positivo que les propongo que sea un 1, okey.
Y en este momento la última expresión lo que nos estaría calculando son,
es la variación o la razón de cambio de este valor numérico,
pero expresado en términos de valor de la posición.
Eso es algo que en Excel vamos a poder representar poniendo aquí en X de t
el valor 0 y después en la V tendríamos que poner
un valor de 1 no, para el valor inicial de la velocidad,
vamos a poner entonces ahí un valor de 1, okey.
Vamos igualitos en ambos archivos este no es archivo no,
este es papel no, acá puedo escribir de V prima igual a menos
X pero aquí sí tendría que hacer algo con Excel, no.
¿Qué le tendría que decir Excel?
Por favor Excel calcula esto igual al negativo verdad.
¿De quién?
Del valor que tengas aquí, o sea del valor que tienes justo aquí, okey.
Le damos enter y obviamente nos tiene que dar un 0 ahorita claro,
porque pues ahorita el valor inicial de la posición fue un 0, no.
¿Qué haríamos enseguida?
Para generar nuestros valores del tiempo tendríamos en esta columna que pedir
a Excel, no que en cada intervalo,
que haga intervalos de 0.1 segundos digamos, ahorita que sean segundos.
Entonces aquí pondríamos igual le diríamos calcula esto es igual a el valor
que tengo aquí arribita, pero súmale lo que tengo acá del intervalo de tiempo,
claro que siempre y cuando aquí metamos perdón fue acá,
metamos entre la E y el 2 un signo de pesos verdad.
¿Por qué?
Porque vamos a hacer que así no se de la variación aún y
cuando bajemos en las fórmulas el arrastre de las fórmulas, no.
De esta manera ya se generó aquí un 0.1 seguramente si arrastro la fórmula,
tendría el 0.2 y así hasta donde queramos, no.
¿Qué seguiría?
¿Cuál sería el siguiente paso en Excel?
Hagan de cuenta que ya hicimos esta línea de acá,
aquí tendríamos que este es un valor 0.
Aquí tendríamos ya nuestro valor 0.1, no.
Y aquí lo que tendríamos que decirle a Excel es que
tome el valor que tiene aquí arriba, no.
Y que a ese valor le sume el cambio que experimentó la magnitud X, no.
Ese cambio, vamos a ponerlo aquí con letras, no.
Le vamos a decir a Excel toma el valor que tenías en 0, verdad.
Pero a eso le vas a sumar el cambio no,
que va a sufrir esa magnitud en ese intervalito de 0 hasta 0.1 okey.
Ahora este cambio nosotros lo estamos aproximando.
¿Con qué?
Con el producto de la derivada sí,
por el intervalo de tiempo que está pasando, cierto.
Y esta derivada es justamente la que tenemos acá okey,
la derivada sería un número que tendríamos que recuperar de esta celda
para multiplicarla por el delta t,
sumarlo al valor anterior y construir un nuevo valor aquí, sí.
Si me siguen en Excel vamos a intentar que este razonamiento se vea,
no plasmado en el recurso digital.
Vámonos aquí entonces, estamos en la celda no, después de el
valor inicial 0 le vamos a decir a excel igual, verdad.
¿Qué le vamos a decir?
Por favor toma el valor que tienes acá arribita, que era el valor inicial no,
y súmale no el producto de la derivada
en 0, que viene siendo este número que está justo aquí,
no multiplicado por el
número que tengo aquí como el delta t, no, por el intervalo de tiempo, cierto.
Claro hay que tener la precaución de aquí en la letra E meter nuestro signo de
pesos para que no se nos vaya alterar la fórmula después.
El nuevo valor es un 0.1 sí, y eso bueno claro hasta aritméticamente
ahorita lo podemos hacer le estoy sumando al 0 un 1 multiplicado por 0.1,
entonces me va a dar 0.1, okey.
¿Cuál sería entonces el siguiente paso?
Ahora, ¿cómo vamos a calcular el lugarcito este que está aquí?
Vean ustedes que ahora tenemos la columna de la velocidad,
esa es una magnitud que está interviniendo en este fenómeno,
no y que queremos también intuir cuál va a ser su comportamiento, que también
va a ser un comportamiento periódico, por lo que decíamos de lo signos, no.
Entonces para calcular el valor de esta V, pues lo que tendríamos nosotros que
hacer es exactamente lo que hicimos con la X pero aplicado a la velocidad.
¿A qué me refiero con eso?
Me refiero que aquí para calcular, voy a cambiarles el color,
si yo quiero calcular el nuevo valor de la V, o sea 1 que iría despues de este,
lo que tendría que decirle a Excel es, toma el valor de la velocidad que
ya tenías antes, cierto, y súmale el cambio que va a tener
esa velocidad en el intervalo de 0 hasta 0.1 okey.
Para calcular ese valor del cambio de la velocidad
lo que tendríamos nosotros que hacer es aproximarlo.
¿Cómo?
Pues utilizando nuestra manera, no, de mantener la razón de cambio constante,
o sea mantener la derivada de la velocidad en 0 por un ratito, el ratito es este no,
por un ratito constante y multiplicar por nuestra delta t.
Estoy haciendo exactamente lo que hice con la posición,
no a un valor inicial que ya tenía le estoy sumando el cambio, verdad.
Pero a ese valor inicial le sumo una aproximación del
cambio que se hace cuando considero que la razón de cambio es constante
y eso lo mantengo durante todo el intervalo de tiempo, sí.
Vámonos a Excel, vamos a hacer eso mismo en Excel,
y entonces ahora en esta celda de aquí le diríamos a Excel.
¿Qué le diriamos?
Esto es igual por favor, toma el valor que tienes aquí arriba,
cierto y súmale el producto de lo que tengo de la derivada,
que está calculado en esta celda no, gracias a la ecuación diferencial,
eso multiplicado por el delta t que tenemos aquí.
Y otra vez tenemos nuestra precaución de meter el signo de pesos en la
E para que no se nos vaya a modificar el valor de delta t.
En este caso nos volvió a quedar un 1, no.
¿Por qué?
Pues sí porque al 1 le estoy sumando nada no, entonces queda el 1.
Las cosas van a cambiar ahorita van a ver.
¿Por qué?
Porque ahorita ya en la columna de la derivada de la velocidad allí voy
a tener que considerar la fórmula que esta tecleada en Excel se fijan.
La fórmula dice menos B2, ¿por qué?
Porque estamos viendo que la derivada de la velocidad es el negativo de la
posición.
Entonces aquí simplemente si hago este arrastre, este copia no,
de la fórmula ya me salió un nuevo valor para la derivada de la velocidad,
que es el negativo del que está justo acá, okey.
Con esto me podría ir aquí abajito para generar un nuevo valor de la X,
pero sería hacer lo mismo se fijan, sería decirle a esto también es como
repetitivo verdad, decirle a excel toma la anterior y súmale el aprox del cambio.
O sea sería decirle toma esta fórmula y cópiala aquí,
okey y ya la tendríamos de esa manera.
Cuando calcule los valores, un nuevo valor para la velocidad igual le diríamos
a Excel, o sea a esa magnitud que es la velocidad, calcula un nuevo valor.
¿Cómo?
Al valor anterior súmale el aprox del cambio, ¿no?, de esa magnitud.
Y eso tiene que ver con la derivada de la velocidad que está en esta columna.
En otras palabras dentro de Excel sería tanto como decirle,
la formulita que ya tienes aquí nada más cópiala acá abajo, ¿no?
Y tengo ese nuevo valor.
Finalmente acá está metida la fórmula que ya teníamos para calcular el
nuevo valor de la derivada de la velocidad, ya tendríamos ese nuevo valor.
Con esto ya les he repetido, ¿no?, lo que hemos hecho en nuestro método de Euler,
que es nuestra estrategia numérica para encontrar el comportamiento de
magnitudes que están cambiando, ¿no?, a través de su razón de cambio.
Y esto, bueno pues lo único que tendríamos que hacer,
déjenme salirme de aquí, me metí sin querer.
Okey.
Lo único que tendríamos nosotros que hacer es tomar todo esto,
y pedirle a Excel vámonos hacia abajo.
No quiso.
Bueno, ahí va.
Vámonos hacia abajo, y ¿hasta dónde?
Pues hasta donde queramos, ¿no?
Vamos a ver qué cosas han pasado.
Ya se calcularon muchos valores aquí.
Vamos a ver si estos valores andan bien.
Me fui bastante abajo.
Estoy observando algo.
vean cómo estos valores están aumentando, aumenta
y después empiezan a disminuir, ¿cierto?
Aquí se dio un cambio de signo, déjenme quitarle lo sombreado.
Aquí se dió un cambio de signo en esta zona.
Y luego empiezan a disminuir,
se fueron al menos 1 y algo y luego empiezan a aumentar otra vez.
Se van acercando al 0, llegaron al 0 por aquí.
Por aquí debieron de haber llegado al 0 y luego ya pasa a valores positivos.
No sé si me sigan en este razonamiento.
Yo estoy viendo ahí una lista de números y crean que,
créanme que es difícil ver el comportamiento de los números.
O sea, es mucho más fácil verlo en un gráfico, a mi forma de ver.
Pero quiero que ese gráfico también se nutra,
¿no?, de lo que está siéndonos ahorita de ayuda con Excel.
Yo estoy viendo ahí valores que empiezan a crecer y que luego empiezan a decrecer,
que bajan del valor 0 y luego empiezan a aumentar y eso tenía que pasarnos porque,
porque el resorte está haciendo esto, ¿no?
Entonces tiene que llegar a ciertos valores y luego
regresar al 0 y luego irse a valores negativos y regresar al 0.
Si vemos a la magnitud velocidad aquí también,
debe de estarle pasando más o menos lo mismo.
Miren empieza en un 1 y si nos vamos abajo está disminuyendo,
está disminuyendo, llega,
por aquí tuvo que haber pasado por el 0 para después irse a valores negativos.
Pero negativos que están creciendo, ¿se fijan?
O sea llega hasta el menos 1, menos 1 y algo, ¿no?
Y después de repente ya va a empezar a disminuir otra vez
y se va a empezar a acercar al 0.
Y así, después, se va a volver a pasar al 1.
Ya se acercó al 0.
¿Dónde se acercó al 0?
Aquí, por aquí.
Y luego ya pasó a positivos.
Estamos viendo un comportamiento también que se repite,
que era lo que esperábamos por la situación real que estamos analizando.
Ahora yo lo que haría es mostrarles mi archivo ya previamente preparado para
no invertir mucho tiempo en esto.
Los invito a que ustedes lo hagan con detalle, porque siempre
siempre es mucho más enriquecedor que uno pueda armar esto uno mismo, ¿no?
O sea, hacerlo de su, antes dice uno puño y letra ¿no?
Aquí sería desde su propio mouse, ¿no?
Y computadora, ¿no?
Entonces vámonos aquí.
Me estoy cambiando.
Fíjense dónde tengo el cursor.
Aquí le di a un delta un valor más pequeño, para hacer que las cosas fueran
mejor aproximadas, o sea estoy haciendo que el intervalo de tiempo sea más
pequeño, y observando la variación, ¿no?, en esto, cuando pasa menos tiempo.
Tiempo en el cual mantuvimos la velocidad, tanto de la posición como de la velocidad.
Las mantuvimos constantes, ¿no?, por intervalos de tiempo pequeñisísimos,
¿no?, de un, que sería este un centésimo, ¿no?, de segundo, ¿no?
Me voy al archivo que tengo acá y está peor aún.
Peor aún de largo.
Ya, este, no crean que me canso de hacer esto.
Me encanta y como quiera si esto es rapidísimo, ¿no?, con Excel.
Aquí ya está una variación de una milésima de segundo y aquí están todos nuestros
datos numéricos.
El listado es bastante exhaustivo.
Miren hasta dónde llegamos, ¿a cuántos segundos llegué?
Vamos a ver, llegué hasta los 6 punto y algo.
Hasta los 6 punto 4 4 4 5 creo, que es hasta donde me quedé 6 punto 5.
Calculamos todos estos valores.
Fueron 6.502 renglones, fíjense, de datos numéricos y esos datos numéricos,
tenemos ahorita una oportunidad genial de decirle a Excel déjame verlos, ¿no?
Los estoy viendo.
Ya sé que los estoy viendo, pero me refiero ahora con un verlos
así como que más global, más intuitivo,
¿no?, para nuestra vista y eso es un gráfico, ¿okey?
Este gráfico que está aquí lo hice con Excel.
Lo que hice fue pedirle a Excel que me graficara los valores.
Aquí se ve lo sombreado, ¿no?, con el color en este gráfico.
Los valores de t contra los valores de x.
Y ustedes pueden observar que lo que está pasando, ¿sí?,
es una sensación, ¿no?, de subir y de bajar, ¿okey?
Los valores numéricos de la x están en el eje vertical recuerden.
Ahorita el eje horizontal es el tiempo, el eje vertical es la posición.
Entonces ahorita si quisiera yo ver el resorte aquí,
tendría que verlo así como que va para acá y para acá, para acá y para acá.
Medio chueco mi cursor, pero esa sería la idea de dónde anda el resorte ahí, ¿no?
No es que el resorte ande haciendo ondas,
para nada, o sea esta es la representación matemática.
Me está diciendo, pasa el tiempo y el resorte va para un lado hasta el 1 y
se regresa al menos 1, hasta el 1 y se regresa al menos 1.
Esta es una interpretación de gráficos.
Con este menú de aquí, pueden ustedes
fácilmente también hacer el cambio y obtener la gráfica de la velocidad.
No sé si en este caso si la alcancé a hacer o no
y si no bueno pues ahorita la hacemos.
Vamos a copiar este gráfico.
Vamos a copiarlo por aquí y ahora vamos a decirle que,
déjenme ver si me mueve para acá, que nos lo cambie en las series, ¿no?
Donde estamos ahorita considerando los números.
Ven ustedes aquí los valores de la y.
En lugar de que sean los valores que teníamos nosotros para nuestra x,
¿no?, ahora vamos a decirle que mejor tome los valores que están
en nuestra, en nuestra y, ¿no?
O sea, aquí lo que haríamos es cambiarnos, pero cambiarnos a los valores de la v.
Y le vamos a decir que tome todos, todos, todos estos valores,
para que todos esos valores ahora nos los grafique como si fuera la y,
¿no?, o sea en el eje vertical.
Lo que estamos haciendo con esto entonces es pedirle que nos grafique ahora
la función qué, la función velocidad.
¿Sí?
Entonces vámonos, vámonos, ¿hasta dónde, hasta dónde?
Hasta aquí, ya llegamos, okey.
Y entonces ya con esto voy a regresarme.
Espero que haya salido y miren el cambio que se dio.
¿Vieron ustedes el cambio?
Ya ahorita tengo que ser congruente y decirle, esta no es x, ¿verdad?
Esta es v, ¿cierto?
Cambiamos a los valores en la columna de la v.
Y es más, me gustaría si nos deja cambiarle un color.
¿Qué será bueno?
A ver si nos deja, un rojo.
Okey.
No nos dejó.
O no sé si qué le dije.
Okey.
Vamos a ponerle okey.
Bien, bien, no importa si no me deja, no me deja,
ahorita no alcanzo a verlo muy bien.
Pero miren ustedes la diferencia en los 2 gráficos.
Aquí tengo graficada la posición, aquí tengo graficada la velocidad, ¿okey?
Este gráfico que está aquí se parece a este que está acá, ¿a poco no?
O sea realmente estamos ante la presencia de situaciones de magnitudes
en donde se está dando esa como oscilación, ¿no?, o sea repetición.
Esa repetición es algo característico, ¿no?,
de las funciones trigonométricas en el coseno.
Yo traigo aquí una presentación de PowerPoint en la que quisiera mostrarles,
¿no?, en esa presentación cómo estamos considerando estos gráficos.
Pero antes de eso me gustaría si pasamos acá.
Traigo la imagen también aquí en un acetato, me gustaría mostrárselas.
Aquí traigo la imagen completita a ver si no brilla con el acetato.
Esta es la función seno, ¿cierto?
Aquí tengo esa función seno que también se las voy a mostrar aquí en mi
PowerPoint para que vean esa función seno hecha con distintos graficadores.
Este que está aquí lo hice con Graphmatica que creo que ya se los he yo mostrado
y les voy a mostrar ahorita en un segundo, que tengo que estar hablando y haciendo
las cosas al mismo tiempo miestras ando buscando el archivo pero ya viene,
quiero aquí mostrarles un archivo de Aquí está.
De otro graficador.
Denme un segundito por favor.
Tenemos entonces aquí, ya, okey,
vamos a verlo en el Power Point también.
Tenemos el gráfico de la función seno de t, y todo, ¿por qué?
Porque no quería rayarle aquí a mi asetato.
Es la misma gráfica, es la de Graphmatica.
Y aquí les estoy poniendo cómo entonces el valor de x depende, ¿no?
Depende de la magnitud t.
El valor de x es la posición vertical y el valor de t es el tiempo.
Pero claro que ahorita hay que recordar que se trataba de nuestro eh,
de nuestra masa, ¿no?
Si, si vemos el papel ahorita voy a enseñarles la gráfica del coseno.
Bueno, ¿se las enseño primero en Power Point o en el papel?
Ay ya te hice jugar, verdad.
Entonces vámonos ahorita al papel así como estamos y traigo aquí.
Fíjense, nada por aquí, nada por acá.
Esta es la gráfica del coseno, ¿okey?
Y lo que quiero hacer con ustedes es ponerla encima de la gráfica de seno.
Entonces vean ustedes cómo nos queda la situación ahora.
Ven ustedes cómo el gráfico del coseno,
o sea realmente es como una repetición del gráfico de seno, ¿no?
Y es más, me gusta jugar con los acetatos porque yo podría decirles
que coseno no es nada nuevo, coseno es lo mismo que seno, ¿sí?
Lo único que hay que hacer es algo como esto, ¿no?
O sea mover el acetato hasta hacer que coincida,
y las curvas son exactamente las mismas.
Este tipo de economía es algo que quiero ofrecerles y que me parece que se las
puedo mostrar también, este,
en los archivos que podamos ver acá en Power Point, ¿sí?
Entonces vámonos aquí en Power Point para terminar con este,
con este video mostrando nuestra gráfica de la función seno,
nuestra gráfica de la función coseno, ¿okey?
Aquí está expresada, ¿no?
De con las, con las letras cos t porque la variable es t, con la letra v, ¿por qué?
Porque se trata de la función, este, velocidad.
Si me recuerda ahorita cuál es la situación de la que veníamos
originalmente.
O sea ahí le tapo ese porque ese errorcito lo teníamos desde antes, ¿sí?
Esta es la situación que nos dió lugar a,
a construir o a reconocer las funciones seno y coseno.
Y aquí lo que les estoy mostrando es una parte de la función seno,
esta partecita es la que a uno se queda con ella como para decir, mira con este
cachito tu lo repites, y lo repites, y lo repites y ahí la tienes completa.
Entonces es una economía también.
Con esta variación dentro del recuadro azul es suficiente para hablar
de un período de la función seno y hacemos lo mismo con la coseno.
Con esta variación es suficiente, ¿no?
Para tenerla, la función coseno.
Nos quedamos nada más con ella.
Y ahora sí, con ellas de esta manera podríamos recuperar con nuestras
ecuaciones diferenciales cuáles van a ser las derivadas de estas nuevas funciones.
Si me acompañan al papel.
Para terminar vamos a anotar aquí.
Hemos conocido a la función seno y a la función coseno, ¿verdad?
Pero las hemos conocido así, x de t igual a sen t
y la otra es v de t igual a cos t, ¿cierto?
Necesito hacer con ustedes un ejercicio de, de abstracción, generalización.
Ya no quiero que vean x, ya no quiero que vean v, ya no quiero que vean
los resortes, ni el chico saltando en el trampolín, vean simplemente x y y, ¿okey?
Y entonces lo que tendríamos aquí en lugar de la x tendríamos una y,
¿por qué quito esa x?
Pues sí la x la quiero aquí donde está la variable, ¿okey?
Ni modo en matemáticas es así son, nos gustan las x y las y,
y yo lo que quiero es que ustedes entiendan a las matemáticas.
Entonces en lugar de esta x pongo y en lugar de esta t pongo x y aquí
la expresión es sen x, en lugar de esta v pongo otra vez y, ¿sí?
Y en lugar de esta t pongo x, y entonces aquí pongo con x.
Y entonces las cosas quedan como las aprendemos, o sea sin ningún significado,
¿cierto?
Pero aún y cuando no tienen un significado
nosotros sí sabíamos algunas cuestiones sobre ellas.
O sea, ¿qué sabíamos?
Cuando vimos el contexto inicial sabíamos que x prima de t era igual a v de t.
me estoy refiriendo a las ecuaciones diferenciales.
Y sabíamos que v prima de t era igual a menos x de t, ¿cierto?
Los invito a que hagamos una traducción.
Traducimos ahora en lenguaje de x y y cuál va a ser
la derivada de la función seno y cuál va a ser la derivada de la función coseno.
En este caso está diciendo que la derivada de seno,
la derivada de seno es coseno, ¿okey?
O sea si y de x es seno de x, esta ecuación que está aquí me está diciendo
que y prima de x es coseno de x, ¿okey?
Y por otro lado aquí, ¿qué me está diciendo esta ecuación?
Que la derivada de la v, o sea de la derivada del coseno
es el negativo de la x, o sea es el negativo del seno.
Entonces aquí la fórmula de derivación diría que y
prima de x es igual a menos sen x, ¿no?
¿Qué hemos hecho en este video?
Analizamos una situación real, una situación real en donde se da un
comportamiento ejemplificado como un resorte, de un movimiento, ¿no?
De vaivén pero que se puede aplicar ese comportamiento a muchas realidades, ¿no?
En nuestro entorno.
Esa eh, comportamiento lo modelamos con las ecuaciones diferenciales que
están aquí en azul, ¿cierto?
Y con esas ecuaciones diferenciales fuimos capaces de utilizar el método de Euler en
Excel para generar una serie de valores numéricos que luego los vimos visualmente.
Y en el momento en que los vimos visualmente en la cabeza viene esa idea
de la función seno y la función coseno que aprendimos desde uf, buen tiempo atrás,
¿no?
Esos gráficos que se repiten.
Les hice ver que el coseno no es más que el seno un poquito corrido, ¿no?
Y después de eso regresando a nuestras ecuaciones diferenciales fuimos capaces de
reconocer aquello que a lo mejor también ustedes ya lo han visto, ¿no?
Con anterioridad sí han visto estas funciones en cálculo.
Que la derivada del seno es el coseno y que la derivada del coseno es menos seno.
No habrá función polinomial alguna ni función exponencial alguna que
pueda reflejar lo que el comportamiento de estas nuevas funciones están haciendo.
Los invito en el siguiente video a profundizar en simbolización.
[MÚSICA]
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