Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Simbolización: El Método de Euler en 5 pasos
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Estrategia Numérica: Método De Euler
Utilizaremos la estrategia numérica desarrollada en el módulo anterior y la aplicaremos “hasta sus últimas consecuencias”, es decir, considerando procesos infinitos. El recurso digital de la hoja de cálculo nos permitirá apoyar nuestro pensamiento para concretar el aprendizaje al representarlo con la simbología matemática adecuada.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Yo he sido sincera
con ustedes al decirles que la simbología matemática es especialmente difícil, ¿no?
En esta ocasión nos toca nuestro video de simbología y lo que vamos
a hacer es tratar de escribir el método de Euler.
En la sesión pasada pudimos trabajarlo perfectamente en excel
y de hecho lo vamos a seguir haciendo porque el método de
Euler es en esencia un método numérico de aproximación.
Vamos a hacer el intento no digo sobre la mesa, voy a decir sobre la pantalla, ¿no?,
vamos a poner sobre la pantalla cuáles son esos cinco pasos fundamentales que
realmente hemos hecho en excel para llevar a cabo el método de Euler.
Entonces si me siguen en la pantalla, estamos hablando del método de Euler y
vamos a pasar a conocer algunos de sus elementos, ¿no?
Primero de todo, les recuerdo que el problema que estamos nosotros abordando es
el problema de predecir, o sea estamos prediciendo valores de magnitudes que
están cambiando, mi diapositiva tiene la letra m, ¿no?, ¿por qué la letra m?
Porque ahorita estamos recordando con m magnitud,
a esta magnitud quiero precisar su valor en b, y para calcular ese valor,
lo que necesito es conocer el valor de la magnitud en un elemento anterior
a y a eso sumarle el cambio acumulado de la magnitud en el intervalo a, b.
Este cambio acumulado es de lo que se ocupa el cálculo,
o sea cómo vamos a calcular ese cambio.
Bueno, ahorita no lo tenemos calculado exactamente pero tenemos una
estrategia numérica que es el aproximar, y que les decía yo esa es una
idea muy matemática que de alguna manera ha quedado fuera de la escuela,
o sea no nos enseñan a aproximar, yo no entiendo por qué si realmente,
o sea la matemática ha vivido estos procesos infinitos de
aproximación pues por qué no enfrentarlos, porque realmente son pensamientos
matemáticas que no solamente se aplican solamente en matemáticas, créanmelo.
Vamos a verlos y espero convencerles de esto con este curso que estamos
desarrollando.
Entonces aquí lo que hicimos en este renglón,
fue poner el valor de la magnitud en b y lo voy a aproximar, ven estas vivoritas
diferentes de estas que ya me había pasado en una sesión que corregí.
Esto quiere decir aproximo, esto quiere decir igual, entonces
lo que vamos a hacer ahorita es aproximar con el valor de la magnitud en a,
y sumándole una aproximación del cambio, ¿no?, o sea vamos a aproximar ese cambio.
Vamos a hacer una aproximación del cambio de la magnitud,
para eso la herramienta es el método de Euler, ¿no?
¿En qué consiste ese método?
Si ahorita ustedes ven la diapositiva, tengo en este cuadro de acá arriba,
¿no?, marcado todas las condiciones del método, ¿no?
M es la magnitud que quiero predecir, x es la magnitud de la que depende,
m de a es el valor inicial, r de x es la razón de cambio de m con respecto a x,
y m de b es el valor que buscamos aproximar.
¿Qué fue lo que hice?
Les leí todo lo que estaba en este cuadro que mantenemos en nuestra mente así como
se encuentra en el cuadro,
lo vamos a mantener en nuestra mente porque ese es nuestro objetivo, ¿no?
Y lo que vamos a hacer aquí es dividir el intervalo de a en subintervalos
de longitudes de delta x, este es nuestro primer paso en el método de Euler,
considerar que esta variación desde a hasta b que tiene la magnitud,
esta variación se pueda considerar en pequeños subintervalos de tiempo, ¿no?
Cuya longitud, dije de tiempo pero realmente no tiene que ser tiempo.
Son subintervalos de la magnitud de la que depende la magnitud m,
y esos subintervalos van a ser todos igualitos entonces partimos en n como
decimos en matemáticas, en n partes iguales el intervalo señalamos
aquí nuestro a que sería el x sub cero, después tendríamos x sub uno,
después tendríamos x sub dos, después tendríamos el x sub tres,
entre cada uno de ellos tenemos nuestros deltas x, ¿no?
Y así tendríamos el iésimo menos uno,
el iésimo x sub i, el penúltimo aquí hay uno que no escribí,
es x sub n menos uno y el último que va a ser x sub n que coincide ya con b,
¿no?, este b en el caso de la vaca era el cuatro, ¿no?
En el caso del tanque era el 10, estábamos pensando en 10 minutos, ¿no?
En la tasa de café le dimos hasta todo lo que podíamos hacer para informarnos
de lo más posible de la situación.
Sigamos adelante entonces, ese fue nuestro primer paso, hacer una división,
verdad, una división del intervalo de la variación de la magnitud de la
cual depende nuestra magnitud m, ¿no?
Después de eso lo que vamos a hacer es un segundo paso, ¿no?
Este segundo paso consiste en calcular la razón de cambio en cada
uno de los x sub i, y asignar a cada sub intervalo la razón de
cambio constante calculada en el extremo izquierdo del sub intervalo.
Realmente en esta propuesta que les estaba habiendo hemos hecho la elección de
mantener la razón de cambio constante en cada intervalo que tengamos de
variación de x escogemos siempre el lado izquierdo, ¿sí?
El lado izquierdo es el que me va a decir cuánto va a valer la razón de cambio para
mantenerle en todo en su subintervalo.
Realmente se pudo haber hecho en el lado derecho.
Realmente es un problema de la teoría demostrar si no importa si lo haces con el
extremo izquierdo o con el extremo derecho, las cosas van a salir igual,
esas son cosas importantes de la teoría, de la fundamentación,
esa que ahorita nombramos aunque no estamos tocando a fondo en este
curso para propiciar más bien la aplicación.
Entonces ahorita que estamos tomando en cuenta que hemos decidido
tomar la razón de cambio constante en el extremo izquierdo, ¿okey?
Pudo haber sido en otro lugar, pero lo hicimos en el extremo izquierdo.
Esa razón de cambio entonces estaría indicada como la tengo
aquí o aquí o aquí, ¿no?
Y entonces estaríamos ahorita pensando en esas velocidades constantes o
en esas razones de cambio constantes para cada uno de los sub intervalos.
¿Qué vamos a hacer como un tercer paso del método de Euler?
El tercero es una idea básica, ¿no?, la idea básica que es aproximar,
en este momento se da el momento de la aproximación.
¿Por qué?
Porque vamos a aproximar el cambio acumulado de la magnitud en cada sub
intervalo mediante la multiplicación del valor de la razón de cambio constante,
que fue asignada por el intervalo por la longitud del mismo.
O sea aquí vienen los productos de la razón de cambio por el delta x,
razón de cambio en x sub cero por delta x, razón de cambio en x sub uno por delta x,
razón de cambio en x sub dos por delta x, etcétera, etcétera, etcétera, ¿no?,
y luego razón de cambio en x sub i menos uno por delta x, etcétera,
etcétera, etcétera y después el último es razón de cambio en
x sub n menos uno por delta x, ¿no?
Llegábamos al x sub n menos uno, acuérdense que llegar al x sub n no se
vale porque eso ya seguiría para el siguiente sub intervalo, ¿no?,
que ya no vamos a considerar.
Entonces estamos ahorita tomando aproximaciones del
cambio que realmente sufre la magnitud en cada intervalo del delta x.
Esas aproximaciones son tales, ¿por qué?
Porque la razón de cambio era variable, no era constante,
la hicimos constante, la mantuvimos constante en ese intervalo, ¿no?
Y eso gracias a excel al hacer las multiplicaciones en esa columna de
multiplicaciones de r de t por el delta t, o r de x por el delta x, ¿no?
Vamos al siguiente paso, el siguiente paso viene siendo el número cuatro, ¿no?, y en
ese cuarto paso lo que hacemos es sumar las aproximaciones obtenidas para cada
uno de los sub intervalos, así encontramos la aproximación del cambio acumulado,
vean la palabra acumulado, si a esa palabra acumulado lo que estamos tratando
de decir con eso es que cada uno de sub intervalos tiene su cambio de la magnitud,
pero los acumulamos, sumamos uno con el otro con el otro con el otro, ¿no?
Para hacer una aproximación del cambio de la magnitud en todo el cambio a, b.
Y entonces en general lo que tenemos aquí es una expresión del delta i
sub m como r de x sub i menos uno por delta x,
este es el cambio exacto en el intervalo iésimo y este es su aproximación
cuando se hizo con la multiplicación de la razón de cambio constante por el delta x.
Esto para cada uno de los valores del subíndice, y después entonces la
aproximación del cambio acumulado de la magnitud en todo el intervalo
va a ser la sumatoria, ¿no?, la sumatoria desde donde hasta donde,
desde vamos a quitarle, desde i igual a uno hasta n,
de los cambios de la magnitud en cada intervalo, ¿no?
Pero esto se aproxima con la sumatoria desde i igual a uno hasta n de
la razón de cambio en x sub i menos uno por delta x, ¿no?,
esta sumatoria que tenemos aquí es la que está dándonos el
valor aproximado, ¿no?, del cambio acumulado por esa magnitud.
Finalmente un quinto paso, lo que nos estaría diciendo es
al valor inicial le sumamos la aproximación del cambio acumulado
delta m para obtener la aproximación del valor m de b.
Este valor entonces m de b sería,
realmente seria igual a m de a más el cambio, ¿no?
Pero ahorita se está aproximando mediante la suma
de esta sumatoria que está aproximando los cambios de la magnitud en cada
uno de los sub intervalos en que se dividió o sub dividió el intervalo a, b.
En el caso me estaba recordando ahorita de la taza de café que estábamos hablando
hace ratito, bueno pues este valor m de a vendría siendo ese 80 inicial, ¿no?
Ahí lo tuvimos que poner porque después ese 80 iba a estar cambiando,
¿no?, en los valores de la temperatura.
Esta expresión que tenemos aquí es una expresión que seguramente les ha
de recordar a ustedes de neustro teorema fundamental del cálculo, ¿se fijan?
O sea estamos hablando nuevamente del valor de una magnitud.
En este caso se llama m por recordarles el contexto real de magnitudes,
diversas magnitudes que pudieran estar pasando por nuestra mente ahorita.
Pero, realmente en el caso de cálculo el personaje luego vino a ser la función.
Entonces ahorita aunque estamos viendo ms,
yo podría leerles esta sumatoria diciendo f de b va a ser fíjense,
en el igual a f de a más y en lugar de esa sumatoria, ¿qué vamos a llegar?
Vamos a llegar a la integral desde a hasta b de f prima de x de x.
Bueno, pero hacia allá vamos, ahorita creo que es suficiente de simbología,
bastante simbología hemos hecho, yo lo quería era ver con ustedes esta expresión
digamos del método de Euler que la mera verdad es muy interesante de aplicar,
sobre todo si utilizamos la tecnología, ¿no?,
para poder predecir valores de muy diversa magnitudes,
mientras conozcamos un valor de ellas, y cómo se comporta su
razón de cambio.
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