Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Simbolización: Reconozcamos fórmulas y notaciones
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Valor Exacto Del Cambio Acumulado: Modelo Polinomial
La práctica de predicción de valores de una magnitud que está cambiando a través de la estrategia numérica del Método de Euler nos permitirá reconocer los modelos matemáticos polinomiales. Asociaremos con ellos los procesos de derivación e integración desde una perspectiva teórica y también algebraica.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues regresamos ahora en este video de simbología,
este yo estoy viendo aquí estas fórmulas, ¿no?, que hemos estado generando.
Acuérdense que estas fórmulas no salieron de la nada, salieron de dónde,
salieron de haber utilizado el método de Euler, ¿no?
De utilizar la hoja de cálculo y de utilizar nuestra
cabeza pensando en qué me están diciendo esos números, ¿no?
Los números, cuando metimos la fórmula de la razón de cambio,
aquí le vamos a poner litros por minuto,
nos dieron esta fórmula para el volumen de agua en el tanque, ¿cierto?
Y bueno, pues lo que seguiría ahorita, no sé si ustedes ven las fórmulas,
a lo mejor ya están entendiendo lo que ando haciendo.
Les voy a proponer que veamos ahora una fórmula como ésta, ¿no?
Para este evento, ¿no?, que estamos recordando del llenado de tanques.
¿Qué pasaría si la llave que llena ese tanque tuviera,
obedeciera a una razón de cambio como ésta?
O sea que, sí se nota que cada vez está entrando más agua, ¿no?
Pero está entrando de una manera tal que,
eh, aumenta, eh, conforme a este modelo matemático, ¿no?
¿Qué pasaría entonces con la fórmula acá para el volumen?
Ahí, eh, pues los invito otra vez,
vamos a Excel un ratitito a ver qué nos dice Excel.
Tengo con ustedes ahorita el mismo, mismo, mismo documento de hace ratito,
nada más que ahorita lo que vamos a hacer es cambiar estas celdas, ¿se fijan?
Estoy ahorita en el caso de 0.1.
Tengo el delta t de 0.1.
Tengo mi volumen inicial de cero para que el cambio del volumen,
el cambio acumulado coincida con el valor del volumen.
Y ahora en la razón de cambio en lugar de este dos le vamos a poner tres.
Le ponemos un tres.
Y aquí en la A2 le decimos que lo eleve al cuadrado, ¿no?
Tres a cuadrada estaríamos diciendo matemáticamente tres t cuadrada, ¿no?
Entonces al dar Enter las cosas van a cambiar si
arrastramos ahorita la fórmula, ¿no?
O sea, fíjense ahorita le voy a decir a Excel que respete
esta fórmula en la columna y las cosas van a tener que cambiar porque
los datos de la razón de cambio son distintos, ¿sí vieron lo que pasó?
Ahorita ya tenemos una nueva información aquí para el
comportamiento del volumen, ¿cierto?
Esto que hicimos, lo que, lo que seguiría después es hacer una precisión mejor, ¿no?
Poniendo un delta de 0.01, cambiando nuestra razón de cambio,
esto es algo que ustedes pueden hacer en el archivo que ustedes construyan para que
vayan viendo, ¿no?, y sintiendo, ¿no?, cómo cambian las cosas.
Aquí en excel se siente, ¿no?, cómo cambian las cosas.
Ya pueden después esta fórmula copiarla en todo lo de abajo y mejor
ahorita les invito a que veamos este en donde teníamos nuestras,
eh, con, perdón renglones ya escondidos.
De tal manera que nos facilitara ver lo que pasa en el tiempo cero, uno, dos,
tres, hasta el diez y que ya hubiéramos hecho también ésto otro de aproximar, ¿no?
Decirle a Excel quítame las decimales porque eso en mi pensamiento significa
déjame pensar en la posibilidad de que este delta t que está aquí
sea infinitamente pequeño, que no sea esto sea 0.00001, ¿no?, y así nos vamos.
O sea, este proceso, que es un proceso infinito, lo estamos,
digamos, ahorita llevando a una concreción gracias a la tecnología digital.
Puedo suponer eso cuando hago esto de acá, lo único que nos estaría faltando es
que la fórmula de la razón de cambio aquí frente a todos ustedes hagamos un
cambio de ese número dos por un tres y en este A dos le digamos elévalo al cuadrado,
¿no?, y en ese momento Ya tendríamos ahorita nuestro cambio,
que lo vamos a recorrer aquí.
Claro que el recorrido es bien cortito porque ya están todas escondidas,
¿se fijan?
Estamos hasta la 10002, ¿no?
10000, eh, renglón, y todo lo hicimos así en menos de un segundo.
¿Y qué pasó entonces ahora con las, eh, expresiones del volumen?
Vean ustedes éstas de aquí.
Fíjense le voy a poner aquí a la razón de cambio,
le vamos a poner un color que azul, así como lo tenemos en nuestras hojitas, ¿sí?
Y aquí al volumen le ponemos un color.
Le ponemos un color verde, ¿no?
Okey, ¿y qué nos quedó?
En el tiempo cero el volumen es cero, en el tiempo uno el volumen es uno,
en el tiempo dos el volumen es ocho, en el tiempo tres es 27,
cuatro 64, ¿ya están intuyendo qué está pasando?
Cinco 125, seis 216, siete 343, a poco siete por siete por siete da 343.
A ver, vamos a ver.
Vamos a sacar aquí la, la calculadora.
Si quieren ustedes pueden checarlo, yo también voy a checar que no esté diciendo
más mentiras de las que ya estábamos suponiendo, ¿no?, decir que eran válidas.
Es siete por siete son 49 por otro siete.
Me van a dar 343, ahí está.
Luego ocho por ocho por ocho, hago ocho por ocho
por ocho nos da 512, y 512 que es tenemos aquí.
Nueve por nueve por nueve 729, a poco sí.
Nueve por nueve por nueve 729, ahí está.
Y diez por diez por diez 1000, ¿sí?
O sea, aquí otra vez hay una fórmula escondida, ¿cierto?
No escondida en Excel, ¿eh?, no crean, ahí yo noté que ninguna fórmula vean,
ahí estoy pasando todas las celdas y no hay fórmula.
Lo que, lo que fue es generar el método de Euler ahí.
Pero digo fórmula escondida en el sentido de que nuestra cabeza ve estos números,
los que están aquí, este y este, ¿no?, en las dos columnas estas.
Y entonces nuestra cabeza puede razonar o puede intuir o
puede proponer, conjeturar, ¿no?, imaginar una fórmula, ¿no?
¿Cuál es la fórmula?
Pues vamos a escribirla en el papel y nos vamos a la simbología, ¿cierto?
Y en el papel vamos a escribir aquí v de t es igual a t
al cubo y esto serían litros, ¿no?
Ya que tenemos estos papelitos aquí a lo mejor ustedes
podrían ser capaces de decirme lo que sigue, ¿no?
O sea, otra vez este es, como les decía, la matemática trabaja en niveles
de abstracción cada vez mayores y parece que ya cuando llega lo último nos lo
enseñan desde acá y entonces uno no entiende de dónde vienen las cosas, ¿no?
Aquí el siguiente paso sería que yo les propusiera con Excel
vamos a meter r de t igual a cuatro t cúbica, ¿sí?
Si esta es la fórmula para la razón de cambio yo les apuesto lo
que quieran a que ustedes van a encontrar con el documento de Excel una fórmula
escondida ahí que va de ser v de t igual a t a la cuarta, ¿no?, y eso serían litros.
Y si después se atreven a seguir jugando con Excel y le ponen después la
fórmula r de t igual a cinco t cuarta, entonces van a,
les apuesto que de ahí van a ver la fórmula t a la quinta, ¿sí?
O sea van a encontrar un patrón de comportamiento en todas estas fórmulas que
nos va a decir, ¿no?, una manera nueva de asociar el problema de predicción.
Yo te doy la razón de cambio y puedo darte también la magnitud,
o sea, te puedo dar el modelo matemático para esa magnitud.
¿Sí?
Antes de que lleguemos a expresar esto de manera general me gustaría,
eh, que gozáramos otra vez de esos tanques para hacerles una
propuesta adicional y regresamos sobre la simbología.
Vean ustedes allí que estamos llenando de agua el recipiente.
¿Okey?
Ahí está actuando una llave, pero en estas situaciones de llenado
de tanques o de recipientes uno puede, eh, pensar,
¿no?, en que hubiera dos fuentes, digamos.
Para que aportan al llenado del tanque.
O sea, imagínese que hubiera,
que fueran ahorita ahí llenando eh, el tanque dos llaves.
¿Okey?
Entonces es algo muy natural que uno piense pues cuál va a ser el volumen que
voy a tener de, de cuántos litros voy a tener ahí, pues eso depende de los litros
que agrega una de las llaves más los litros que agrega la otra llave, ¿cierto?
Eso, lo que me hace hacer ante ustedes es, es un truco con estas barajitas, ¿sí?
Les propongo lo siguiente, vamos a poner en estas barajitas,
vamos a tomar esta, ¿sí?, con esta, ¿no?
Estas dos que serán las originales vamos a ponerlas aquí tapando eso que tenía.
¿Okey?
Y entonces les propongo que en el tanque, ¿no?
No voy a dibujar un tanque porque me va a salir horrible aquí,
pero imagínese aquí el tanque, ¿no?
en el tanque hay dos llaves que están actuando, ¿okey?
en ese tanque y entonces el volumen va a cambiar por culpa de esta llave pero por
culpa de esta también, ¿okey?
Entonces si una de las llaves se comporta como esta que estaba metiendo tres
litros cada minuto y la otra llave se comporta como esta que cada vez está
metiendo más litros, entonces ¿qué podría pensar sobre el
volumen si tengo una razón de cambio como esa?
O sea donde está afectada por estas dos llaves.
Esto es como pensar en una suma, o sea el aporte de las dos llaves en la razón
de cambio va a implicar en el volumen un aporte que estaría como qué,
como tres t más t cuadrada, no se si me explique la idea tan simple.
Esta llave le aporta este cambio acumulado y esta llave le aporta este otro, ¿no?
Entonces lo que tendría es un comportamiento ya global así
de la magnitud afectado por ambas llaves.
Y si meto una tercera da lo mismo, o sea yo puedo estar ahí sumando,
¿no?, las expresiones, okey.
De tal manera que puedo, podría decir componer pero la palabra
componer luego se usa en matemáticas de otra forma, ¿no?
Me gustaría puedo agregar tantas llaves como quiera,
de tal manera que puedo estar haciendo sumas.
Quienes ya han visto esto del cálculo a la mejor pueda ahorita recordarles esto
que se dice como que la derivada de la suma de la suma de las derivadas o que la
integral de la suma es la suma de las integrales son
teoremas que parece ser que salieron de no se,
de algún lugar y nos hacen aprendérnolos de memoria,
y luego peor la derivada del producto nada que es el producto de derivadas, ¿ahí, no?
Entonces yo más que todo lo que quiero es hacerles entender que en una idea simple
como el llenado de tanques podemos entender estos resultados.
Entonces ya que lo hemos hecho así, nos vamos también a atrever a sumar llaves,
y por si fuera poco, ¿qué les parece la idea de que el
tanque originalmente ya tenía aquí 20 litros?
Ya tenía 20 litros de agua, ¿no?, entonces,
¿cuál sería la expresión para el volumen si están actuando estas dos llaves?
Pues es algo también intuitivamente claro, ¿no?
SI ya había 20 ahí pues no más al 20 agrégale lo que entró y entonces
nuestra fórmula matemática sería 20 más tres t más t cuadrada, okey.
Y tenemos asociada con esta expresión para la razón de cambio
esta expresión para el volumen.
Y si hubieran sido 21, 22, 23 aquí no más suponemos 21,
22, 23, o sea eso no afecta digamos mucho en la expresión, o sea
la acción cognitiva sería exactamente la misma, ¿no?, poner ese valor numérico ahí.
Pues con esto ganado, estamos ahorita en
condiciones de hacer otra generalización, okey.
¿Cuál va a ser ese generalización?
Vamos a cambiar las hojas, necesitamos ahorita sumar llaves, ahí las ponemos.
Entonces vamos a poner, las que ya teníamos,
o sea tenemos que la razón de cambio era tres y entonces el volumen era tres t,
y la razón de cambio era dos t y entonces el volumen es acá está t cuadrada,
estamos jugando a las barajitas, la razón de cambio es tres t cuadrada
y entonces el volumen es t cúbico, y si la razón de cambio es cuatro t cúbica,
cinco t cuarta, vamos subiendo tantito, entonces acá nos va
a quedar t cuarta o t quinta, ¿no?, ahí está t cuarta o t quinta.
Y los invito a que aquí hagamos otra generalización,
o sea ya no vamos a pensar en vamos a pensar,
voy a quitar estas para que no me metan en rollo aquí,
vamos a pensar en t cuadrada, t cúbica, t cuarta, t quinta, ¿sí?
En lugar de pensar en todas ellas vamos a pensar
en una v de t, quisiera ponérselas así de ladito, ¿no?,
una v de t que sea
t a la n.
En matemáticas nos encanta la n, para decir así como que en general,
para los números naturales, o sea como el dos, tres, cuatro, cinco, ¿no?
¿Cuál sería la razón de cambio?
Y lo que estamos viendo aquí es vean lo que pasa, cuando está el
cuadrado el dos baja multiplicando y la t ya no quedó al cuadrado, queda a la uno.
Cuando tengo t cúbica el tres baja multiplicando y el t ya no quedó al cubo,
quedó al cuadrado, le quité uno, al tres le quité uno.
Cuando tengo t cuarta aquí está el cuatro está multiplicando y
la t es cúbica ya no es a la cuarta, sino que al cuatro le quité uno, cuando
este quinta bajo el cinco y a la t la dejo a la cuarta, o sea al cinco le quito uno.
Entonces, ¿cuál sería la fórmula de la razón de cambio aquí?
Sería, hagamos lo mismo que está aquí, ¿no?, este cuatro viene
aquí multiplicando, entonces vamos a ponerlo el cuatro, luego viene la t,
verdad, ay puse cuatro, so sorry, vamos a ponerlo aquí abajo.
N t, y en lugar del tres, ¿qué voy a poner?
Ya no voy a poner tres, no me voy a equivocar, voy a poner n menos uno, ¿no?
O sea la razón de cambio sería n t a la n menos uno, okey.
Tenemos entonces dos fórmulas, vamos a ponerlas ahora en su expresión,
digamos azul y verde, ¿no?
Para el azul voy a tener r de t igual
a n t a la n menos uno y en verde voy a tener
v de t igual a t a la n, okey.
Estas dos expresiones están conectadas, están relacionadas, ¿okey?
Una es la razón de cambio, la otra es la magnitud, ¿de acuerdo?
En esta expresión yo los invito a pensar en esto,
o sea pensemolos así como los generamos, o sea vean la de arriba y luego la de abajo,
y entonces de una expresión como t a la n yo puedo
derivar una expresión como n t a la n menos uno,
o sea la palabra derivar se las estoy utilizando como proviene de,
yo derivo algo o sea a partir de una información que tengo derivo otra,
o sea saco otra información.
Entonces en ese sentido yo les propongo que utilicemos la
palabra derivar en el sentido que les he dicho, ¿no?
o sea de la fórmula t a la n derivo n t a la m menos uno,
o sea pues ya, estamos en cálculo, ¿no?, ¿por qué no llamar las cosas como son?
Vamos a ver, en lugar de v de t igual a t a la m,
yo les invito a que digamos m de x,
la magnitud depende de x, y es x a la n, okey.
Esto es equivalente a esto,
y en lugar de r de t igual a n t a la n menos uno, ¿qué vamos a poner?,
vamos a poner r de x igual
a n x a la n menos uno.
¿Cambian las cosas, se fijan que es lo mismo?
O sea lo que está pasando ahorita es que les estoy cambiando los nombres de las
letras, en lugar de t le pongo x,
en lugar de t le pongo x, en lugar de t le pongo x, ¿sí?
Y con estas barajitas nos vamos a la siguiente hoja.
Para hacer las cosas con las letras que le gustaron a no se a quien,
verdad, allí están nuestras fórmulas,
razón de cambio y magnitud, okey.
Un nivel más para esta y para esta
y cuando vemos primero cálculo diferencial le hacemos así,
magnitud razón de cambio, derivo la razón de cambio a partir de la magnitud, okey.
Entonces aquí vamos a poner a la fórmula f de x
igual a x a la n y aquí ponemos
la fórmula f prima de x igual
a n x a la n menos uno, ay casi no me cabía el menos uno, ya no me cabía.
Ya le puse el nombre derivado, sí,
este apóstrofe significa derivada y estamos usando el
término derivada en ese sentido de derivar algo a partir de otra cosa,
¿no?, o sea a partir de esta fórmula derivo esta otra, ¿cómo se le hace?
Mire, la n se baja multiplicando y a la x la dejas
pero al exponente le quitas uno, okey.
Entonces estas son nuestras fórmulas matemáticas que provienen de un contexto
real, es una magnitud que está cambiando y que aquí tengo su razón de cambio,
¿no?, pero ya las tengo acá con sus x y sus y, ¿no?,
de tal manera, osea luego después ponen y igual, ¿no?,
de tal manera que nada tenía que ver con la realidad, ¿no?, pero ahorita ya
podríamos nosotros jugar incluso algebraicamente,
¿no?, y decir si y es igual a f de x igual a x a la siete,
entonces y prima es igual a f prima de
x igual a siete x a las seis, okey.
Estoy hablando de fórmulas, no estoy diciendo nada del agua, del tanque,
del movimiento de la vaca, todo, nada, muy bien, ya quedó sin significado.
Simplemente es derivar, ¿no?
Si y es igual a x a la 102,
entonces y prima es igual a 102
x a la 101, 101, ¿okey?
Esta es una expresión digamos muy algorítmica,
yo a estoy le llamo muy algorítmico, o sea como que es una reglita
que sigo y que sigo y que sigo, ¿no?, y ya la puedo aplicar.
Okey, la puedo aplicar tantas veces que yo quiera con los números que sea,
sin embargo por favor no olvidemos que esta formulita y este
algoritmo proviene de una situación tan agradable
como la que hemos analizado el día de hoy, ¿no?, ¿cuál es esa situación?
El llenado de tanques.
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