Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Simbolización: Álgebra con expresiones y gráficas senoidales.
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
299 notes
Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Modelo Trigonométrico
El análisis de una nueva situación real cuyo comportamiento se asocia con la periodicidad, nos permitirá reconocer los nuevos modelos matemáticos: seno y coseno. Recordaremos aspectos de trigonometría para utilizarlos en el establecimiento de estos modelos, y analizaremos particularidades de su comportamiento gráfico asociado con diferentes aplicaciones.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues, sigamos trabajando, ahora,
en este video de simbología para poder manipular mucho mejor estas expresiones,
algebraicas, ¿no?
De las funciones trigonométricas.
Realmente, quiero apoyarme mucho en el software porque también se los he dicho.
Ahorita tenemos estas herramientas y hay que utilizarlas para pensar.
Ahorita estamos viendo, tenemos aquí unas gráficas que he hecho en el software,
Grammatica.
Las hice a propósito en Grammatica porque Grammatica me ofreció
la oportunidad de poner un sistema coordenado,
cómo lo están ustedes viendo, en donde aparecen los valores del famoso pi.
A ver si tenemos, luego, la oportunidad de hablar de ese famoso pi,
tan famoso como e, no, que lo vimos con anterioridad.
En este software tengo marcado la, el, digamos,
los espacios en términos del número pi.
Aquí dice 0.5 pi, o sea, medio pi, pi, 1.5 pi, dos pi, etcétera, ¿no?
Y yo quería que ustedes vieran, con la simple graficación, ¿no?
de esas funciones cómo tenemos, entonces, la posibilidad ¿no?
De encontrar en qué lugares la función seno o la función coseno
dan igual a cero, ¿okey?
Ahorita estoy viendo, pues, en qué lugares, pues, debía yo, pues.
La función seno es la azul.
Entonces, aquí y aquí y aquí, ¿no?
Si es que se está viendo mi cursor que eso estoy moviendo.
Pues sí, también aquí y también aquí, ¿no?
Es la primera vez que tenemos una expresión en donde hay una
infinidad de valores numéricos, ¿no?
Que la satisfacen.
¿Sí?
Les pregunté, ¿en dónde el seno de x cruza el eje?
O sea ¿en dónde el seno de x es igual a cero?
Si pregunto, ¿en dónde el coseno de x cruza el eje x?
Entonces tendría que pensar, bueno, pues aquí y aquí y aquí.
¿No? O sea, ¿en dónde?
En medio pi, en tres medios de pi, en cinco medios de pi, en menos medio pi,
etcétera, etcétera, ¿no?
Esa infinidad de valores se escriben compactamente en matemáticas.
Esas también ofrecen sus dificultades.
Pero, bueno, me gustaría ahorita que valoraran el papel de,
este, de Grammatica en el sentido de que ahorita nos está haciendo evidente cuáles
son los valores en donde seno y coseno dan igual a cero.
Cosa diferente, como por ejemplo, en este otro software que tengo aquí asomado, ¿no?
en donde, vean ustedes, ahí no tuve oportunidad de cambiar el, la,
la escala, ¿no?
Y entonces está ya dada en términos de uno, dos, tres.
Este sería, este lugarcito que estoy ahorita apuntando con la manita esa,
sería el número pi, ¿no?
porque es el 3.1416 etcétera, etcétera.
¿No? Un número irracional con una expansión
decimal infinita y no periódica.
¿okey?
Entonces ahorita que está esa imagen ahí también quería yo recordarles, ¿no?
Cuando la tengo la función coseno como los dos gráficos juntos están igual
relacionados, ¿no?
¿Porqué?
Porque el rojo es la derivada del azul.
Entonces cómo hemos aprendido ya en donde las donde el azul tiene un máximo,
el rojo tiene un cero y cruza de valores positivos a negativos, donde el azul
tiene un mínimo, el rojo tiene un cero y cambia de valores negativos a positivos.
¿Se fijan?
Y eso pasa en todos lados.
Si me voy a este máximo, acá donde tengo el cursor,
su derivada es cero y cambia de valores de positivos a negativos.
¿Okey?
Los puntos de inflexión, que también es un aprendizaje con nosotros,
dónde tengo aquí, un punto de inflexión,
este cero da la impresión de ese punto de inflexión, tengo un máximo de la derivada.
En este punto de inflexión, donde cruza el eje, tengo un mínimo de la derivada.
En este punto de inflexión, del azul tengo un máximo de la derivada,
o sea, ¿se fijan?
O sea, son aprendizajes que hemos tenido en el curso y que igual los enfatizamos,
los argumentamos con el modelo cuadrático,
el cúbico pero son aprendizajes globales, son transversales en todo el cálculo, ¿no?
Entonces cuando haya oportunidad de repasarlo, pues habrá que hacerlo.
Ahora vámonos también a la cuestión algebraica porque la algebraica
pues sí cuesta su trabajo, ¿no?
Entonces ahorita vimos gráficamente los resultados sobre máximos, mínimos,
puntos de inflexión, los invito a que en el papel, veamos,
ahora si me voy a atrever a, a rayar mi mi papelito, ¿no?
Mi acetato.
Vamos a ver aquí a la función seno, ¿no?
La función seno es esta que está aquí.
Aquí notamos que está el número pi donde intercepta.
Aquí está el cero donde intercepta.
Aquí ya no me alcanzó, ¿se fijan?
Pero aquí está menos pi donde intercepta.
Entonces lo que quiero con ustedes es representar esta expresión
seno de x igual a cero Aunque ustedes no lo crean
esta es una ecuación, verdad, es una ecuación.
No estamos acostumbrados a verla así, ¿no?
O sea, si yo me voy un poquito.
Voy a jalar para tener un espacio en mi libreta.
Si yo les digo, por decir, tres x igual
a cero y les digo despeja la x o sea, están resolviendo la ecuación, o sea,
estarían diciendo, x es igual a cero entre tres, y esto es igual a cero, ¿verdad?
Bueno, cuando nuestro,
el lenguaje matemático no lo tenemos suficientemente practicado, ¿no?
Y entendido, esa simbología es difícil de aceptar.
Y entonces aquí no se trata de hacer un despeje en este sentido.
Lo que los invito es a pensar visualmente.
Seno de x es igual a cero aquí y aquí aquí y aquí y más atrás y más adelante, ¿no?
¿Sí?
O sea, en todos los valores que tienen un cierto patrón, ¿no?
Expresión.
Cero, pi dos pi, tres pi.
O sea, en matemáticas decimos x igual a n pi, ¿no?
N pi. Y ya con n pi quiero decir donde n puede
ser cero, uno, dos, tres, cuatro, menos uno, menos dos,
todo eso tendríamos que decirlo aquí escribiendo con n un número entero, ¿no?
Si se recuerdan que cómo hemos representado los enteros n es un número
entero.
Entonces aquí estoy diciendo que la solución de esta ecuación es esta, ¿no?
Nada que ver con un despeje.
Nada que ver.
Y al mismo tiempo es una ecuación,
primera ecuación que estamos viendo que tiene una infinidad de soluciones.
Otra vez el infinito aparece, ¿no?
inevitablemente en las matemáticas.
¿Okey?
Este sería, digamos, la solución de esta ecuación para seno de x igual a cero.
Para el coseno de x realmente, como les insistía o les decía yo,
el coseno no es más que el seno movidito, ¿no?
Ahorita lo vamos a ver con mayor detalle eso, pero en el caso ahorita, ¿no?
de que la tengo ya dibujada pues les voy a proponer que resolvamos
la ecuación coseno de x igual a cero,
que nuevamente, no es nada de que paso el cos dividiendo, nada que ver.
Y lo que tendríamos que hacer ahorita es simplemente razonar visualmente o sea,
¿dónde es el coseno de x igual a cero?
Si aquí estoy haciendo la función y igual a coseno de x, entonces
que el coseno sea cero quiere decir que me fije dónde el gráfico corta el eje, ¿no?
Aquí y aquí y aquí y aquí.
Y, si se fijan ustedes en los valores, este que tengo aquí es pi en dos,
este que tengo aquí es tres pi en dos,
el que seguiría sería cinco pi en dos,
se alcanza a ver ya, como que en el acetato no quieren escribir muy bien.
El que estaría atrás, ¿sería qué?
Menos pi en dos y otro acá, más atrás, menos tres pi en dos, o sea, en dos.
O sea ya me estoy yendo para acá, este es el que está aquí.
¿De acuerdo?
Todos estos se escriben de una manera compacta en matemáticas.
Yo quiero que ustedes noten, porque esto es cultura matemática.
Quiero que ustedes noten que aquí está el número pi,
pero hay un uno que no se escribe.
Aquí está el número uno, aquí está el tres, aquí está el cinco, aquí
está el menos uno, el menos tres, menos cinco, menos siete, menos nueve, menos 11.
O sea, son los números impares.
En matemáticas los números impares se representan
con la expresión dos n más uno o menos uno, ¿no?
Porque si un número lo multiplico por dos,
lo hago par y si a eso le sumo un uno ya lo hice impar.
Entonces aquí están todos los impares, por ejemplo, aquí está el uno, que está aquí
cuando la n vale cero, para que salga este número tres necesitaría que la n valga
uno para que salga este cinco necesitaría que la n valga dos y así nos vamos.
Entonces puedo escribir los impares, poner pi y luego poner dos n más uno.
Todo esto entre dos, ¿no?
Y estoy haciendo la representación de todos los que andan aquí arriba,
todos los posibles habidos y por haber, dónde la n, esta es la solución, ¿no?
Dónde la n está en los enteros, ¿no?
Y en todos los enteros, variando esta n,
me va a dar todos los valores donde el coseno de x es igual a cero.
¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación que está aquí?
Infinidad de soluciones.
¿no? Todas ellas interpretables como los puntos
donde este gráfico corta el eje x.
Por cierto estos gráficos se nota que no son polinomiales ni exponenciales.
¿Se fijan?
Una, una nueva, este, cuestión que aparece en este tipo de gráficos es lo acotado.
Vean ustedes, si hago yo a mis manos así, puedo atrapar en esta franja al gráfico
completamente y son gráficos que se prolongan indefinidamente matemática
se dice que son funciones acotadas porque no salen de una franja y bueno,
en este caso son periódicas porque ya sabemos que en este caso lo que sigue aquí
es lo mismo y lo mismo y lo mismo, os ea como que son medio aburridas,
verdad siempre lo mismo para seno y coseno.
Bueno, pues con esto ya hicimos un poquito de álgebra, ¿no?,
con esa expresión sen x y cos x, también el álgebra se va a ver reflejada
cuando veamos como se derivan, inevitablemente cuando las derivadas de
las funciones seno y coseno aparecen, pues otra vez se aprenden como reglas, ¿no?,
que la derivada del seno es el coseno, que la derivada del coseno es el menos seno,
pues sí eso lo vimos desde el principio con nuestro, con nuestra situación del
resorte, tenía que ser así porque así son construidas estas funciones.
Cuando empezamos a involucrar otras letras dentro de las,
o parámetros dentro de la expresión del seno y coseno pues tendremos
que aprender a ver como derivarlos, ¿no?
Yo los invito a que veamos, ¿no?, ahorita va a ser estático, ¿no?
Miren, vamos a lograr ver esto,
ya ahorita ustedes lo podrán ver así y dirán caray qué es todo eso, ¿no?
Si yo se los presento de esta manera estoy segura de que no lo van a entender
pero si usamos un graficador vamos a tratar de entender qué es lo que hice,
cómo es que hice yo este juego, ¿no?, esta lluvia de funciones senoidales.
Volvemos con esta expresión porque esta expresión es la que vamos también
a aprender a derivar y a antiderivar, pero antes de ello me gustaría que entendieran
por qué les estoy dando esta expresión, por qué meter estos parámetros, ¿no?
las letras a, b, c y d son parámetros en la expresión.
Entonces en este momento vamos a regresar acá a la computadora y aquí tengo
varios archivos, voy a tomar este primero, sí.
El de la computadora estamos listos para presentar, con este software,
el cual les he estado poniendo pues una versión para poderlos
ver los gráficos, les estoy presentando en color azul a la función seno,
se fijan, aquí está la función seno, este graficador me deja mover
fácilmente de esta manera y la función moradita va a ser a por seno de x,
o sea estoy metiendo un número, la ventaja del graficador es que ese número fíjense,
ese número y les digo a, así pasa en matemáticas, ese número a es un parámetro,
okey, es un parámetro que va a tomar distintos valores, lo voy a picar aquí,
aquí le estoy diciendo que a ese parámetro le voy a dar un valor menor de cero,
un valor mayor de 10 y voy a pedir que haga 100 pasos, ¿no?,
en la animación que les voy a presentar.
La ventaja de este graficador es que me produce esto, ¿no?
Inmediatamente tengo ahí una versión de su graficación de todos los valores,
¿no?, de a desde cero hasta 10, ¿se acuerdan?
Vean ustedes lo que está pasando, uno cuando ya ve eso ya puede decir
inmediatamente bueno pues está como que te están jalando,
¿no?, como que realmente hay puntos que se quedan anclados, yo me imagino
anclados como estos donde eso no se mueve, ¿no?, pero se jala esta parte de aquí,
se jala esta parte de acá y no nada más se jala, parece que sí se jala hacia arriba,
o sea todos están jalados hacia arriba pero no nada más,
aquí lo veo, se fijaron, hay una zona en donde baja, ya lo vi bien,
vamos a hacer que nuestro cerebro, o sea nos ayude a entender mejor las cosas.
Vamos a ponerle aquí, me voy a parar porque le estoy pidiendo
demasiado yo creo, a ver, vamos a decirle que nada más tome los valores,
que el menor de los valores sea un uno, s+i y que llegue hasta 10,
okey, y entonces lo ponemos a accionar.
Y vamos a ver la ventana, lo voy a hacer un poco más chiquito,
esto también es una ventaja de este graficador.
Vean ahorita donde está el dos, y ahí va a llegar hasta dónde va a llegar,
uy hasta el 10, verdad, y después se regresa y miren como se pega al original y
se devuelve al levantar, ¿de acuerdo?
La cosa que yo había observado ahorita con ustedes es esto,
miren, si ahorita le digo vete con el valor menor de cero y no más llega al uno,
entonces el graficador vamos a ver lo que va a hacer, ven la diferencia,
ahora me convendría hacérselos un poquito más grande,
¿no?, para que ustedes vean como el morado, ¿no?, se ve afectado, como que
se apachurra ahora, ¿no?, se acerca al eje los puntos estos que les digo
que son los valores donde x de cero es igual a cero, esos se mantienen igualitos,
pero se está modificando la altura del máximo, ¿no?, y la altura del mínimo.
Esto lo vamos a conocer como la amplitud, okey, qué tan amplio, ¿no?,
qué tan amplio sube el máximo, qué tan amplio baja el mínimo,
okey, y en general entonces con los valores
del parámetro entre cero y, vamos a ponerle aquí un ocho,
para que no se nos salga tanto de la pantalla, ya vamos a poder ver una
animación en donde se observa lo que estábamos diciendo hace ratito, ¿no?
O sea va crece, pero después, vean ustedes aquí el cursor lo voy a detener,
la ventaja también es que puedo hacer esto,
hacer el graph a mi voluntad y entonces poder estar
comparando los números que están aquí, ahí dice un 2.56 se fijan,
o sea que lo que estoy viendo aquí en la gráfica es 2.56 seno de x, okey.
Si le muevo aquí tantito y le pongo 4.4 estoy viendo la gráfica de 4.4 seno de x,
o sea veo acá abajo, me voy acá arriba al gráfico y observo también la gráfica acá.
Eso se llama la amplitud, el parámetro a que
está multiplicando a la expresión c, provoca un cambio en la amplitud.
Si es más grande que uno ese valor a, la amplitud es mayor y si no es menor, okey.
Vámonos a otro de los archivos que tengo aquí, de la a sigue la b,
y entonces con la b les voy a poner ahora una animación en donde en color
azul tengo la función seno y en un color verde tengo la función seno de b por x,
o sea estoy multiplicando la x por un número b, ven, un número b.
Entonces vamos a ver ahorita la animación completa y allí están viendo lo que pasa,
parece que es un resorte, ¿no?
Bueno pues, igual se fijan, o sea todas estas situaciones nos dan la oportunidad,
¿no?, de analizar esos comportamientos, ¿no?, repetitivos.
Da la impresión que es el resorte que estoy jalando y contrayendo, ¿no?
Por eso a veces me gusta llamar a este tipo de efectos de la b,
multiplicada ahí como contracción de expansión, porque fíjense que sí hay veces
en que está como que contraído, ahí está contraído, okey, lo apachurramos.
Pero qué tal si le ponemos por acá van, se está ampliando y ampliando,
ahí estuvo como que más, ¿no?, o sea se jaló, de como era original se jaló,
o sea realmente ahorita lo que está pasando es que tenemos efectos en
el período o en lo largo, ¿no?, de la función que se repite y se repite.
También tiene que ver con lo que se llama la frecuencia,
por ejemplo vamos a suponer déjenme ver si pesco uno,
vamos a ponerle aquí en un número cuatro,
no más que luego no me deja verlo, o ponemos un número dos,
es más fácil el dos, ahí vamos al dos, 2.9,
2.4, 2.3,
me tengo que concentrar, ahí está el dos.
Vean lo logré, ahora vean ustedes qué pasó aquí.
La función seno original estaba aquí, se acuerdan, en esa zona
en donde les digo yo que la vean, nada más desde cero hasta dos pi, okey.
Cuando considero el gráfico seno de dos x, ¿qué pasó?
Una, dos veces quedó el ciclo completo metido dentro
del ciclo original, o sea eso me está diciendo que aumentó la frecuencia,
okey, pero al mismo tiempo se puede hablar de que disminuyó el período,
o sea el período se refiere a lo que se necesita aquí de largo, vean donde va la
manita, lo que se necesita aquí de largo para que el gráfico del seno haga lo que
tiene que hacer, ¿qué tiene que hacer?, subir y bajar, bajar, subir, sí.
O sea para que esté el ciclo completo necesita menos tiempo,
okey el período se asocia con tiempo, disminuyó.
Pero la frecuencia aumentó porque la frecuencia quiere decir
cuántas veces cabe este gráfico en el original, ahora cupo dos veces.
Si fuera ahorita afortunada y le atinara yo al cuatro, parece que sí lo fui,
ahorita entonces tendríamos que ver que, cuántos hay,
fíjense uno, va uno, van dos, van tres y van cuatro.
Cuatro veces el ciclo completaron el ciclo original, okey,
cuatro ciclos del verde hace un ciclo del azul.
Eso me está diciendo que el período disminuyó una cuarta
parte pero al mismo tiempo la frecuencia aumentó en cuatro, ¿no?
realmente esta afectación de los gráficos está haciendo, ¿no?,
que los movimientos, imagínese ahorita con los resortes azul,
comparado con el resorte verde, el azul estaría haciendo esto, ¿no?
Y el verde estaría haciéndolo rápido, ¿okey, se fijan?
Esa es la manera de comparar entre ellos.
Vámonos con otro de los simbolizaciones ahorita muy visuales, seno de x más c.
Aquí es en donde yo les voy a mostrar lo que les
comentaba de que coseno no es más que un seno pero movidito, ¿sí?
Ahorita ven ustedes el gráfico de seno de x más c,
y van a ver ustedes que si la animamos, vean ustedes lo que está pasando.
¿Qué impresión les da?
A mi me dio la impresión de que primero se fue hacia la izquierda,
y ahora como que va a la derecha y luego va a la izquierda, ¿no, cierto?
Bueno igual aquí habría que precisar las cosas,
que es una traslación horizontal, sin duda.
Pero si ahorita movemos el parámetro, si el parámetro c lo dejamos desde
menos 10 hasta 10, pues sí pero vamos a ponerle un cero aquí,
puros valores positivos de la letra c, del parámetro c.
¿Y qué está pasando entonces con el gráfico?
A medida que los valores de c aumentan, vamos a ver, ahí estaríamos viendo ese
recorrido, fíjense, voy a tener que hacerlo con el drag,
porque tengo que empezar en el cero, tengo que tener un orden en mi cabeza.
Entonces ahorita que la c vale cero, seno de x más cero pues es seno de x,
o sea es lo mismo que tengo acá arriba, es el mismo seno de x en azul.
Se ve así como negrito, ¿por qué?
Porque están amontonados los gráficos, entonces si ahorita empiezo a mover
valores positivos, el gráfico se está yendo hacia la izquierda.
Entonces la traslación esa es hacia la izquierda y en ese movimiento
hacia la izquierda, perdón, puedo llegar a construir el seno, ¿se fijan?
Ahí lo construí, ahorita estoy viendo la misma imagen que tenía antes,
con el coseno, perdón con el coseno ¿sí?, en el azul claro, okey.
Ahora si en el parámetro este le decimos que nos tome puros valores negativos,
vamos a ponerle menos 10 y le decimos que se vaya hasta el cero,
entonces vamos a empezar aquí en el cero, vamos a ponerle al cero,
okey, vamos a ponernos en el cero, allí está el cero, ¿no?
Y entonces a medida que estamos nosotros considerando los valores
negativos vean que el gráfico se está moviendo hacia la derecha, okey.
Entonces cuando aquí se le está sumando un número negativo hay una traslación hacia
la derecha, ahí también puedo provocar que nos quede el seno vean ahí viene,
ahí viene, ahí viene, ahí viene, cuando hago que su máximo, no me dejó,
cuando hago que su máximo quede en el uno, ahí estaría,
ahí este gráfico azul celeste ya es el coseno o sea realmente el coseno es un
seno porque movidito, ¿no?, trasladado horizontalmente.
La animación completa entonces en este graficador seria otra vez
traslaciones horizontales pero que pueden ser hacia la derecha o la izquierda
dependiendo del signo de la c.
Y por último en el graficador quería enseñarles yo el último de ellos,
que sería este de aquí, nada más déjenme apuntar la función coseno
y les voy a mostrar la función seno,
perdón esta no, la función seno de x más d, está en un color moradito
vamos a ponerle gris para que sea igual, algo nos está diciendo ahí el graficador.
Si yo les pongo animación no voy a ver nada, no veo nada pero ahí viene, ¿no?
Ahí se vio pasar esa curva, no se si lo alcanzaron a ver, ahí sube ¿cierto?
O sea estamos haciendo que ese parámetro d tome valores desde menos 10 hasta 10,
vamos a ponerle desde menos cinco hasta cinco y entonces ya veríamos
una animación más completa, ¿no?
Está pasando, el gráfico es una copia del gráfico azul pero que está movido,
hacia arriba o hacia abajo, es una traslación vertical.
Y esa traslación vertical en el caso de que sea una d negativa como lo
estoy viendo aquí en el cursor, haría que el gráfico se baje y cuando
el caso sea una d positiva, haría que el gráfico se suba, ¿no?
Entonces con eso tendríamos esta animación, ¿no?,
de estas traslaciones verticales hacia arriba y hacia abajo que complementan
entonces ahora todo el panorama que habíamos nosotros visto, ¿no?
Vamos a nosotros ahora a recordar cada uno de estos movimientos,
pero vamos a recordarlos en el papel, cosa que no es tan, tan, fácil, ¿no?
Entonces si nos regresamos al papel,
lo que tendríamos que concluir es en qué afecta esta letra a, sí,
el color que estaríamos usando para esa a, pues tendría que
ser si yo veo estos gráficos, tendría que ser el color morado, ¿no?
Esta letra a lo que produjo es un cambio en la amplitud,
la amplitud es esta longitud que está aquí, okey.
Después de eso, es más le podemos poner aquí la letra a,
podríamos tener la multiplicación de b por la x, ¿qué hace esa b?
Si observamos ahorita en los gráficos, esa letra b no está presente,
se me hace que no, no está en esta figura presente.
Ahí se me pasó pero tendríamos que poner algo con un color como qué,
vamos a poner naranja y para ese gráfico, vean ustedes aquí está el gráfico de seno,
okey, podríamos hacer el caso del gráfico en donde se duplicó,
entonces tendríamos aquí cuatro lugarcitos en donde haríamos la función,
subiría, subiría, bajaría, bajaría, subiría,
subiría, bajaría, bajaría y subiría.
O sea hicimos el caso en el que el parámetro b,
ahorita lo que hice fue ponerle qué, un dos, ¿no?
Entonces en ese caso tendríamos que esta, se hacen dos ciclos, ¿no?
con respecto al gráfico azul original.
¿Qué hace la letra c?
La letra c si la veo aquí se me hace que es la que está con un tono clarito, sí,
es esta, sería el gráfico que tenemos por aquí, el celeste clarito y
lo que está haciendo esa letra c es afectando qué, ¿se acuerdan?
Lo que estaría afectando es la,
la traslación horizontal, ¿no?, se ve que el azul
fuerte lo que hice fue jalarlo un poquito a la izquierda y se hizo azul clarito.
Y por último el d, el d sería este cafecito, ¿no?,
este cafecito que lo que hizo fue subir, ¿no?, subir todo el gráfico azul,
lo subió, ¿no?, todo, todo lo subió, ¿no?, provocando una traslación vertical, ¿sí?
Con esto ya tenemos nosotros estudiado este tipo de expresión algebraica,
se ve muy algebraica de la función seno, lo único que nos falta es acabar este
video diciendo donde contigo, perdón, cómo se deriva,
cómo se antideriva y eso bueno, pues necesariamente es muy algebraico.
Vamos a hacer dos hojitas nada más escribiendo esas derivadas y
después habrá ocasión de practicar con esa derivación.
Vamos a poner en nuestro centro a la función esta, ¿no?,
pues esta que tenemos ahí quedaría bien para ver si la podemos poner así nada más,
y igual a a por el seno de b por
x más c más d, okey.
Y la vamos a derivar, aquí derivo,
y qué nos va a quedar, nos va a quedar y prima de x es igual,
el número a que es el parámetro como nos pasó en la exponencial se vuelve a quedar,
este número b que está multiplicando a la x como nos paso en la exponencial va
a aparecer aquí y habrá quienes de ustedes que estén pensando está aplicando la regla
de la cadena, es cierto, y después de eso va a aparecer la derivada de seno,
la derivada de seno es coseno tendríamos aquí el mismo ángulo,
y la derivada de esta constante pues es un cero.
Entonces la derivada de a seno de
b por x más c más d es a por b coseno de b por x más c.
Se conserva el ángulo, en lugar de sen se pone cos,
y a la letra a que tenía se le agrega una letra b, okey.
Vamos ahora a hacer la antiderivada, entonces nos vamos para arriba,
antiderivo y entonces ahora ponemos una y mayúscula para
la antiderivada y recuerden ustedes que lo que tenemos que poner aquí es aquella
función cuya derivada sea esta, entonces si quiero que la derivada sea un seno,
tengo que proponer un coseno, porque la derivada del coseno es menos seno,
es más como es menos seno entonces mejor le pongo un
signo de menos acá y ya está la letra a.
Al derivar menos a coseno se daría menos a por a por menos seno,
o sea nos quedaría a por seno, ¿de acuerdo?
Entonces ya vamos bien avanzados.
El ángulo quedaría igual.
Pero cuando derivemos esto,
y se nos va a quedar menos a por menos seno de b por
x más c por la multiplicación por la b como quedaba acá abajo.
Eso nos hace pensar que en lugar de que esta letra b se haya
puesto multiplicando aquí en la derivada,
en el momento de antiderivarla la vamos a tener que poner dividiendo, ¿no?,
y así menos a entre b por coseno de b por x más c, al derivar,
al derivarla me quedaría menos a entre b menos seno de b por x más c por b, y esa b
con esta b que está aquí se van a cancelar y nos va a quedar a por seno de b x más c.
¿Qué me faltó?
Antiderivar esta letrita d y esa letrita d como es una constante
tendremos que poner un d x y le agregamos pues la constante, siempre,
¿no?, que podríamos agregar cuando estamos antiderivando.
Este es el panorama para derivar a la función seno, ¿no?
Y este panorama me está, digo perdón,
relacionando la derivada y la antiderivada.
Podríamos hacer una hojita igual que esta, ¿no?,
con la función coseno, las diferencias ahí es un signo que, bueno hay que
tener mucha precaución con él pero yo creo que ya fue bastante de simbología.
Vean como esta simbología está llena de, colores,
sí pero también de fórmulas y de muchos, muchos gráficos.
Yo los invito para que usen los graficadores y que puedan recrear lo que
he estado hablando en este video y puedan por tanto, reforzar el aprendizaje.
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