Estamos ahora entonces en nuestro tema de aplicación y bueno siempre nos acompañan imágenes en esta ocasión, tan coloridas como la que tenemos ahí y realmente esa imagen es de un fractal y bueno ojalá y que bueno fueramos a hablar de fractales pero ahorita no es la ocasión. Después aparece esta verduras, brócoli, ¿no? que está girando y vamos a ver otras imágenes que también les quiero evocar algo que sí tiene que ver con esto de los fractales, la teoría de los fractales es algo muy moderno pero pareciera que fueran cosas que no tienen nada que ver con la naturaleza y la verdad es que tienen mucho que ver con la naturaleza, es otra digamos concepción, ¿no?, de los científicos cuando realmente se avocan a estudiar, de un a manera científica, ¿no?, lo que ocurre a nuestro alrededor. Entonces, a ver esa propiedad que tienen los fractales de ser auto similares es una idea muy sencilla que quisiera recuperar sobre el papel. También quiero recuperar que esa idea la transforma Mandelbroth, ¿no?, en una idea muy importante cuando observa cosas naturales como lo que pasa con el brócoli y cuando observa también lo que pasa en la naturaleza, en los pinos, o en esa hojita que estábamos, ¿no?, ese acercamiento que estábamos viendo ahorita, si yo veo los pinos de lejos y luego me acerco a sus ramas, en las ramas también estoy viendo a los pinos, o sea es como una auto similitud, sí y esa auto similitud les digo voy a intentar en unos minutos ponerla sobre la mesa ante ustedes y para pasar, no a una aplicación de esto porque realmente esto tiene que ver con funciones que no son diferenciables en ningún lugar y nosotros estamos hablando de cálculo diferencial. Pero bueno, la idea es poder acercarnos a esto lo más pronto posible, entonces si venimos aquí en el papel, hay una idea de un conjunto, un conjunto que se llama de Cantor que estaba estudiando Cantur cuando estaba tratando de ver esto de la fundamentación, ¿no?, del cálculo, entonces la idea es muy simple en el conjunto de Cantor, fíjense ustedes que ahorita tengo un segmento en esa longitud, que tengo ahorita ahí, ¿cuántos cuadritos? Son uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, vamos a poner nueve cuadritos, y que de esos nueve cuadritos voy a quitar tres pero voy a quitar los tres del medio, entonces me voy a quedar aquí con este y con este, me queda un conjunto menor, ¿no?, de números representados ahí. Después voy a hacer lo mismo aquí, o sea tengo tres cuadritos pero me quedo con los dos que están en los extremos, y después voy a volver a hacer lo mismo, ¿por qué no?, osea me quedo aquí ya con unos dos más chiquititos de ellos, total si yo le sigo aquí, verdad, nunca voy a acabar, es un proceso infinito otra vez, ¿se fijan? Pero este proceso infinito inagotable, ¿no?, me define un conjunto que se llama el conjunto de Cantor, este conjunto de Cantor, o sea es un conjunto que se llama de medida cero, esto quiere decir van a decir ustedes es que no queda nada si le sigue, verdad, pero no es nada desde el punto de vista matemática, sí es un conjunto, es más es un conjunto que no es enumerable, o sea es más que los números naturales. Eso es increíble pero realmente son procesos matemáticos, ¿no?, que están dando lugar a ello. Bueno, de la misma manera acá si yo tuviera un segmento de recta nada más, lo podría partir en tres partes iguales, o sea esto es lo más natural, esto es lo que estamos acostumbrados, no estamos acostumbrados a esto. Hubo un momento en que estudiando la diferencia otra vez, hay una curva que se llama la curva de Kosh que es otro matemático en donde se hace algo así, miren supongamos que tenemos otra vez los nueve cuadritos, y en estos nueve cuadritos voy a hacer una partición de tal manera que ponga aquí dos segmentos iguales, ¿no? Y lo que hice fue entonces producir cuatro segmentitos aquí y en cada uno de ellos voy a hacer lo mismo, o sea voy a poner aquí así y luego el piquito y luego así y en esta parte también piquito y luego así, luego así piquito así, no me salió tan bonito pero bueno, así y piquito y así, total, hice lo mismo que hice aquí, pero en cada uno de los segmentos que tengo acá, o sea reproduje cuatro veces lo que tenía acá. Aquí se reproducen dos veces, o sea si ustedes pueden ver en estas dos columnas, se reproducen dos veces el conjunto de Cantor, ¿no?, desde que se hizo acá, aquí se reproduce tres veces y aquí se reproduce una, dos, tres, cuatro veces. Nada me impide que en este cachito voy a hacer ahora un triangulito más chiquito y así me voy, ¿no? Claro que esto con mi espesor de marcador, bueno pues ya no se nota muy bien, esto se hace muy padre con la tecnología, pero la idea es sencilla, ¿se fijan? O sea algo que cabe en sí mismo cuatro veces, una, dos, tres, cuatro, aquí tres veces y aquí dos veces, ¿no? Esto da lugar a otras dimensiones, ¿no?, esta curva de Kosh es una curva que en principio estaban buscando esto de la no diferenciabilidad, se fijan esto si yo le sigo a la larga está lleno de picos, o sea no es diferenciable, es una curva que tiene una longitud infinita y aún y cuando está atrapada en un área finita. Esto da lugar a otro tipo de dimensiones, ¿no?, entonces ya la dimensión no nada más sería dimensión uno, dos o tres, o sea esta sería una dimensión dos en el plano, la dimensión tres es en el espacio, sino que habría objetos que están en dimensiones fraccionarias y esto da lugar digamos a todo esto de la teoría de fractales, la auto similitud de esto y de esto y de esto es lo que inspira a iii las los pinos, a ver, el brócoli, decir pero pues si es que la auto similitud está en la naturaleza, está en la corteza cerebral, está en las arterias, esta auto similitud aquí también es algo que se está estudiando mucho para los contornos en los continentes porque pues medir el contorno de un continente también no es algo que ya se pueda hacer con un cálculo diferencial, tiene que ser cada vez que me acerco veo más picos, ¿no?, se fijan es una idea sencilla que nos lleva a toda una teoría matemática, ¿no? Pero igual como les decía anteriormente estos son los casos más interesantes ahorita, ojalá y haya después oportunidad de hablar de ellos, sin embargo esto tiene que ver con un cálculo que ya no es el diferencial, o sea ya no son esas funciones diferenciales bonitas, ¿no?, que estamos acostumbrados. Entonces para cerrar el asunto aquí yo quisiera pasar a una aplicación que no va a ser de estas, aunque ya les he hablado de estas aplicaciones, y que tiene que ver con la manera tradicional en que nos han mostrado a la integral. La integral, es muy posible que ustedes digan ay sí ya va a hablar de áreas bajo curvas, porque la integral incluso a veces la definen como el área debajo de una curva, ¿no? Y bueno pues hablando de nuestra integral, acuérdense ustedes que hemos dicho que cualquier magnitud que depende de x yo puedo ver a la magnitud y formada de sus cachitos infinitamente pequeños, ¿no? como quiera sigue siendo interesante, aquí tenemos al infinito también presente, ¿no? y la magnitud de x también llena de cachitos infinitamente pequeños, ¿no? Hablar de el cociente de estos diferenciales es hablar de la derivada y entonces los cachitos infinitamente pequeños de una magnitud son iguales al producto de y prima, su derivada por el diferencial de la variable de la que depende, ¿no? Esto nos hizo a nosotros proponerles a ustedes que la integración sea una suma infinita de cantidades infinitamente pequeñas y entonces pongo el símbolo de integral, para recuperar a la magnitud con la suma infinita de sus cantidades infinitamente pequeñas, y esto nos va a dar entonces la integral de y prima de x de x, y de esta manera entonces recupero la magnitud con su derivada y con su integración, o sea con los dos procesos inversos que no es más que nuestro teorema fundamental de cálculo que nos ha acompañado en todo este curso. Entonces los invito a que veamos a la aplicación esta de integración en el área debajo de una curva apoyándonos con un software aquí que nos va a permitir mostrarles las cosas, sí. Entonces viendo ahorita el software, en este software lo que puedo hacer es con esto, les voy a ocultar las cosas, se fijan, voy a pensar en una curva muy bonita, que tan bonita que cuando pienso en el área tendría que estar pensando en algo que se comporta también bonito, sí, o sea ¿qué quiere decir bonito? O sea miren, es como que les estoy descubriendo ahorita, o sea el área debajo de la curva es algo que se está acumulando ahí a medida que yo estoy moviendo el cursor, ¿sí lo ven? O sea estoy acumulando el área a medida que me muevo, esa área entonces es una magnitud que está dentro de este dibujo, que es lo que se está acumulando acá. ¿De acuerdo? Y entonces ese es el valor que yo quisiera ahorita capturar Cómo encuentro entonces el área debajo de esta curva, a partir del cero, digamos a partir del cero. Eso se haría si nos apoyamos en lo nuestro calculando la integral de la derivada del área, ¿cierto? Yo se que les han mostrado que la integral es el valor del área debajo de esa curva f de x, ¿no? Sin embargo desde nuestra perspectiva para calcular el área tendría que integrar la derivada del área. Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer nosotros aquí? Lo que vamos a hacer es calcular la derivada del área y encontrar que esa derivada es justamente la función f de x, ¿no? Y entonces para eso me gustaría que volviéramos aquí al papel para que vieran ustedes el cálculo que vamos a hacer. Entonces dentro de este papel, recuerden, ahorita lo que tengo aquí abajo es esta concepción de lo que es la integral, ¿no? La suma infinita de cantidades infinitamente pequeñas y si quiero encontrar el área entonces necesito integrar la derivada del área, ¿no? Entonces lo que necesitamos nosotros es calcular la derivada del área. Aquí está un dibujo de lo que teníamos en la pantalla, ¿no? Si yo uso ahora en lugar de aquella cortina uso el marcador. Piensen en que estamos en un valor, ay caray estaba vivo el marcador, en un valor de x aquí y este valor de x me está dando el área, esta que está aquí. O sea pensaría ahorita que para este valor de x el valor A de x, esa A parece un triángulo, A de x vendría siendo pues todo esto sombreado de aquí, ¿no? O sea no quería meterle color pero, sería todo esto de aquí, ¿cierto? Ahora el valor de la área cuando ya pasó un delta x, estaríamos en este otro x más delta x sería cuando calculamos el área pero hasta acá. O sea A de x mas delta x sería hasta acá, ¿no? O sea si metiera otro colorcito acá para que no se nos confunda sería como haber pensado en el área hasta acá, ¿okey? Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer nosotros? Vamos a calcular ahorita la derivada del área y la derivada del área ¿a qué es igual? Según ya lo sabemos esa derivada del área tiene que ser, ¿qué? El límite cuando delta x tiende a cero del área en x más delta x menos el área en x sobre delta x, ¿no? Estoy poniendo lo que viene siendo el incremento del área aquí este es el delta de área, ¿no? Entre el delta de x, ¿okey? Si logramos, si logramos, fíjense, encontrar que la derivada del área es justamente la función y igual a f de x que se estaría calculando aquí debajo de ella el área pues entonces lo que vamos a encontrar es que la aplicación esta que nos han dicho de integra desde hasta b f de x de x es justamente la manera de encontrar el área, ¿okey? Entonces vamos a encontrar esa derivada. Para eso usamos esta hojita acá y entonces lo que tendríamos es esta expresión de aquí la vamos a calcular, ¿no? O sea, vamos a calcular este límite del área de x más delta x menos el área de x entre delta x. Los invito a que veamos gráficamente este cambio del área. Cuando vimos aquí el dibujo el área hasta x más delta x cubriría hasta acá y el área hasta x cubría hasta acá. Entonces si hacemos esta resta que está aquí lo que estaríamos considerando es el área que estoy repintándoles ahora con rojo. Y esa área que les estoy repintando con rojo la podríamos expresar de otra manera aunque aquí está con esa resta, ¿no? Porque si ustedes no se si lo logran ver, yo veo aquí, vamos a meter otro color, veo aquí que tenemos algo que se levanta es como un rectángulo pero tendría que cortarle aquí para que sea un rectángulo y después tendríamos acá una especie de triángulo, ¿no? Este triángulo pensando aquí ya en ese comportamiento recto que podemos, este, suponer por la curva que tenemos. Entonces esta, esta diferencia de las áreas lo podríamos aproximar con el área de este triángulo y de este rectángulo. Entonces vámonos aquí abajo y entonces por el área del triángulo y rectángulo tendríamos que A prima de x es el límite cuando delta x tiende a cero de esta diferencia de áreas. Pero esa diferencia de áreas es el área que estamos aquí sombreando que sería el área de un rectángulo que tiene altura, vamos a ponerle la altura aquí como f de x o pudiera ser f de x más delta x, no importa, ¿no? En este caso como va la función decreciendo aquí sería f de x más delta x y luego vamos a multiplicar eso por delta x. O sea este producto de aquí es el área de este rectángulo y el área del triángulo que tengo acá arriba, ¿no? Sería, ¿qué? La mitad de la base que es un delta x por la altura que es el delta y, ¿no? Es el cambio que hubo aquí en la y, ¿de acuerdo? Y todo esto es el, la resta de acá se va a dividir entre delta x. Si están de acuerdo conmigo aquí vamos a poder factorizar delta x de tal manera que la expresión se va a simplificar al factorizar delta x y cancelar con este de abajo. Es como, vamos a ponerlo así, ¿no? Es como este delta x y este se factorizan y se cancela con este y entonces la expresión nos quedó más sencilla. Porque va a quedar f de x más delta x más un medio del delta y. Y ahora pensamos, ¿no? Pensamos en este límite, ¿qué va a pasar si delta x tiende a cero? Pues que este f de x más delta x nos va a quedar como f de x, ¿cierto? Y este mitad de delta y, prácticamente el delta y cuando el delta x tiende a cero se va también a cero y entonces la respuesta va a ser aquí f de x. ¿Qué hemos descubierto? Hemos descubierto que la derivada del área es justamente la altura, ¿no? La altura de la curva y igual a f de x. Esta es la razón por la cual cuando a ustedes les han mostrado antes la integral de una función, les han asociado esto con el área bajo una curva. ¿Por qué? Porque lo que están haciendo con esto es justamente integrar la derivada del área, ¿sí? Y por tanto calculando un, una magnitud nueva que está dentro de este dibujo que es la función área. Entonces con esto pues queda completo digamos ahora el panorama, hemos empezado con derivadas integrales, ya arribamos a la integral, ya hemos visto como la integral concuerda con nuestro tema de capturar el valor de una magnitud que está cambiando. ¿Cuál era esa magnitud en este caso? El área justamente el área debajo de una curva. Es una de las aplicaciones clásicas del cálculo, para nosotros lo es realmente una aplicación no es la definición de la integral, ¿no? Es una aplicación de la integral. Una de tantas, ¿no? Que tiene aún y cuando lo que estamos integrando son funciones que, bueno pues ahorita son bien portadas, ¿no? Continuas e incluso hasta derivables.
