Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Aplicación: Suma infinita de cantidades infinitamente pequeñas
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Derivada - Diferencial / Antiderivada - Integral
En este Módulo retomaremos los conceptos fundamentales del Cálculo desde una perspectiva teórica. Haremos énfasis en los diferentes acercamientos para su establecimiento como teoría científica, uno Newtoniano y uno Leibniziano. Hablaremos de las ventajas de los mismos para el tratamiento de la problemática de predicción que hemos establecido en este curso.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Estamos ahora
entonces en nuestro tema de aplicación y bueno siempre nos acompañan
imágenes en esta ocasión, tan coloridas como la que tenemos ahí
y realmente esa imagen es de un fractal y bueno ojalá y que bueno fueramos
a hablar de fractales pero ahorita no es la ocasión.
Después aparece esta verduras, brócoli, ¿no?
que está girando y vamos a ver otras imágenes que
también les quiero evocar algo que sí tiene que ver con esto de los fractales,
la teoría de los fractales es algo muy moderno pero pareciera que fueran
cosas que no tienen nada que ver con la naturaleza y la verdad es que tienen mucho
que ver con la naturaleza, es otra digamos concepción, ¿no?,
de los científicos cuando realmente se avocan a estudiar,
de un a manera científica, ¿no?, lo que ocurre a nuestro alrededor.
Entonces, a ver esa propiedad que tienen los fractales de ser auto
similares es una idea muy sencilla que quisiera recuperar sobre el papel.
También quiero recuperar que esa idea la transforma Mandelbroth,
¿no?, en una idea muy importante cuando observa cosas naturales como lo que pasa
con el brócoli y cuando observa también lo que pasa en la naturaleza, en los pinos,
o en esa hojita que estábamos, ¿no?, ese acercamiento que estábamos viendo ahorita,
si yo veo los pinos de lejos y luego me acerco a sus ramas,
en las ramas también estoy viendo a los pinos, o sea es como una auto similitud,
sí y esa auto similitud les digo voy a intentar en unos minutos
ponerla sobre la mesa ante ustedes y para pasar, no a una aplicación de
esto porque realmente esto tiene que ver con funciones que no son diferenciables
en ningún lugar y nosotros estamos hablando de cálculo diferencial.
Pero bueno, la idea es poder acercarnos a esto lo más pronto posible,
entonces si venimos aquí en el papel, hay una idea de un conjunto,
un conjunto que se llama de Cantor que estaba estudiando Cantur
cuando estaba tratando de ver esto de la fundamentación, ¿no?, del cálculo,
entonces la idea es muy simple en el conjunto de Cantor, fíjense ustedes que
ahorita tengo un segmento en esa longitud, que tengo ahorita ahí, ¿cuántos cuadritos?
Son uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, vamos a poner nueve
cuadritos, y que de esos nueve cuadritos voy a quitar tres pero voy a quitar los
tres del medio, entonces me voy a quedar aquí con este y con este,
me queda un conjunto menor, ¿no?, de números representados ahí.
Después voy a hacer lo mismo aquí,
o sea tengo tres cuadritos pero me quedo con los dos que están en los extremos,
y después voy a volver a hacer lo mismo, ¿por qué no?, osea me quedo aquí ya
con unos dos más chiquititos de ellos, total si yo le sigo aquí,
verdad, nunca voy a acabar, es un proceso infinito otra vez, ¿se fijan?
Pero este proceso infinito inagotable, ¿no?,
me define un conjunto que se llama el conjunto de Cantor,
este conjunto de Cantor, o sea es un conjunto que se llama de medida cero,
esto quiere decir van a decir ustedes es que no queda nada si le sigue, verdad,
pero no es nada desde el punto de vista matemática, sí es un conjunto, es más es
un conjunto que no es enumerable, o sea es más que los números naturales.
Eso es increíble pero realmente son procesos matemáticos,
¿no?, que están dando lugar a ello.
Bueno, de la misma manera acá si yo tuviera un segmento de recta nada más,
lo podría partir en tres partes iguales, o sea esto es lo más natural,
esto es lo que estamos acostumbrados, no estamos acostumbrados a esto.
Hubo un momento en que estudiando la diferencia otra vez, hay una curva
que se llama la curva de Kosh que es otro matemático en donde se hace algo así,
miren supongamos que tenemos otra vez los nueve cuadritos,
y en estos nueve cuadritos voy a hacer una partición
de tal manera que ponga aquí dos segmentos iguales, ¿no?
Y lo que hice fue entonces producir cuatro segmentitos aquí y en cada uno
de ellos voy a hacer lo mismo, o sea voy a poner aquí así y luego el piquito y luego
así y en esta parte también piquito y luego así, luego así piquito así,
no me salió tan bonito pero bueno, así y piquito y así, total,
hice lo mismo que hice aquí, pero en cada uno de los segmentos que tengo acá,
o sea reproduje cuatro veces lo que tenía acá.
Aquí se reproducen dos veces, o sea si ustedes pueden ver en estas dos columnas,
se reproducen dos veces el conjunto de Cantor, ¿no?, desde que se hizo acá,
aquí se reproduce tres veces y aquí se reproduce una, dos, tres, cuatro veces.
Nada me impide que en este cachito voy a hacer ahora un triangulito más
chiquito y así me voy, ¿no?
Claro que esto con mi espesor de marcador, bueno pues ya no se nota muy bien,
esto se hace muy padre con la tecnología, pero la idea es sencilla, ¿se fijan?
O sea algo que cabe en sí mismo cuatro veces, una, dos,
tres, cuatro, aquí tres veces y aquí dos veces, ¿no?
Esto da lugar a otras dimensiones, ¿no?,
esta curva de Kosh es una curva que en principio estaban buscando esto de
la no diferenciabilidad, se fijan esto si yo le sigo a la larga está lleno de picos,
o sea no es diferenciable, es una curva que tiene una longitud infinita y
aún y cuando está atrapada en un área finita.
Esto da lugar a otro tipo de dimensiones, ¿no?,
entonces ya la dimensión no nada más sería dimensión uno, dos o tres,
o sea esta sería una dimensión dos en el plano, la dimensión tres es en el espacio,
sino que habría objetos que están en dimensiones fraccionarias y esto da lugar
digamos a todo esto de la teoría de fractales,
la auto similitud de esto y de esto y de esto
es lo que inspira a iii las los pinos, a ver, el brócoli,
decir pero pues si es que la auto similitud está en la naturaleza,
está en la corteza cerebral, está en las arterias,
esta auto similitud aquí también es algo que se está estudiando mucho para los
contornos en los continentes porque pues medir el contorno de un continente
también no es algo que ya se pueda hacer con un cálculo diferencial,
tiene que ser cada vez que me acerco veo más picos, ¿no?,
se fijan es una idea sencilla que nos lleva a toda una teoría matemática, ¿no?
Pero igual como les decía anteriormente estos son los casos más
interesantes ahorita, ojalá y haya después oportunidad de hablar de ellos,
sin embargo esto tiene que ver con un cálculo que ya no es el diferencial, o sea
ya no son esas funciones diferenciales bonitas, ¿no?, que estamos acostumbrados.
Entonces para cerrar el asunto aquí yo quisiera pasar a una aplicación que no va
a ser de estas, aunque ya les he hablado de estas aplicaciones, y que tiene que
ver con la manera tradicional en que nos han mostrado a la integral.
La integral,
es muy posible que ustedes digan ay sí ya va a hablar de áreas bajo curvas, porque
la integral incluso a veces la definen como el área debajo de una curva, ¿no?
Y bueno pues hablando de nuestra integral, acuérdense ustedes que
hemos dicho que cualquier magnitud que depende de x yo puedo ver
a la magnitud y formada de sus cachitos infinitamente pequeños, ¿no?
como quiera sigue siendo interesante, aquí tenemos al infinito también presente, ¿no?
y la magnitud de x también llena de cachitos infinitamente pequeños, ¿no?
Hablar de el cociente de estos diferenciales es hablar de
la derivada y entonces los cachitos infinitamente pequeños de una
magnitud son iguales al producto de y prima,
su derivada por el diferencial de la variable de la que depende, ¿no?
Esto nos hizo a nosotros proponerles a ustedes que la integración
sea una suma infinita de cantidades infinitamente pequeñas y entonces
pongo el símbolo de integral, para recuperar a la magnitud con
la suma infinita de sus cantidades infinitamente pequeñas,
y esto nos va a dar entonces la integral de y prima de x de x,
y de esta manera entonces recupero la magnitud con su
derivada y con su integración, o sea con los dos procesos inversos que no es más
que nuestro teorema fundamental de cálculo que nos ha acompañado en todo este curso.
Entonces los invito a que veamos a la aplicación esta de integración en
el área debajo de una curva apoyándonos con un
software aquí que nos va a permitir mostrarles las cosas, sí.
Entonces viendo ahorita el software, en este software lo que puedo hacer es
con esto, les voy a ocultar las cosas, se fijan, voy a pensar en una curva muy
bonita, que tan bonita que cuando pienso en el área tendría que estar pensando
en algo que se comporta también bonito, sí, o sea ¿qué quiere decir bonito?
O sea miren, es como que les estoy descubriendo ahorita,
o sea el área debajo de la curva es algo que se está acumulando ahí a medida que yo
estoy moviendo el cursor, ¿sí lo ven?
O sea estoy acumulando el área a medida que me muevo, esa área entonces es una
magnitud que está dentro de este dibujo, que es lo que se está acumulando acá.
¿De acuerdo?
Y entonces ese es el valor que yo quisiera ahorita capturar Cómo encuentro entonces
el área debajo de esta curva, a partir del cero, digamos a partir del cero.
Eso se haría si nos apoyamos en lo nuestro calculando
la integral de la derivada del área, ¿cierto?
Yo se que les han mostrado que la integral es el
valor del área debajo de esa curva f de x, ¿no?
Sin embargo desde nuestra perspectiva para calcular el área tendría que
integrar la derivada del área.
Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer nosotros aquí?
Lo que vamos a hacer es calcular la derivada del área y encontrar que esa
derivada es justamente la función f de x, ¿no?
Y entonces para eso me gustaría que volviéramos aquí al papel para que
vieran ustedes el cálculo que vamos a hacer.
Entonces dentro de este papel, recuerden, ahorita lo que tengo aquí
abajo es esta concepción de lo que es la integral, ¿no?
La suma infinita de cantidades infinitamente pequeñas y si quiero
encontrar el área entonces necesito integrar la derivada del área, ¿no?
Entonces lo que necesitamos nosotros es calcular la derivada del área.
Aquí está un dibujo de lo que teníamos en la pantalla, ¿no?
Si yo uso ahora en lugar de aquella cortina uso el marcador.
Piensen en que estamos en un valor, ay caray estaba vivo el marcador,
en un valor de x aquí y este valor de x me está dando el área, esta que está aquí.
O sea pensaría ahorita que para este valor de x el valor A de x, esa A parece
un triángulo, A de x vendría siendo pues todo esto sombreado de aquí, ¿no?
O sea no quería meterle color pero, sería todo esto de aquí, ¿cierto?
Ahora el valor de la área cuando ya pasó un
delta x, estaríamos en este otro x más delta
x sería cuando calculamos el área pero hasta acá.
O sea A de x mas delta x sería hasta acá, ¿no?
O sea si metiera otro colorcito acá para que no se nos confunda sería
como haber pensado en el área hasta acá, ¿okey?
Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer nosotros?
Vamos a calcular ahorita la derivada del área y la derivada del área
¿a qué es igual?
Según ya lo sabemos esa derivada del área tiene que ser, ¿qué?
El límite cuando delta x tiende a cero del área en x
más delta x menos el área en x sobre delta x, ¿no?
Estoy poniendo lo que viene siendo el incremento
del área aquí este es el delta de área, ¿no?
Entre el delta de x, ¿okey?
Si logramos, si logramos, fíjense, encontrar que la derivada
del área es justamente la función y igual a f
de x que se estaría calculando aquí debajo de ella el área pues entonces lo que vamos
a encontrar es que la aplicación esta que nos han dicho de integra desde
hasta b f de x de x es justamente la manera de encontrar el área, ¿okey?
Entonces vamos a encontrar esa derivada.
Para eso usamos esta hojita acá y entonces lo que tendríamos es esta
expresión de aquí la vamos a calcular, ¿no?
O sea, vamos a calcular este límite del área de x más delta x menos el
área de x entre delta x.
Los invito a que veamos gráficamente este cambio del área.
Cuando vimos aquí el dibujo el área hasta x más delta x
cubriría hasta acá y el área hasta x cubría hasta acá.
Entonces si hacemos esta resta que está aquí lo que estaríamos
considerando es el área que estoy repintándoles ahora con rojo.
Y esa área que les estoy repintando con rojo la podríamos
expresar de otra manera aunque aquí está con esa resta, ¿no?
Porque si ustedes no se si lo logran ver, yo veo aquí, vamos a meter otro color,
veo aquí que tenemos algo que se levanta es como un rectángulo
pero tendría que cortarle aquí para que sea un rectángulo y
después tendríamos acá una especie de triángulo, ¿no?
Este triángulo pensando aquí ya en ese comportamiento recto que podemos,
este, suponer por la curva que tenemos.
Entonces esta, esta diferencia de las áreas
lo podríamos aproximar con el área de este triángulo y de este rectángulo.
Entonces vámonos aquí abajo y entonces por el área del triángulo y rectángulo
tendríamos que A prima de x es el límite cuando
delta x tiende a cero de esta diferencia de áreas.
Pero esa diferencia de áreas es el área que estamos aquí sombreando que sería el
área de un rectángulo que tiene altura, vamos a ponerle la altura aquí como
f de x o pudiera ser f de x más delta x, no importa, ¿no?
En este caso como va la función decreciendo aquí
sería f de x más delta x y luego vamos a multiplicar eso por delta x.
O sea este producto de aquí es el área de este rectángulo y el área del
triángulo que tengo acá arriba, ¿no?
Sería, ¿qué?
La mitad de la base que es un delta x por la altura que es el delta y, ¿no?
Es el cambio que hubo aquí en la y, ¿de acuerdo?
Y todo esto es el, la resta de acá se va a dividir entre delta x.
Si están de acuerdo conmigo aquí vamos a poder factorizar delta x de tal
manera que la expresión se va a simplificar al factorizar delta
x y cancelar con este de abajo.
Es como, vamos a ponerlo así, ¿no?
Es como este delta x y este se factorizan y se
cancela con este y entonces la expresión nos quedó más sencilla.
Porque va a quedar f de x más delta x más un medio del delta y.
Y ahora pensamos, ¿no?
Pensamos en este límite, ¿qué va a pasar si delta x tiende a cero?
Pues que este f de x más delta x nos va a quedar como f de x, ¿cierto?
Y este mitad de delta y, prácticamente el delta y cuando el delta x tiende a cero
se va también a cero y entonces la respuesta va a ser aquí f de x.
¿Qué hemos descubierto?
Hemos descubierto que la derivada del área es justamente la altura, ¿no?
La altura de la curva y igual a f de x.
Esta es la razón por la cual cuando a ustedes les han
mostrado antes la integral de una función,
les han asociado esto con el área bajo una curva.
¿Por qué?
Porque lo que están haciendo con esto es justamente
integrar la derivada del área, ¿sí?
Y por tanto calculando un,
una magnitud nueva que está dentro de este dibujo que es la función área.
Entonces con esto pues queda completo digamos ahora el panorama,
hemos empezado con derivadas integrales, ya arribamos a la integral,
ya hemos visto como la integral concuerda con nuestro tema de capturar el
valor de una magnitud que está cambiando.
¿Cuál era esa magnitud en este caso?
El área justamente el área debajo de una curva.
Es una de las aplicaciones clásicas del cálculo, para nosotros lo
es realmente una aplicación no es la definición de la integral, ¿no?
Es una aplicación de la integral.
Una de tantas, ¿no?
Que tiene aún y cuando lo que estamos integrando son funciones que,
bueno pues ahorita son bien portadas, ¿no?
Continuas e incluso hasta derivables.
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