Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Simbolización: Derivando e integrando los modelos básicos.
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En provenance du cours de Tecnológico de Monterrey
Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
325 notes
Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Derivada - Diferencial / Antiderivada - Integral
En este Módulo retomaremos los conceptos fundamentales del Cálculo desde una perspectiva teórica. Haremos énfasis en los diferentes acercamientos para su establecimiento como teoría científica, uno Newtoniano y uno Leibniziano. Hablaremos de las ventajas de los mismos para el tratamiento de la problemática de predicción que hemos establecido en este curso.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues estamos iniciando
nuestro video de simbolización y tenemos bastantes cuestiones
simbólicas que debemos de recuperar en nuestra mente.
Ahorita estamos viendo esta imagen que viene desde nuestra video anterior, ¿no?
de la situación, acuérdense de la situación que estamos analizando es una
situación tan cotidiana hoy en día de acercarse y de acercarse el zoom in,
lo vimos con Google etcétera, etcétera, ¿no?
Ahorita, entonces, lo que yo quisiera evocarles a ustedes es
que esta curva que ya tengo impresa, sobre ella no me voy a poder estar acercando.
Lo hice con el software, ya lo vimos con la computadora.
Ahorita voy a hacer una memoria, ¿no?
De lo, de lo que pudimos hacer gracias a la tecnología.
Nos ponemos en cualquier punto de la curva.
Este punto, por ejemplo, ¿no?
Y a este punto ya sé que tiene asignada un valor para la x tiene un valor
para para la y.
Y ese valor de la x y de la y, ¿no?
Es, están relacionados entre sí a través de la función que está acá arriba.
Si ustedes me permiten, aquí yo pondría esto es igual a y de x,
como lo he estado acostumbrando, como para decir y depende de x o tradicionalmente
lo que se nos hace es pues darnos la letrita f de la función.
Entonces aquí yo tengo este punto cuyas coordenadas son x coma
y Pero al mismo tiempo puedo ver x coma f de x, ¿cierto?
En ese punto me acerco.
¿Qué hicimos con el software?
Para esta curva en particular, nos acercamos y nos acercamos y
lo que logramos ver es un comportamiento de recta y esa inclinación que, me es más,
podría yo simular aquí con el marcador, ¿no?
Es la inclinación de la recta, me está ofreciendo, numéricamente,
un valor de la razón de cambio.
Lo hicimos en el papel contando cuadritos y entonces ahorita podríamos hablar de
estos cambios.
Cambio de la y entre el cambio de la x que estaría hablándome de la razón de cambios,
pensamos en este proceso de acercarnos y acercarnos y acercarnos, ¿no?
Lo vivimos con el software.
Y entonces ésto es lo que nosotros hemos bautizado, ¿como qué?
Como la derivada O sea, esto es igual a f prima de x o es lo mismo
que decir y prima de x, utilizando esta notación, ¿okey?
Esto, que estamos haciendo ahorita, es un, digamos,
un acercamiento a definir la razón de cambio que diríamos instantánea.
Instantánea se define por que es, digamos, la culminación de un proceso infinito.
Acuérdense que estamos hablando de cálculo y, necesariamente,
aquí los infinitos son el pan de cada día.
Entonces ahorita este valor numérico que atrapamos gracias al software, ¿no?
es un valor numéricos que se atrapa con este proceso infinito, ¿no?
Y que se bautiza como el valor de la derivada en este valor particular de x,
¿no?
Esta definición que están viendo,
es una definición que se apega a un tratamiento más de corte newtoniano.
Yo ya les adelantaba la vez pasada que son Newton y Leibniz, son dos matemáticos.
Estamos hablando de 1.600, 1.700, ¿no?
Que llegaron a la construcción de la teoría del cálculo.
No quiere decir que no haya llegado al límite.
Esto que está aquí, el límite,
es realmente producto de la fundamentación de la matemática.
Acá estaríamos hablando de un siglo 19.
O sea, los matemáticos o la matemática en sí,
nace de aplicarse a problemas resolver problemas.
Pero también hay un proceso interno dentro de la teoría matemática que
fuerza a que los mismos matemáticos estén dando el fundamento, ¿no?
Para sus nociones, sus conceptos.
Newton no requirió de este fundamento para trabajar con sus derivadas.
Él hablaba de fluentes y fluxiones, ¿no?
Newton no requirió tanto definir aquellas cosas que son incrementos y
que se vuelven infinitamente pequeños, ¿no?
se desvanecen.
Sin embargo, este tipo de acercamiento que hemos simulado con el software,
es un acercamiento que a la larga se fundamentó en este concepto de límite,
lo que son puntos de acumulación, lo que es el análisis estándar, ¿no?
que ya es fruto del siglo 19.
Esto, por tanto lo vamos a nombrar nosotros un tanto,
un acercamiento newtoniano, ¿no?
En este sentido de que estamos hablando de,
digo la palabra acercamiento también es el acercamiento acá, ¿se fijan?
O sea, me acerco al concepto de derivada desde un punto de vista
newtoniano y eso quiere decir que cuando veo esta curva,
que ya es una curva que es derivable, me acerco, me acerco y veo un comportamiento
de recta y ese acercamiento a la curva lo, digamos, lo expreso con
este concepto de límite y eso es lo que se bautiza como la derivada, ¿okey?
No obstante, también Leibniz ya estaba trabajando de una manera distinta,
¿no?, en ese tiempo.
Y bueno pues la manera de ver Leibniz, las cosas,
es un tanto diferente más tiene un corte, él, más
visual y voy a plantearles una diferencia que parece sutil, pero es fundamental.
Miren, aquí hubo un proceso infinito de acercarme y acercarme.
Acá. Bueno.
Perdón.
Déjenme decirles aquí.
Esto es lo que se llama un infinito potencial.
Potencial es en el sentido de que potencialmente me acerco.
Ahí voy, ahí voy y me acerco, ¿no?
La tecnología ahorita nos hace eso uf, este, numerosos ejemplos, ¿no?
Cotidianamente.
Ahora, el acercamiento de Leibniz es un tanto diferente porque Leibniz concibe
el infinito, pero es un infinito que ya no se llama potencial, sino llama actual.
¿Y qué quiere decir con eso?
Que para él no hay necesidad de acercarse en ese infinito potencial,
sino que dice, de antemano, o sea, desde el principio,
él establece que una curva es una, una poligonal de,
hay, infinitos segmentos rectos, ¿no?
O sea la curva ya está hecha de segmentos rectos infinitamente pequeños.
¿Cuántos?
Infinitos.
O sea, este tipo de infinito es un, es un actual, es como una realidad ya.
Para él la curva es así.
Y, entonces, cuando veo aquí un punto, ya si, si yo,
al estar viendo tengo que yo aceptar que hay algo como esto.
Hay como un triángulo aquí donde ese punto es esto.
Aquí se hablaría de un diferencial de y y un diferencial de x.
Allí aparece la palabra diferencial, ¿se fijan?
Y entonces estos diferenciales son cantidades infinitamente pequeñas que
componen a la curva.
Cada vez que hay un cambio infinitesimal en la x hay un
cambio infinitesimal en la y.
Y entonces, esto que estoy viendo aquí y que lo veo conceptualmente de esta manera,
me hace aceptar que si divido el diferencial de y entre el
diferencial de x, ¿sí?
Lo que estoy obteniendo es la misma, misma inclinación que ya
había obtenido cuando nos acercamos desde un punto de vista newtoniano.
Lo que estamos haciendo ahorita, entonces es, estamos proponiéndoles a ustedes
que este cociente de diferenciales es lo mismito que la derivada, ¿no?
La derivada puede ser vista como un cociente de diferenciales si
estamos en un acercamiento.
Vamos a ponerle así leibniziano, ¿no?
O sea, si tomamos, adoptamos esta perspectiva, ¿no?
De Leibniz, de ver a la curva como un, infinitos tramos,
infinitamente pequeños de rectas, entonces podemos aceptar que la derivada es
esto y lo que estamos haciendo con ustedes es, entonces, proponerles una,
digamos, como que una integración didáctica, ¿no?
De ambos pensamientos del de Newton y el de Leibniz.
¿Por qué?
Porque a la larga este pensamiento de Leibniz no ganó en la fundamentación.
No en la fundamentación del siglo 19, ¿okey?
Y entonces el concepto de diferencial, aunque es muy utilizado, no tiene el
fundamento teórico que tuvieron acá los límites, los puntos de acumulación.
Y entonces, pues parece ser que cuando vemos un libro,
libro de cálculo tradicional nos dice que esto es una notación y la verdad es
que no es una notación o sea, ya desde tiempos anteriores
los matemáticos iban pensando en esta cantidad como de,
o en estos nuevos números infinitamente pequeños o infinitamente grandes, ¿no?
Que se podrían, este, como juntar a los números reales,
que son los que se fundamentaron hasta el siglo 19.
O sea, la, los matemáticos pensaban en eso.
Un matemático recientemente, ¿no?
Bueno, en el 66, 1966, Abraham Robinson,
un matemático, ya fue capaz de fundamentar, también, a los diferenciales.
Y entonces, ahora se habla también del análisis no estándar, entonces yo
tengo todo el derecho de decir, o hablo de cociente de diferenciales con la
derivada o hablo del límite de razones de cambio con la derivada.
Ambos, ambos acercamientos, newtoniano y leibniziano,
a la fecha están completamente fundamentados desde la teoría matemática.
No era común encontrar diferenciales en los libros de cálculo por que ganó esto,
pero créanme que eso tenía otra razón de ser que es una fundamentación
matemática y no tanto la necesidad de definir la derivada.
Podemos utilizar, ahora,
también este acercamiento leibniziano y entonces tenemos definido el diferencial,
cociente de diferenciales en la derivada ya va derivada,
ya va diferencial, tenemos la antiderivada que ya habíamos conocido antes,
¿no?, porque la antiderivada es la función cuya derivada es la otra, ¿no?
Y también al mismo tiempo ahora vamos a poder hablar de la integral.
Me voy a permitir hablarles de la integral en esta hojita simplemente
con hacer una, un despeje muy algebraico.
Si yo hiciera antes esto como que no se valía.
Ahorita yo puedo decir este diferencial de aquí lo paso multiplicando
acá y entonces me queda lo que estamos viendo ahorita, ¿no, sí?
El diferencial de y es el producto de la derivada por el diferencial de x.
Y siendo acordes con el acercamiento newtoniano,
cualquier magnitud que ahorita nosotros representando con esta curva,
cualquier magnitud está hecha de sus cachitos infinitamente pequeños, sí,
o sea la idea de la integral viene siendo la idea de una suma
infinita de cantidades infinitamente pequeñas.
Eso es lo que es la integral desde esta perspectiva, o sea lo que tengo que hacer
es para recuperar a la magnitud y, lo que hago es sumo la integral,
es una s de suma, sumo sus diferenciales, ¿no?
Y entonces lo que tenemos con la integración es la integral de
f prima de x de x, si me traigo lo que teníamos acá.
Y entonces tiene sentido hacer integrales de derivadas que no se si
ustedes recuerden, eso fue con lo que empezamos cuando hicimos nuestra
interpretación del teorema fundamental del cálculo.
O sea tiene sentido integrar derivadas, okey.
Esto por qué, porque ellas me van a permitir recuperar a la magnitud,
okey, y entonces desde esta perspectiva esta integral que en
la teoría ahorita se le llama una integral indefinida,
¿no?, lo de indefinido ahí sí esa palabra no me gusta nada,
porque parece como que está definida o no está definida y no es eso,
o sea indefinida quiere decir que no digo de donde a donde, okey.
Eso quiere decir indefinido, esta integral indefinida es lo mismito que nosotros
hemos llamado la antiderivada, okey, y esa antiderivada es una
nueva función que recupera los valores de la magnitud.
Todo esto tiene que ver con una propiedad de
derivabilidad o diferenciabilidad que tiene esta curva.
Esa propiedad como lo vimos en la sesión anterior, no lo tiene cualquier curva,
se fijan, esto que está aquí es una impresión, y que impresión causa también,
verdad verla, es una impresión de la función de iii.
iii había visto, fíjense visto entre comillas esta función desde tiempo
atrás cuando se trataba de fundamentar a la matemática en esta parte, ¿no?,
del análisis, y entonces ya tenía la idea de un tipo de expresión
matemática que tendría todos estos digamos, picos,
todos estos picos y que cumple con que si me acerco a uno de ellos,
lo que voy a ver es picos, o sea no veo la recta que se va cuando
tengo una curva diferencial o derivable.
O sea desde épocas del iii, ya se conocía que era posible
pensar en una curva que tuviera picos en todos lados,
o sea es una curva que a pesar de ser continua no es derivable en ningún lugar.
Esto desde el punto de vista de la teoría de matemática fue una sorpresa, okey,
esto gracias ahorita a la tecnología tengo la oportunidad de ofrecerles una visión,
¿no?, una visión como un acercamiento también a este tipo de
situaciones que son por demás interesantes.
Entonces déjenme ahorita poder poner sobre la mesa con ustedes
algunas cuestiones que tienen que ver con esto de lo derivable, no derivable,
continuo, no continuo, ¿no?, que sin embargo no hemos tomado así a fondo,
a fondo dentro de la teoría, tratando de favorecer la aplicación, pero la
cuestión es que ustedes pensarán que esto de aquí no va a tener aplicación y la mera
verdad es que esto de lo más aplicable de las matemáticas en la actualidad.
Entonces si me acompañan ahorita a mi computadora,
yo quisiera mostrarles unas imágenes de funciones que no son derivables,
pero que son las que tradicionalmente se nos ofrecen en un curso de cálculo,
pero que sin embargo son cuestiones muy inocentes de no derivabilidad,
o sea vean esta curva, la expresión que yo puse raíz de x cuadrada,
eso no es más que otra manera de escribir valor absoluto de x,
o sea eso que se pone con las barritas con una x en medio.
Es esta función que tiene esa expresión analítica, raíz de x cuadrada.
Si ustedes observan, la gráfica es un pico,
o sea realmente si yo me acerco en este punto donde tengo el cursor,
lo que voy a ver es esa recta y si me acerco a este punto del cursor lo
que voy a ver es esa recta de la que forma parte, pero si me acerco a este
punto en el cero cero, lo que voy a ver es un pico, ¿no?, o sea vean este
software me permite acercarme y me acerco y me acerco y me acerco, se nota que me
estoy acercando porque los numeritos se ven cada vez más pequeños, ¿no?
Pero siempre veo el pico, entonces ese es un ejemplo de una función
que realmente es continua, o sea se puede pensar que la puedo dibujar así,
voy dibujándola sin despegar el cursor, ¿no?
Pero que aquí en este lugar no es derivable,
¿por qué?, porque cuando me acerco no veo una recta, okey.
Entonces eso es caso de una función que es continua en todos lados pero no
tiene derivada en un lugar.
No, pero eso es muy inocente porque el no tener derivada en un lugar es muy poquito.
Acabamos de ver en el papel algo que no tiene derivada en ningún lugar.
Bueno, no necesariamente en el papel sino que es ese proceso de estar pensando en un
refinamiento de esta curva, ¿no?
Vámonos a regresar a donde estábamos para enseñarle otra gráfica aquí,
déjenme llegar a donde estaba con el zoom,
ahora sí, y veamos esta otra curva que tengo por acá,
vamos a ponerle por aquí que nos la oculte y nos vamos a traer
una de aquí que quiero que vean, miren esta curva.
Esta curva, su expresión es seno de uno en x, okey.
Esta curva les tengo yo que decir que tiene un problema de continuidad,
¿por qué?
porque en x igual a cero no se puede hacer esa división uno entre x.
Entonces esa curva cerquita del cero,
aquí pasa algo porque no puede calcularse el valor numérico, ¿de acuerdo?
Vamos a ver que pasa cerquita del cero, entonces nos acercamos, nos acercamos,
nos acercamos, y parece que todo está cada vez más increíble, ¿no?
O sea realmente no se ve el comportamiento de recta pero
tampoco se ve la no continuidad, o sea realmente ahí se ve, pues no se ve nada,
o sea realmente lo que tengo que interpretar aquí es que estoy calculando
valores del seno en números cada vez más grandes,
porque uno entre x si x tiende a cero esto se nos va a infinito,
entonces se están calculando infinitos valores del
seno y entonces eso que ven ahí es como infinitas oscilaciones, pero infinitas,
de tal manera que me cubren todos los pixeles ahí de la pantalla, okey.
Este es un caso de no continuidad y bueno pues, matemáticamente
en la teoría se ha demostrado que la no continuidad implica no derivabilidad.
En otras palabras, el teorema dice si una función es derivable entonces es continua,
y eso quiere decir que la continuidad es una condición necesaria para la
derivabilidad, o sea si algo va a ser derivable tuvo que haber sido continua,
pero no nada más continuo, ahí empiezan los matemáticos a ver las
diferencias entre ambas nociones o ideas, ¿no?
Entonces y qué les mostré ahorita, les mostré una función que tiene problemitas
de continuidad en un lugar, en el cero, ahí nada más.
Pero en cualquier punto que yo me pusiera por aquí en ella, si me acerco a un punto
en ella lo que voy a ver es un gráfico que sí es continuo y que sí tiene derivada.
Ella tiene derivada en todos los puntos excepto en el cero,
pero en el cero no tiene derivada por culpa de la continuidad.
Vamos a ver otra gráfica que también es posible con estas maravillas,
vamos a ver la gráfica de esta función que tengo aquí y vean ahora la diferencia,
vamos a ponerla en rojo, sí.
Esta gráfica de x seno de uno en x también metí esta variación
de seno de uno en x, pero le estoy atrapando por esta multiplicación por x,
y entonces lo que pasa cuando me acerco aquí es,
vamos a ver qué es lo que pasa, vean ustedes qué es lo que pasa.
Tenemos infinitas oscilaciones pero esas infinitas oscilaciones están atrapadas
entre unos 45 grados, ¿no?, o sea 45 grados hacia arriba y hacia abajo.
Entonces lo que hacemos con eso es, a pesar de que esta función no es continua
en el cero porque no puedo dividir en el cero, sí puedo agregarle un puntito, ¿no?,
a la gráfica y decir pues que en cero valga cero, y entonces la hago continua.
Y aún y cuando la haga continua sin embargo,
o sea metiendo aquí un valor cero,
este gráfico me está diciendo que por más que me acerque no voy a ver una recta,
o sea les estoy mostrando una función que si es continua
porque ya le agregué el cero con la manita, ya le agregué el
cero es continua, hasta en el cero, pero en el cero no es derivable.
O sea si me acerco al cero no voy a ver una recta,
cosa que si puedo ver si me acerco a cualquier otro lugar, ven aquí,
si me pongo este lugar ahorita inocentemente, en ese piquito que llegué,
vamos a moverlo un poquito para acá, y entonves me acerco y me acerco
y me acerco y ahí sí voy a ver una recta, se fijan,
le sigo y le sigo y le sigo y ya ven la recta, o sea, ¿qué les estoy mostrando?
Les estoy mostrando que en cualquier otro punto de esta curva, sí,
ustedes van a poder ver una recta pero en el cero ahí si no,
okey, una función que es continua en todos lados porque agregué
el cero y derivable en todos lados, okey, excepto en el cero,
es un caso más interesante que el valor absoluto que era solamente un pico, ¿no?
Por último les voy a mostrar con el software ahora la función que
tenemos preparada aquí es esta, vean, cuál fue mi diferencia ahora,
lo único que hice fue atrapar seno de uno en x con x cuadrada y al hacer esto,
estoy forzando a que la curva se encuentre atrapada de tal manera,
es que ahí lo tengo en ese lugar, no tengo oportunidad de regresar,
y voy a salirme de acá,
okey y entonces vamos a acercarnos aquí al cero,
nos acercamos, nos acercamos, nos acercamos y qué ven,
yo ya no veo nada, veo los números chiquitititos, pero qué está pasando,
que esta curva se pegó, ya se pegó sobre el eje horizontal,
o sea si yo tuviera que pensar en una recta, ¿no?
a la que me estoy acercando cuando me acerco a esta curva,
la recta sería una recta horizontal, okey,
o sea esta función está atrapada entre la x cuadrada,
la menos x cuadrada y las oscilaciones infinitas se van atrapando aquí de
tal manera que prácticamente en el origen es una recta horizontal.
Entonces, la moraleja es que a esa hora un caso de una función que no es
continua en el cero pero la puedo hacer continua porque simplemente puedo decir
que en cero valga cero, okey, le pongo la manita ahí y en cero vale cero,
es una función continua en todos lados, y es derivable en todos lados aún
y cuando tiene este comportamiento de oscilaciones infinitas, okey.
Este es otro caso de derivabilidad que no es el caso tan sencillo de haber visto una
función cúbica como lo hemos visto en el papel.
Si ahorita me permiten ustedes pasarlos a un panorama de la continuidad,
les voy a recordar a lo mejor contenidos de algún curso de cálculo que hayan visto,
porque aquí tengo el caso de una función que tiene un problemita de continuidad
pero muy, muy leve, o sea una función que en el uno no se puede evaluar.
Y entonces el graficador lo que hace es que en el uno pone un agujerito, no se si
alcancen a ver ese agujerito ahí, ahí hay un pixel que no está dibujado con morado.
¿Por qué?
Porque el graficador sabe bien que no puede meter aquí el valor uno,
si me acerco aquí a alguno yo creo, miren, fíjense,
le atiné en el uno, not a number dice, o sea ahí no hay un valor.
O sea este graficador es muy bueno porque se dio cuenta de eso, y nos dice no mira
ahí tengo que poner un agujero, okey, ese agujero es un agujero muy inocente,
les digo, por qué, porque simplemente lo puedo tapar,
es como tapar el sol con un dedo, o sea le pongo un puntito ahí, o sea le
digo a la función en uno valga dos para que se nos rellene este agujerito,
y eso es lo que me han dicho que es una discontinuidad removible,
porque se puede remover pero no es un problema muy grave, me explico,
esa discontinuidad, discontinuidad, no se si dije continuidad, esa discontinuidad,
miren ahí está el cursor, déjenme bajarlo tantito, si me acerco más,
ahí tiene que estar la discontinuidad también, cuando nos acercamos al dos,
vean por aquí, si estoy en el dos ahí está el agujerito,
ahí sigue el agujerito, sí, o sea es una discontinuidad muy leve,
muy sencilla, que no tiene mucho caso analizar, ¿no?
Es preferible que analicemos otro tipo de discontinuidades y entonces
les propongo que veamos esta curva, esta curva es la que nos han dicho que nos han
dicho que es una discontinuidad infinita.
La curva tiene problemitas en dónde, en el uno, esto que está
haciendo el graficador, esta recta que ven aquí, no crean que es parte de la curva.
O sea la curva se va hasta menos infinito,
viene desde más infinito acá arriba, tiene esta raya que es una asíntota y que
realmente es algo que el graficador está haciendo cuando intenta unir el punto más
arriba con el punto más abajo de los dos cachos de curva que tiene esta función.
Es una discontinuidad infinita, okey,
puede ser el comportamiento de una magnitud, no se,
está pasando el tiempo y de repente un hoyo negro se fue hasta menos infinito y
luego apareció en más infinito para tomar valores cercanos a cero.
Puede ser un comportamiento de que, con aplicación, no digo que no.
Una discontinuidad infinita es más interesante una discontinuidad removible,
y por último acá tenemos abajito otro tipo de discontinuidad que
es como la que les mostré hace ratito en el archivo primero,
o sea aquí les puse esta curva para que estuviera en el uno el valor de dos y de
tal manera que al acercarse y al acercarse a ella nada más que tendría que
acercarme en el uno, vamos a acercarnos en ese lugar,
lo que veríamos es un comportamiento cada vez más y más y más completo, ¿no?
Tenemos ese caso de una función que no es continua
y si ustedes lo pueden ver, o sea hay de discontinuidades a discontinuidades,
hay discontinuidades muy sencillas, hay discontinuidades muy complejas, ¿no?
Hay derivabilidades que siempre van a ser sencillas pero lo derivable
puede ser tan y tan complejo como lo que tenemos ahorita mostrado aquí en el papel.
Entonces hemos visto bastante simbolización gráfica,
volvamos al papel para volver a tener nuestra idea, ¿no?, de lo que sería una no
derivabilidad y que tiene que ver con esta apasionante
tema de los fractales, ¿no?, que vamos a retomar en nuestro video de aplicación.
Pero por los momentos digamos nosotros estamos en
un panorama aquí muy pero muy sencillo.
Tengo una función que es netamente derivable, ¿no?,
tengo una función que también es continua, ¿no?,
o sea lo más bonito de lo más bonito, ¿no?, en el tipo de comportamiento
de esta curva que me representa una magnitud que crece cada vez más lento,
llega a un valor máximo, decrece cada vez más rápido, después cada vez más lento
llega a un valor mínimo y luego crece indefinidamente, ¿no?
Sobre este tipo de funciones podemos trabajar muy bien algebraicamente,
entonces aquí está mi expresión algebraica y ustedes ya
saben que con ella podríamos derivarla, es más mentalmente la derivada va a ser qué,
dos menos seis x más tres x cuadrada, sí.
Pero al mismo tiempo ya podemos verla a ella como un personaje para
antiderivar o para integrar, o sea yo puedo estar pensando en,
al ver esta expresión, pensar en x más dos x cuadrada entre dos menos tres x
cúbica entre tres más x cuarta entre cuatro.
O sea qué fue lo que hice, mentalmente una antiderivación y
eso es lo que tenemos que acabar de resolver bien en este video, ¿no?
Tenemos que poner sobre la mesa esos modelos básicos que hemos visto pero desde
este punto de vista algebraico porque nuestros modelos son muy bien portados,
¿no?, como este que tenemos aquí, son completamente derivables y continuos, ¿no?
Entonces vamos a ver en una presentación que tengo acá, les voy a empezar
a mostrar en la computadora lo que podríamos ya concretar sobre nuestros
aprendizajes previos y luego lo recuperamos con papel.
Entonces vean ustedes ahorita en mi pantalla que lo que
tengo es una función, la función está en el centro, ¿por qué?
Porque cuando la teoría ya se formalizó, el personaje fue la función.
Se acuerdan hace ratito nosotros decíamos lo que integro son derivadas,
bueno sí pero el concepto de función fue el que tomó el lugar de los primeros
capítulos digamos en la teoría del cálculo y entonces así nos enseñan, ¿no?,
que la función está en el centro, esa es mi función, y que yo la puedo derivar,
esto es lo que les digo ahora o bueno que he utilizado con ustedes ahora,
puedo ver la derivada como cociente de diferenciales o la puedo ver también como
una razón de cambio instantánea, razón de cambio instantánea, ¿no?, pero al
mismo tiempo les hemos enseñado en este curso que podemos irnos de abajo a arriba.
También puede ser que esté antiderivando, ¿no?,
aquí puedo antiderivar y llegar a la función de arriba, sí.
También lo que vamos a hacer ahora es de que estando en el centro
podríamos ahora pensar en el otro lado, o sea podríamos decir esta que
está en el centro la puedo antiderivar y entonces pongo una función F mayúscula,
¿no?, que sería la integral indefinida de f minúscula y entonces me
va a dar una fórmula que a la vez es una familia de antiderivadas,
o sea porque esta letra c que está aquí que es una constante, que representaba en
el caso de las funciones polinomiales el valor inicial de la magnitud,
pues es algo que se puede estar agregando que al cabo que cuando se deriva
una constante, al derivarla no queda aquí más que un cero, ¿no?
o sea fíjense como en este tejido que les estamos proponiendo en el curso,
todo está relacionado porque esa era nuestra intención original, derivadas,
antiderivadas, integrales,
todo eso es fruto de haber interpretado el teorema fundamental del cálculo.
Entonces nuestro panorama está así, cada vez que tengo una función,
o sea tengo al función en medio, puedo pensar hacia abajo con su derivada pero
puedo pensar hacia arriba con su antiderivada o con su integral, okey.
Y entonces nuestros modelos básicos, por ejemplo la función potencia se acuerdan,
esa que está dada por x a la n, n es un número natural,
yo puedo pensar hacia abajo y la derivo y la derivo quiere decir
cociente de diferenciales, la notación esta que están viendo
ustedes aquí es otra notación que tiene que ver con la de iii,
o sea derivo con respecto a x y la derivada es n a la x n menos uno, okey.
Pero también la puedo antiderivar, ¿no?, entonces puedo hablar de una función F
mayúscula que ahora la vamos a nombrar como la integral de x a la n,
y esta integral de x a la n de x es x a la n menos uno entre n más uno más c.
Así como antes qué decíamos, si yo les pongo aquí x cúbica, piensen ahorita
que la n es x al cubo, para abajo diríamos tres x cuadrada, tres x cuadrada, ¿no?
y para arriba, qué diriamos, x a la cuatro entre cuatro, okey.
Eso que estoy haciendo ahí con el cursor y lo estoy haciendo mentalmente es revivir
el proceso algebraico de derivar y antiderivar nada más que
ahora lo estamos manejando con nuestros diferenciales y con nuestra integral,
habiendo hecho la relación entre estas notaciones.
¿Qué otro modelo tenemos estudiado?
El modelo exponencial, nuestro modelo exponencial tenía esta forma, ¿cierto?
Recuerden ustedes que este modelo exponencial lo obtuvimos de darle solución
a una ecuación diferencial que dice que la derivada es igual a k veces la magnitud,
o sea comportamientos de crecimientos de poblaciones son comportamientos
que en primera instancia inspiran esto, ¿no?,
que matemáticamente la razón de cambio coincida con,
o que sea un múltiplo de la cantidad que tengo ahí reproduciéndose, ¿no?
Entonces esta ecuación diferencial nos dio lugar a esta fórmula matemática,
entendimos lo que es el número de Euler también, lo derivamos y nos queda ahora
así, es la misma función que ya teníamos antes pero estamos usando esta
nueva notación, ¿no?, en donde podemos atrapar lo que voy a derivar después,
en este paréntesis rectangular, derivada de este con respecto a x, ¿no?
Para usar la notación de iii en lugar de la tradicional f prima, okey,
y bueno la fórmula sigue siendo la misma, ¿cómo se deriva y sub cero e a la k x?
Queda k por y sub cero e a la k x, o sea como me dice la ecuación diferencial,
o sea queda k veces la misma función y ahora también vamos a poder
hablar hacia arriba, ¿no?, de la antiderivada.
La antiderivada ahora es una F mayúscula, voy a integrar f minúscula,
o sea voy a integrar y sub cero e a la k x de x,
y para hacerlo pues lo que observamos es que era necesario poner la letra k,
el parámetro k pero ahora en la división,
porque para cuando derivemos esto, el valor de k que va a aparecer se va
a cancelar con este otro para dar lugar a esta función, okey.
Entonces esta expresión con la letra c agregada nos da la familia de
antiderivada, o lo que es lo mismo la integral indefinida de esta función, okey.
¿Quién nos falta?
Nuestro modelo trigonométrico nada más,
tenemos los tres parámetros ya metidos, ya sabemos que al derivarlos, bueno no,
primero acuérdense que esta es la ecuación diferencial de la cual estábamos,
extrajimos este modelo matemático donde aquí este factor b cuadrada,
bueno no lo tenía como b cuadrada,
era el menos m sobre k según esto en el sistema masa resorte, ¿no?
Pero igual aquí se puede poner como un negativo de un valor cuadrado,
que quiere decir que es un valor positivo, negativo de algo positivo y aquí está
la segunda derivada y aquí estaría la función original.
Eso la derivo y qué me va a decir,
a por b por coseno de b x más c o sea ya sabemos que la derivada de seno es
coseno y ya sabemos que va a aparecer el factorcito este b que antes multiplicaba
la x, va a aparecer aquí multiplicando también a la a, okey.
Lo antiderivamos también ahora, acompañamos y ya nos quedó más larga,
¿no?, esta integral, ¿cierto?
Pero es lo mismo que hemos visto, o sea aquí al integrar tiene que quedara un
coseno para que la derivada sea seno, o sea si bajo del primer renglón,
del renglón verde al renglón azul, la derivada del coseno es menos seno,
pero con este signo negativo se va a hacer más seno, verdad,
y cuando se multiplique por la b al derivar se cancela con
esta otra de abajo y nos queda la fórmula que está aquí.
Realmente todo esto que estamos viendo es como si me permiten,
se las voy a enseñar acá,
o sea esto es una manera económica de tener nuestro pensamiento,
vamos al papel y en el papel les voy a enseñar que estos dos
procesos se están rellenando con nuestro modelo potencia,
sí, con nuestro modelo también exponencial.
Creo que aquí nada más traía el trigonométrico aquí está el
trigonométrico, el exponencial se los voy a deber, sí,
se los voy a deber pero igual traje mis barajitas, porque miren esto,
yo les digo para mi es como una economía en pensamiento.
Tengo que pensar que tengo un modelo potencia,
que tengo un modelo exponencial y que tengo un modelo trigonométrico,
estos tres personajes son nuestros modelos matemáticos básicos,
muy derivables, muy continuos,
sin ningún problema, ¿no?, de picos y picos y picos,
y que algebraicamente también se comportan muy bien, ¿no?,
esta es una fuente de información, ¿no?, para la modelación de muchos fenómenos en
la naturaleza y yo los invito pues, a que tengan sus barajitas, ¿no?,
igual que yo para que puedan mantener esto en la cabeza porque lo vamos
a necesitar mucho cuando veamos esos nuevos modelos que nos están
esperando por ahí.
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